בגרות במתמטיקה 172 - קיץ 2026 מועד א'

בשעה 11:30 דורון נמצא על הקטע העולה שבין 11:00 ל-12:00: בשעה 11:00 המרחק מהבית 20 ק"מ, ובשעה 12:00 - 40 ק"מ.

11:30 היא באמצע פרק הזמן הזה, והקטע ישר (מהירות קבועה), ולכן המרחק הוא באמצע בין 20 ל-40:

המרחק של דורון מביתו בשעה 11:30 היה 30 ק"מ.

טעות נפוצה: לקרוא את 11:30 כאילו זה 11.3 שעות - שלוש עשיריות מן הדרך בין 11:00 ל-12:00 - ולקבל $20+0.3\cdot20=26$ ק"מ. 30 דקות הן חצי שעה, ולכן 11:30 היא בדיוק באמצע.

עצירה בגרף מרחק-זמן היא קטע אופקי: הזמן עובר, והמרחק מהבית לא משתנה.

בגרף יש שני קטעים אופקיים:

מ-9:00 עד 11:00, במרחק 20 ק"מ מהבית - עצירה של שעתיים.

מ-12:00 עד 13:00, במרחק 40 ק"מ מהבית - עצירה של שעה.

לכן דורון עצר פעמיים: העצירה הראשונה נמשכה שעתיים, והשנייה נמשכה שעה.

טעות נפוצה: לחשוב שגם הקטע היורד (13:00-15:00) הוא עצירה, ולענות שדורון עצר 3 פעמים. בקטע היורד המרחק מהבית קטן - דורון רוכב בחזרה הביתה.

מחפשים בגרף את הנקודות שבהן המרחק מהבית הוא 10 ק"מ. יש שתיים כאלה: אחת בדרך הלוך ואחת בדרך חזור.

בדרך הלוך: מ-6:00 עד 9:00 (3 שעות) דורון עבר 20 ק"מ בקצב קבוע. 10 ק"מ הם חצי מהדרך, ולכן עברה חצי מהזמן, שעה וחצי: $6:00+1.5$ שעות $=7:30$.

בדרך חזור: מ-13:00 עד 15:00 (שעתיים) דורון חזר 40 ק"מ, כלומר 20 ק"מ בכל שעה. במרחק 10 ק"מ מהבית נשארו לו עוד 10 ק"מ, כלומר חצי שעה של רכיבה, ולכן זה היה חצי שעה לפני 15:00: בשעה 14:30.

טעות נפוצה: למצוא רק את הנקודה בדרך הלוך ולענות 7:30 בלבד. גם בדרך חזרה הביתה דורון עבר במרחק 10 ק"מ מהבית.

בדרך הלוך דורון הגיע עד 40 ק"מ מהבית (20 ק"מ עד 9:00 ועוד 20 ק"מ מ-11:00 עד 12:00).

בדרך חזור הוא רכב מ-40 ק"מ עד הבית, עוד 40 ק"מ.

דורון רכב סך הכול 80 ק"מ.

טעות נפוצה: לענות 40 ק"מ - המרחק הגדול ביותר מהבית - ולשכוח את הדרך חזרה.

בדרך חזרה (הקטע היורד, מ-13:00 עד 15:00) דורון רכב 40 ק"מ ב-2 שעות.

מהירות הרכיבה בדרך חזרה הייתה 20 קמ"ש.

טעות נפוצה: למדוד את הזמן מתחילת העצירה בשעה 12:00 ולחלק ב-3 שעות: $\frac{40}{3}\approx13.3$ קמ"ש. בזמן העצירה דורון לא רכב, ולכן היא לא נכללת בזמן הרכיבה.

כל אחת בוחרת פתק אחד מתוך 5, ולכן יש $5\cdot5=25$ תוצאות אפשריות - זוגות (המספר של תמר, המספר של נטע) - וכולן בעלות אותה הסתברות.

המאורע "תמר בוחרת 2 ונטע בוחרת 4" הוא תוצאה אחת בלבד: $(2,4)$.

טעות נפוצה: לספור גם את $(4,2)$ ולקבל $\frac{2}{25}$. בשאלה נקבע מי בוחרת איזה מספר - תמר 2 ונטע 4 - ולכן מתאימה תוצאה אחת בלבד.

