מתכונת במתמטיקה 172 - מתכונת 8 מעל רמת בגרות

ממוצע = סכום הנתונים חלקי מספר הנתונים, ולכן סכום הנקודות של דן בחמשת המשחקים הוא:

סכום הנקודות בארבעת המשחקים הידועים:

מספר הנקודות במשחק מספר 3 הוא ההפרש:

טעות נפוצה: לכפול את הממוצע ב-4 (מספר הנתונים הידועים) במקום ב-5, $16\cdot4=64$, ולקבל $64-63=1$ נקודה.

מחשבים את ההפרש בכל משחק (המספר הגדול פחות הקטן), עם 17 במשחק מספר 3 (סעיף א):

משחק 1: $14-10=4$

משחק 2: $22-15=7$

משחק 3: $17-13=4$

משחק 4: $24-9=15$

משחק 5: $18-13=5$

ההפרש הגדול ביותר הוא במשחק מספר 4, והוא 15 נקודות.

טעות נפוצה: לענות משחק מספר 2, שבו דן קלע הכי הרבה נקודות (22) - ההפרש שם הוא 7 בלבד.

הממוצע של דן נתון: 16.

מחשבים את הממוצע של אלון:

$16>15$, ולכן הממוצע של דן גבוה יותר, אף על פי שהמספר הגבוה ביותר בטבלה (24) הוא של אלון.

טעות נפוצה: להשוות לפי המשחק הטוב ביותר של כל שחקן (24 לאלון לעומת 22 לדן) ולענות אלון.

נסמן ב-$n$ את מספר המשחקים הנוספים. אחריהם שיחק דן $5+n$ משחקים, וסכום הנקודות שלו הוא $80+25n$ (80 מסעיף א).

מוצאים מתי הממוצע שווה בדיוק ל-19:

מספר המשחקים שלם, וכל משחק של 25 נקודות (יותר מהממוצע) מעלה את הממוצע. לכן אחרי 2 משחקים הממוצע עוד לא הגיע ל-19, ואחרי 3 הוא כבר מעל 19.

בדיקה:

הממוצע עולה לראשונה על 19 אחרי 3 משחקים נוספים.

טעות נפוצה: לעגל את $n=2.5$ כלפי מטה ולענות 2 משחקים - אבל אחרי 2 משחקים הממוצע הוא רק $\frac{130}{7}\approx18.57$.

נסמן ב-$n$ את מספר הקלפים של נוגה. יש $5n$ זוגות קלפים שווי הסתברות.

המספרים שמופיעים אצל שתיהן הם 2 ו-4 (לכל אחד מהם קלף אחד אצל נוגה), ולכן יש 2 זוגות מתאימים: $(2,2)$ ו-$(4,4)$.

לנוגה 6 קלפים: 2, 4, וארבעה קלפים עם 0.

טעות נפוצה: לחבר את מספרי הקלפים במקום לכפול, $\frac{2}{5+n}=\frac{1}{15}$, ולקבל $n=25$. מספר הזוגות הוא מכפלת מספרי הקלפים.

יש $5\cdot6=30$ זוגות קלפים שווי הסתברות.

סכום 3: יעל בוחרת 3 ונוגה אחד מ-4 הקלפים של 0 - 4 זוגות; או יעל בוחרת 1 ונוגה את הקלף 2 - זוג אחד.

טעות נפוצה: להתייחס לערכים של נוגה ($0, 2, 4$) כאילו הם שווי הסתברות, לספור 2 זוגות מתוך $5\cdot3=15$ ולקבל $\frac{2}{15}$. לנוגה ארבעה קלפים של 0, וכל אחד מהם הוא תוצאה נפרדת.

הקלפים של נוגה (0, 2, 4) כולם זוגיים, ולכן הסכום זוגי בדיוק כשהמספר של יעל זוגי - 2 או 4.

(בספירה: יעל בוחרת 2 או 4 - $2\cdot6=12$ זוגות מתוך 30, $\frac{12}{30}=\frac25$.)

טעות נפוצה: לרשום את הסכומים האפשריים (1 עד 9), לספור ביניהם 4 זוגיים ולענות $\frac49$. הסכומים אינם שווי הסתברות - סופרים זוגות קלפים, לא סכומים.

