בגרות במתמטיקה 172 - חורף 2022

ציר הזמן מתחיל ברגע שדני יצא לדרך. גרף II מתחיל בראשית $(0,0)$ - הרוכב שלו יצא בזמן 0.

גרף I מתחיל בנקודה $(1,0)$ - הרוכב שלו התחיל לרכוב רק שעה אחת אחר כך.

אלמוג יצא שעה אחרי דני, ולכן גרף I מתאר את הרכיבה של אלמוג, וגרף II מתאר את הרכיבה של דני.

טעות נפוצה: לבחור לפי הקו שמגיע ראשון ל-80 ק"מ (גרף I) ולענות שגרף I הוא של דני, "כי הוא יצא ראשון". מי שיצא ראשון הוא מי שהגרף שלו מתחיל ראשון על ציר הזמן, לא מי שסיים ראשון.

הרכיבה של דני מתוארת בגרף II (סעיף א). מחפשים בגרף II את הנקודה שבה $x=1$ (שעה אחת).

בגרף II, מעל $x=1$, הגרף נמצא בגובה $y=20$ (שם הקו משנה את השיפוע שלו).

לכן לאחר שעה היה דני במרחק 20 ק"מ מנקודת המוצא.

טעות נפוצה: לקרוא את גרף I בנקודה $x=1$ ולענות 0 ק"מ - זה אלמוג, שבדיוק יוצא לדרך באותו רגע.

מחפשים בגרף II (דני) את הנקודה שבה $y=50$.

בין $x=1$ ל-$x=5$ הגרף II עולה מ-20 ל-60 ק"מ, 10 ק"מ בכל שעה: $20\to30\to40\to50\to60$.

הגרף מגיע לגובה 50 מעל $x=4$, כלומר 4 שעות אחרי שדני יצא לדרך.

טעות נפוצה: לקרוא את הגרף התלול, גרף I, בגובה 50 ולענות $3.5$ שעות - זה הזמן שבו אלמוג היה במרחק 50 ק"מ, לא דני.

שעתיים לאחר שדני יצא לדרך - זה $x=2$ על ציר הזמן.

דני (גרף II) ב-$x=2$: $y=30$ ק"מ.

אלמוג (גרף I) ב-$x=2$: $y=20$ ק"מ (הוא רוכב רק שעה אחת).

שניהם רוכבים באותו מסלול מאותה נקודה, ולכן המרחק ביניהם הוא ההפרש:

טעות נפוצה: למדוד שעתיים מהרגע שאלמוג יצא, כלומר לקרוא את שני הגרפים ב-$x=3$, ולענות 0 ק"מ (שם הגרפים נחתכים). השאלה מודדת את הזמן מהרגע שדני יצא.

שני הגרפים נחתכים בנקודה $(3,40)$: 3 שעות אחרי שדני יצא, שני הרוכבים נמצאים 40 ק"מ מנקודת המוצא, באותו מסלול.

לכן הם נפגשו. לפני נקודה זו דני היה לפני אלמוג (גרף II מעל גרף I), ואחריה אלמוג עקף אותו (גרף I מעל גרף II).

המרחק בין נקודת המפגש לבין נקודת המוצא הוא 40 ק"מ (שיעור ה-$y$ של נקודת החיתוך).

טעות נפוצה: לחשוב שהם נפגשו בסוף המסלול, 80 ק"מ מנקודת המוצא, כי שני הגרפים מגיעים לגובה 80 - אבל אלמוג הגיע ל-80 ק"מ אחרי 5 שעות ודני אחרי 6 שעות. מפגש הוא אותו מקום באותו זמן, כלומר נקודת חיתוך של הגרפים.

כל תוצאה של תור היא זוג: (המספר בסביבון בעל 4 הפאות, המספר בסביבון בעל 6 הפאות).

הסביבונים מאוזנים, ולכן כל $4\cdot6=24$ הזוגות שווי הסתברות.

רק הזוג $(4,4)$ מתאים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות של כל סביבון, $\frac14+\frac16=\frac{5}{12}$ - אבל צריך ששני הסביבונים יראו 4 יחד, ויש לכך רק תוצאה אחת מתוך 24.

הזוגות שבהם שני הסביבונים מראים אותו מספר: $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)$ - ארבעה זוגות.