כל אחת בוחרת פתק אחד מתוך 5, ולכן יש $5\cdot5=25$ תוצאות אפשריות - זוגות (המספר של תמר, המספר של נטע) - וכולן בעלות אותה הסתברות.

התוצאות שבהן המספרים שווים: $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)$ - 5 תוצאות.

טעות נפוצה: לספור זוגות בלי סדר - 15 זוגות שונים, ומהם 5 עם מספרים שווים - ולקבל $\frac{5}{15}=\frac{1}{3}$. הזוגות בלי סדר אינם בעלי אותה הסתברות: הזוג 1 ו-2 מתקבל בשתי דרכים, $(1,2)$ ו-$(2,1)$, והזוג 1 ו-1 בדרך אחת.

כל אחת בוחרת פתק אחד מתוך 5, ולכן יש $5\cdot5=25$ תוצאות אפשריות - זוגות (המספר של תמר, המספר של נטע) - וכולן בעלות אותה הסתברות.

התוצאות שסכומן 8: $(3,5),(4,4),(5,3)$ - 3 תוצאות.

טעות נפוצה: לספור את $(3,5)$ ואת $(5,3)$ כתוצאה אחת ולקבל $\frac{2}{25}$. אלה שתי תוצאות שונות: פעם תמר בוחרת 3, ופעם נטע בוחרת 3.

המספר הגדול ביותר על פתק הוא 5, ולכן הסכום הגדול ביותר האפשרי הוא $5+5=10$.

אין אף תוצאה שסכומה 11 - זה מאורע שאינו יכול לקרות.

טעות נפוצה: לבנות מתוך הרגל טבלת תוצאות של שתי קוביות ($6\times6$), למצוא בה את $(5,6)$ ו-$(6,5)$ ולקבל $\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$. על הפתקים כתובים רק המספרים 1 עד 5.

היקף מעגל שרדיוסו $r$: $P=2\pi r$.

היקף הגלגל הקדמי הוא $28\pi$ ס"מ, כ-87.96 ס"מ.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת השטח, $\pi r^2=\pi\cdot14^2=196\pi$. ההיקף הוא אורך קו המעגל, $2\pi r$.

ההיקף של הגלגל האחורי הוא $16.8\pi$, ולכן:

מחלקים את שני האגפים ב-$2\pi$:

אורך הרדיוס של הגלגל האחורי הוא 8.4 ס"מ.

טעות נפוצה: לחלק רק ב-$\pi$ ולקבל 16.8 ס"מ - זה הקוטר, לא הרדיוס.

הרדיוס של הגלגל האחורי קטן ב-$14-8.4=5.6$ ס"מ.

משווים לרדיוס של הגלגל הקדמי, כי שואלים בכמה אחוזים קטן "מן הרדיוס של הגלגל הקדמי":

הרדיוס של הגלגל האחורי קטן ב-40% מן הרדיוס של הגלגל הקדמי.

טעות נפוצה: לחלק ברדיוס של הגלגל האחורי, $\frac{5.6}{8.4}\cdot100\approx66.7\%$. הבסיס להשוואה הוא הגודל שאליו משווים - הגלגל הקדמי.

בכל סיבוב שלם הגלגל האחורי מתקדם מרחק שווה להיקף שלו, $16.8\pi$ ס"מ.

ב-1,200 סיבובים:

זה המרחק בסנטימטרים. במטר יש 100 ס"מ, ולכן:

העגלה עברה בטיול $201.6\pi$ מטרים, כ-633.3 מטרים.

טעות נפוצה: להשתמש בהיקף של הגלגל הקדמי, $1200\cdot28\pi=33600\pi$ ס"מ, ולקבל $336\pi\approx1055.6$ מטרים. הנתון הוא מספר הסיבובים של הגלגל האחורי.

האלכסון מחלק את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. במשולש כזה הצלעות של המלבן הן הניצבים, והאלכסון (75) הוא היתר.

נסמן את הצלע הקצרה ב-$a$. לפי משפט פיתגורס:

אורך הצלע הקצרה של האריח הלבן הוא 45 ס"מ.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים כאילו האלכסון הוא ניצב, $\sqrt{75^2+60^2}\approx96.05$. אבל הצלע של המלבן חייבת להיות קצרה מן האלכסון - האלכסון הוא היתר.

ההיקף של האריח הלבן (מלבן 60 על 45):

ההיקף של האריח האפור קטן ב-110 ס"מ: $210-110=100$ ס"מ.