סופרים לכל סכום את הזוגות שנותנים אותו (30 זוגות בסך הכול):

הקלפים של 0 נותנים כל אחד מהסכומים 1-5 ארבע פעמים; הקלף 2 מוסיף פעם אחת לכל סכום 3-7; הקלף 4 מוסיף פעם אחת לכל סכום 5-9. רק הסכום 5 מקבל תוספת משני הקלפים.

טעות נפוצה: להתעלם מהקלפים 2 ו-4 ("רוב הקלפים של נוגה הם 0"), ולענות שהסכומים 1 עד 5 שווי הסתברות, כל אחד $\frac{4}{30}=\frac{2}{15}$, ולכן אין סכום אחד שהוא הכי סביר. הקלפים 2 ו-4 מוסיפים זוגות לסכומים 3-9, ולכן הסכום 5 סביר יותר מכולם.

נסמן את אורך הצלע ב-$a$. הגובה חוצה את הצלע שמולו, ולכן במשולש ישר הזווית שנוצר: היתר $a$, ניצב אחד $\frac a2$, והניצב השני הוא הגובה $51.96$.

לפי משפט פיתגורס:

(הפתרון השלילי נפסל - אורך צלע חיובי.)

טעות נפוצה: להציב את הגובה כיתר, $a^2+\left(\frac a2\right)^2=51.96^2$, ולקבל $1.25a^2=2699.84$, $a\approx46.47$ - צלע קצרה מהגובה, וזה בלתי אפשרי: הצלע היא היתר.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל $60\cdot51.96=3117.6$ סמ"ר.

המחירים נתונים במ"ר ובמטר, ולכן ממירים:

שטח: $1\text{ מ"ר}=100\cdot100=10{,}000$ סמ"ר, ולכן $1558.8$ סמ"ר $=0.15588$ מ"ר.

היקף: $3\cdot60=180$ ס"מ $=1.8$ מטר.

טעות נפוצה: להמיר סמ"ר למ"ר בחלוקה ב-100 (כמו ס"מ למטר): $15.588\cdot140+14.4\approx2196.72$ שקלים. במ"ר יש $100\cdot100$ סמ"ר.

בתמרור הגדול הצלע 120 ס"מ, וגם הגובה כפול: $2\cdot51.96=103.92$ ס"מ (המשולש ישר הזווית שבתוכו מוכפל כולו).

פי 2 מהעלות של התמרור הרגיל הוא $2\cdot36.2232\approx72.45$ שקלים, ו-$116.09\ne72.45$ - יוסי אינו צודק.

הסיבה: אורך הפס (היקף) גדל פי 2, אבל השטח גדל פי 4 - גם הבסיס וגם הגובה גדלו פי 2.

טעות נפוצה: להכפיל רק את הצלע ולהשאיר את הגובה 51.96, לקבל שטח $\frac{120\cdot51.96}{2}=3117.6$ סמ"ר, עלות $0.31176\cdot140+3.6\cdot8\approx72.45$ שקלים, בדיוק פי 2 - ולהסיק שיוסי צודק.

נסמן ב-$x$ את הצלע הקצרה; הארוכה $x+8$.

הצלעות: 10 מטר ו-18 מטר.

טעות נפוצה: לכתוב $x+(x+8)=56$ (חצי היקף), ולקבל $x=24$.

אורך הגדר החדש: $56\cdot1.25=70$ מטר, כלומר הגדר צריכה להתארך ב-$70-56=14$ מטר.

הארכת הצלע הארוכה ב-$d$ מטר מאריכה את הגדר ב-$2d$ (יש שתי צלעות ארוכות):

צריך להאריך את הצלע הארוכה ב-7 מטר (ל-25 מטר). בדיקה: $2\cdot10+2\cdot25=70$.

טעות נפוצה: לחשוב שהצלע צריכה להתארך בכל התוספת לגדר ולענות 14 מטר - אז הגדר תתארך ב-28 מטר.

השטח לפני: $10\cdot18=180$ מ"ר. השטח אחרי: $10\cdot25=250$ מ"ר.

השטח גדל בכ-38.9% - יותר מהגדר: הצלע הקצרה לא השתנתה, ולכן השטח גדל באותו אחוז כמו הצלע הארוכה ($\frac{7}{18}$).

טעות נפוצה: להניח שהשטח גדל באותו אחוז כמו הגדר ולענות 25%.