את $(5,5)$ ו-$(6,6)$ אי אפשר לקבל, כי בסביבון הראשון יש רק המספרים 1 עד 4.

טעות נפוצה: לקחת כמרחב המדגם את מספר הפאות, $4+6=10$, ולענות $\frac{4}{10}=0.4$. כל תוצאה היא זוג, ולכן מספר התוצאות הוא $4\cdot6=24$.

נרשום טבלה של סכומי המספרים בכל 24 התוצאות:

סכום גדול מ-8 (כלומר 9 או 10): $(3,6)$, $(4,5)$, $(4,6)$ - שלוש תוצאות.

טעות נפוצה: לספור גם את התוצאות שבהן הסכום 8 בדיוק, $(2,6),(3,5),(4,4)$, ולקבל $\frac{6}{24}=\frac14$. "גדול מ-8" לא כולל את 8.

סכום 5 (רומי): $(1,4)$, $(2,3)$, $(3,2)$, $(4,1)$ - ארבע תוצאות, $P=\frac{4}{24}=\frac16$.

סכום 8 (נדב): $(2,6)$, $(3,5)$, $(4,4)$ - שלוש תוצאות, $P=\frac{3}{24}=\frac18$.

את הזוגות $(5,3)$ ו-$(6,2)$ אי אפשר לקבל, כי בסביבון הראשון אין 5 או 6.

$\frac{4}{24}>\frac{3}{24}$, ולכן לרומי יש סיכוי גדול יותר לזכות בנקודה.

טעות נפוצה: לספור כל צירוף פעם אחת בלי סדר - לרומי $\{1,4\}$ ו-$\{2,3\}$ (שתי אפשרויות), ולנדב שלוש - ולענות שלנדב סיכוי גדול יותר. $(1,4)$ ו-$(4,1)$ הן שתי תוצאות שונות: פעם הסביבון הקטן מראה 1 ופעם הוא מראה 4.

הקו המקווקו הוא הגובה של המשולש שווה הצלעות. במשולש שווה צלעות הגובה חוצה את הצלע שמולו, ולכן הוא מחלק את המשולש לשני משולשים ישרי זווית.

בכל משולש ישר זווית כזה: היתר הוא צלע המשולש, 13 ס"מ; ניצב אחד הוא חצי צלע, $\frac{13}{2}=6.5$ ס"מ; הניצב השני הוא הגובה $h$.

לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים במקום לחסר, $h=\sqrt{13^2+6.5^2}=\sqrt{211.25}\approx14.53$ - אבל 13 ס"מ הוא היתר, הצלע הארוכה במשולש ישר הזווית, והגובה קצר ממנו.

שטח משולש אחד הוא חצי מכפלת הצלע בגובה שיורד אליה:

שני המשולשים זהים, ולכן:

(מי שמציב את הגובה המעוגל $11.26$ מקבל $2\cdot\frac{13\cdot11.26}{2}=146.38$; ההבדל נובע מהעיגול בלבד.)

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת שטח המשולש, לקבל $13\cdot11.258\approx146.36$ למשולש אחד, ולהכפיל בשני משולשים: $\approx292.72$ סמ"ר.

הסרט מודבק לאורך שלוש הצלעות של המשולש, כלומר אורכו הוא היקף המשולש:

דרוש סרט באורך 39 ס"מ.

טעות נפוצה: לחשב כבר כאן את הסרט לכל מגן הדוד, $2\cdot39=78$ ס"מ - אבל הסעיף שואל על משולש אחד בלבד.

מגן דוד אחד בנוי משני משולשים, ולכל משולש דרוש סרט של 39 ס"מ (סעיף ג(1)):

המחיר נתון למטר, ולכן מכפילים את האורך במטרים:

מחיר הסרט הוא 15.60 שקלים.

טעות נפוצה: לא להמיר סנטימטרים למטרים ולחשב $78\cdot20=1{,}560$ שקלים - המחיר הוא 20 שקלים למטר, ו-78 ס"מ הם פחות ממטר.

שטח מלבן הוא מכפלת האורך ברוחב:

טעות נפוצה: לחבר את האורך והרוחב, $5+4=9$ - חיבור צלעות שייך להיקף, ושטח מחשבים בכפל.