לריבוע 4 צלעות שוות, ולכן אורך הצלע: $\frac{100}{4}=25$ ס"מ.

טעות נפוצה: לחבר במקום לחסר, $210+110=320$, ולקבל צלע של $\frac{320}{4}=80$ ס"מ. "קטן ב-110" פירושו שמחסירים 110.

שטח האריח הלבן: $60\cdot45=2700$ סמ"ר.

שטח האריח האפור: $25\cdot25=625$ סמ"ר.

השטח של האריח הלבן גדול פי 4.32 מן השטח של האריח האפור.

טעות נפוצה: לחלק את ההיקפים במקום את השטחים, $\frac{210}{100}=2.1$. השאלה היא על שטח.

נדב קנה 5 מוצרים, אחד מכל סוג. הממוצע הוא סכום המחירים חלקי מספר המוצרים:

המחיר הממוצע למוצר הוא 48 שקלים.

טעות נפוצה: לענות את המחיר האמצעי, 32 שקלים (החציון), במקום הממוצע.

המחיר של הילקוט הנוסף אחרי הנחה של 20%:

נועם קנה את חמשת המוצרים של נדב (240 שקלים) ועוד ילקוט ב-112 שקלים:

$58.67>48$, ולכן המחיר הממוצע למוצר שקנה נועם גדול יותר.

אפשר גם בלי חישוב מלא: המוצר שנוסף עולה 112 שקלים, יותר מן הממוצע 48, ולכן הוא מעלה את הממוצע.

טעות נפוצה: להשוות את המחיר של הילקוט הנוסף (112) למחיר הרגיל של ילקוט (140), ולהסיק שבגלל ההנחה הממוצע קטן. מה שקובע הוא אם המוצר הנוסף זול או יקר מן הממוצע (48).

השכיח הוא הערך שמופיע הכי הרבה פעמים - כאן, המוצר שנמכר במספר הגדול ביותר.

העמודה הגבוהה ביותר בדיאגרמה היא של העט: 20 מוצרים.

המוצר השכיח הוא עט.

טעות נפוצה: לענות 20 - זה מספר העטים שנמכרו (השכיחות), ולא המוצר השכיח עצמו.

לכל מוצר: ההכנסה היא המחיר כפול מספר המוצרים שנמכרו (מהדיאגרמה):

מחברת $8\cdot15=120$, עט $10\cdot20=200$, יומן $32\cdot8=256$, קלמר $50\cdot11=550$, ילקוט $140\cdot6=840$.

ההכנסה סך הכול ביום זה הייתה 1,966 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול את מספר המוצרים שנמכרו (60) במחיר הממוצע מסעיף א (48) ולקבל 2,880 שקלים. מכל מוצר נמכרה כמות אחרת, ולכן צריך לכפול כל מחיר בכמות שלו.

בחנות כל חולצה עולה 45 שקלים, ואין תשלום נוסף. מספר החולצות הוא הסכום חלקי המחיר של חולצה:

אפשר לקנות בחנות 6 חולצות.

טעות נפוצה: להשתמש במחיר של האתר, $\frac{270}{40}=6.75$, ולענות 6.75 חולצות. השאלה היא על קנייה בחנות.

בחנות: $4\cdot45=180$ שקלים.

באתר: המחיר של 4 חולצות ועוד דמי משלוח אחד להזמנה:

$175<180$, ולכן משתלם יותר ליואב להזמין באתר האינטרנט (הוא חוסך 5 שקלים).

טעות נפוצה: להוסיף את דמי המשלוח לכל חולצה, $4\cdot(40+15)=220$, ולהסיק שבחנות משתלם יותר. דמי המשלוח משולמים פעם אחת להזמנה.

המחיר של $x$ חולצות באתר הוא $40\cdot x$, ולזה מוסיפים 15 שקלים בעבור המשלוח - פעם אחת להזמנה:

טעות נפוצה: לכתוב $(40+15)x=55x$ - כאילו משלמים משלוח על כל חולצה. המשלוח הוא סכום קבוע להזמנה כולה.

המחיר סך הכול (סעיף ג) שווה ל-535:

יעל קנתה 13 חולצות. בדיקה: $40\cdot13+15=535$.

טעות נפוצה: להוסיף את 15 במקום להחסיר, $40x=550$, ולקבל $x=13.75$.