באוגוסט יש 3 סמלים של 2,000 ו-3 סמלים של 500:

טעות נפוצה: לספור 6 סמלים ולהתייחס לכולם כאל 2,000, ולקבל $6\cdot2{,}000=12{,}000$ מבקרים.

מתרגמים את הכמות לסמלים: $9{,}000=4\cdot2{,}000+2\cdot500$ - ארבעה סמלי ▲ ושני סמלי △.

זה מופיע בחודש אפריל (בדיקה: $8{,}000+1{,}000=9{,}000$).

טעות נפוצה: להניח שהסמל △ הוא "חצי" מהסמל ▲, כלומר 1,000 מבקרים, ולחשב לאוגוסט $3\cdot2{,}000+3\cdot1{,}000=9{,}000$ - ולענות אוגוסט. לפי המקרא △ מייצג 500 מבקרים, רבע מ-▲.

מחשבים את מספר המבקרים בכל חודש:

מרץ: $3\cdot2{,}000=6{,}000$

אפריל: $4\cdot2{,}000+2\cdot500=9{,}000$

מאי: $5\cdot2{,}000=10{,}000$

יוני: $4\cdot2{,}000=8{,}000$

יולי: $2\cdot2{,}000+3\cdot500=5{,}500$

אוגוסט: $7{,}500$ (סעיף א)

המספר הקטן ביותר: 5,500 מבקרים, ביולי.

טעות נפוצה: לבחור את החודש שבשורה שלו הכי מעט סמלים - מרץ (3 סמלים) - ולענות מרץ עם 6,000 מבקרים. ביולי יש 5 סמלים, אבל שלושה מהם △.

יוני: 8,000 מבקרים; יולי: 5,500 מבקרים (סעיף ג). הירידה: $8{,}000-5{,}500=2{,}500$.

אחוז הירידה מחושב ביחס לערך ההתחלתי (יוני):

טעות נפוצה: לחלק את הירידה במספר המבקרים ביולי, $\frac{2{,}500}{5{,}500}\cdot100\approx45.45\%$.

נסמן ב-$x$ את המחיר של כרטיס לסטודנט בימי חול. כרטיס רגיל גדול ב-$20\%$, ולכן מחירו $1.2x$.

כרטיס רגיל: $1.2\cdot45=54$.

בדיקה: $2\cdot54+4\cdot45=108+180=288$.

בימי חול כרטיס לסטודנט עולה 45 שקלים, וכרטיס רגיל עולה 54 שקלים.

טעות נפוצה: לכתוב את הכרטיס הרגיל כ-$x+20$ (20 שקלים יותר במקום $20\%$ יותר): $2(x+20)+4x=288$, ומקבלים $6x=248$, $x\approx41.33$ שקלים.

נסמן ב-$y$ את המחיר של כרטיס לסטודנט בסוף שבוע. כרטיס רגיל: $y+21$.

כרטיס רגיל: $60+21=81$. בדיקה: $3\cdot81+2\cdot60=243+120=363$.

בסופי שבוע כרטיס לסטודנט עולה 60 שקלים, וכרטיס רגיל עולה 81 שקלים.

טעות נפוצה: להוסיף את 21 השקלים לכרטיסי הסטודנטים במקום לכרטיסים הרגילים: $3y+2(y+21)=363$, ומקבלים $y=64.2$ ו-$85.2$ לכרטיס רגיל.

משווים למחיר ביום חול, ולכן הוא הבסיס (המכנה):

המחיר בסוף שבוע גדול ב-$50\%$.

טעות נפוצה: לחלק במחיר של סוף השבוע: $\frac{27}{81}\cdot100\approx33.33\%$. אחוז השינוי מחושב ביחס לגודל שאליו משווים - המחיר ביום חול.

נסמן ב-$n$ את מספר הסטודנטים. אז בקבוצה $10-n$ מבקרים עם כרטיס רגיל, ולפי מחירי יום חול (סעיף א):

בדיקה: $45\cdot6+54\cdot4=270+216=486$. בקבוצה 6 סטודנטים (ו-4 מבקרים עם כרטיס רגיל).

טעות נפוצה: להציב את $n$ דווקא במחיר הכרטיס הרגיל, $45(10-n)+54n=486$, לקבל $n=4$ ולענות 4 סטודנטים - זה מספר המבקרים עם כרטיס רגיל.