הפס מקיף את הבריכה, ולכן אורכו הוא היקף המלבן - שני אורכים ושני רוחבים:

טעות נפוצה: לחבר רק שלוש צלעות, $5+5+4=14$ מטר - למלבן ארבע צלעות.

הגדר רחוקה $x$ מטר מהבריכה מכל הצדדים.

לאורך: מתווספים $x$ מימין לבריכה ו-$x$ משמאל לה, ולכן אורך השטח המגודר הוא $5+2x$.

לרוחב: מתווספים $x$ מלמעלה ו-$x$ מלמטה, ולכן רוחב השטח המגודר הוא $4+2x$.

טעות נפוצה: להוסיף $x$ פעם אחת בלבד ולכתוב $5+x$ ו-$4+x$ - אבל הרווח $x$ נמצא משני צדי הבריכה.

אורך הגדר הוא היקף השטח המגודר:

אורך: $5+2\cdot3=11$ מטר. רוחב: $4+2\cdot3=10$ מטר.

בדיקה: $2\cdot11+2\cdot10=42$.

טעות נפוצה: להשוות ל-42 רק אורך אחד ורוחב אחד, $(5+2x)+(4+2x)=42$, לקבל $x=8.25$ ומלבן של $21.5$ על $20.5$ מטר - שהיקפו 84, כפול מאורך הגדר.

שטח הגינה הוא השטח המגודר פחות שטח הבריכה:

טעות נפוצה: לענות 110 מ"ר - זה כל השטח המגודר, כולל הבריכה שבתוכו.

קוראים את גובה כל עמודה לפי קווי הרשת שעל ציר מספר הספרים:

טעות נפוצה: לקרוא את העמודה של 30 שקלים, שגובהה בין 6 ל-8, כ-8 במקום 7 - ואז כל החישובים הבאים יוצאים מטבלה עם 51 ספרים.

מספר הספרים הוא סכום השכיחויות:

טעות נפוצה: לחבר את המחירים במקום את השכיחויות, $20+25+30+40+50+60+70=295$.

ממוצע מטבלת שכיחויות: כל מחיר כפול מספר הספרים שנמכרו בו, ואת הסכום מחלקים במספר הספרים:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שבעת המחירים בלי השכיחויות, $\frac{295}{7}\approx42.14$ - אבל ב-50 שקלים נמכרו 12 ספרים וב-20 שקלים רק 3, ולכל ספר משקל שווה.

המחיר השכיח הוא המחיר שבו נמכרו הכי הרבה ספרים - העמודה הגבוהה ביותר.

העמודה הגבוהה ביותר היא של 50 שקלים (12 ספרים), ולכן המחיר השכיח הוא 50 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 12 - זו השכיחות (מספר הספרים), והשאלה שואלת על המחיר.

יש 50 ספרים - מספר זוגי, ולכן החציון הוא הממוצע של המחיר ה-25 והמחיר ה-26 כשהמחירים מסודרים מהזול ליקר.

שכיחות מצטברת: עד 20 שקלים - 3 ספרים; עד 25 - 9; עד 30 - 16; עד 40 - 26.

הספרים במקומות 17 עד 26 עלו 40 שקלים, ולכן המחיר ה-25 והמחיר ה-26 הם 40 שקלים.

טעות נפוצה: לקחת את האמצע בין המחיר הזול ביותר ליקר ביותר, $\frac{20+70}{2}=45$ - החציון נקבע לפי מקום הנתון האמצעי ברשימה המסודרת, לא לפי טווח המחירים.

התייקרות ב-15% פירושה שהמחיר החדש הוא $100\%+15\%=115\%$ מהמחיר הקודם:

(או: $15\%$ מ-800 הם $800\cdot0.15=120$, ו-$800+120=920$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את סכום ההתייקרות, $800\cdot0.15=120$, ולענות 120 שקלים - זו התוספת, לא המחיר החדש.

המחיר ירד מ-920 שקלים (המחיר אחרי ההתייקרות) ל-736 שקלים. הירידה בשקלים:

אחוז השינוי מחושב ביחס למחיר שלפני השינוי, 920:

בדיקה: $920\cdot0.8=736$.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה במחיר המקורי, $\frac{184}{800}=23\%$ - אבל לפני הירידה השולחן עלה 920, ולכן 920 הוא הבסיס.