בגרות במתמטיקה 172 - קיץ 2022 מועד ב'

קודם מוצאים כמה ספרים באיטלקית - כל מה שאינו אנגלית או צרפתית:

ההסתברות היא מספר הספרים באיטלקית חלקי מספר כל הספרים:

טעות נפוצה: לחסר רק את ספרי האנגלית, $100-40=60$, ולקבל $0.6$ - שוכחים שגם הספרים בצרפתית אינם באיטלקית.

ההסתברות לבחור ספר באנגלית בבחירה אחת: $\frac{40}{100}=0.4$.

הספר מוחזר למדף, ולכן גם בבחירה השנייה ההסתברות היא $0.4$. שני המאורעות צריכים להתקיים יחד - כופלים:

טעות נפוצה: לחבר במקום לכפול, $0.4+0.4=0.8$ - חיבור מתאים ל"או", לא ל"וגם".

"באותה השפה" פירושו: שניהם באנגלית, או שניהם בצרפתית, או שניהם באיטלקית. אלה שלוש אפשרויות זרות, ולכן מחשבים כל אחת וחוברים.

שניהם באנגלית: $0.4\cdot0.4=0.16$ (סעיף ב).

שניהם בצרפתית: $0.35\cdot0.35=0.1225$.

שניהם באיטלקית: $0.25\cdot0.25=0.0625$.

טעות נפוצה: לשכוח את הספרים באיטלקית (מספרם אינו כתוב בנתונים, חושב בסעיף א) ולחשב רק $0.16+0.1225=0.2825$ - גם שני ספרים באיטלקית הם "באותה השפה".

"בשפות שונות" הוא המאורע המשלים של "באותה השפה" (סעיף ג): או שהשפות זהות או שהן שונות, ואין אפשרות שלישית.

טעות נפוצה: לחשב $1-0.16=0.84$ - זה המשלים של "שניהם באנגלית" בלבד, ולא של "באותה שפה".

שעת היציאה היא הנקודה שבה הגרף מתחיל על ציר הזמן (המרחק 0).

גרף אחד מתחיל ב-$0$ דקות (10:00) והשני ב-$30$ דקות (10:30).

נתון שסירה ב' יצאה אחרי סירה א', ולכן הגרף שמתחיל מאוחר יותר הוא של סירה ב'.

סירה א' יצאה בשעה 10:00, וסירה ב' בשעה 10:30.

טעות נפוצה: להחליף בין הסירות - לחשוב שהגרף הגבוה יותר בסוף (90 ק"מ) הוא של סירה א' "כי היא הראשונה". זיהוי הסירה נעשה לפי שעת היציאה, לא לפי המרחק בסוף.

השעה 11:00 היא $60$ דקות אחרי 10:00. קוראים את המרחק של כל סירה בנקודה זו:

סירה א': $40$ ק"מ. סירה ב': $30$ ק"מ.

הסירות שטות באותו מסלול, ולכן המרחק ביניהן הוא ההפרש:

המרחק בין הסירות היה 10 ק"מ.

טעות נפוצה: לענות $40$ ק"מ - לקרוא רק את המרחק של סירה אחת מהמרינה, במקום את ההפרש בין השתיים.

בשעה 12:00 ($120$ דקות) קוראים את גובה כל גרף:

סירה א': $80$ ק"מ. סירה ב': $90$ ק"מ.

הגרף מתאר את המרחק מן המרינה, ולכן זה גם המרחק שכל סירה עברה מאז יציאתה.

טעות נפוצה: לחשב את ההפרש $90-80=10$ ולענות "10 ק"מ" - הסעיף מבקש את המרחק של כל סירה בנפרד.

מחשבים מהירות = דרך חלקי זמן לכל סירה.

סירה א': $80$ ק"מ ב-$2$ שעות (10:00 עד 12:00):

כלומר 40 קמ"ש.

סירה ב': $90$ ק"מ ב-$1.5$ שעות (10:30 עד 12:00):

כלומר 60 קמ"ש.

סירה ב' מהירה יותר. (אפשר לראות זאת גם בגרף: הקו של סירה ב' תלול יותר.)

טעות נפוצה: לחלק את הדרך של סירה ב' ב-$2$ שעות כמו סירה א', $\frac{90}{2}=45$ קמ"ש - סירה ב' יצאה ב-10:30, ולכן שטה רק שעה וחצי.

המרצפת ריבועית, ולכן השטח הוא צלע כפול צלע:

שטח מרצפת אחת הוא 0.04 מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב היקף במקום שטח, $4\cdot0.2=0.8$ מטר.

10 מרצפות זהות מכסות פי 10 מהשטח של מרצפת אחת:

10 מרצפות מכסות 0.4 מ"ר.

טעות נפוצה: לכפול את אורך הצלע במקום את השטח, $10\cdot0.2=2$ מ"ר.

שטח מלבן הוא אורך כפול רוחב:

שטח רצפת האולם הוא 240 מ"ר.

טעות נפוצה: לחשב את ההיקף, $2\cdot(12+20)=64$ מטר, במקום את השטח.

מספר המרצפות הוא שטח האולם חלקי שטח מרצפת אחת:

(או: לאורך 20 המטרים נכנסות $20:0.2=100$ מרצפות, ולרוחב 12 המטרים $12:0.2=60$, ובסך הכול $100\cdot60=6000$.)

המרצפות מונחות לסירוגין ומספרן זוגי, ולכן חצי מהן אפורות וחצי לבנות:

דרושות 3,000 מרצפות אפורות ו-3,000 מרצפות לבנות.

טעות נפוצה: לחלק את השטח באורך הצלע במקום בשטח המרצפת, $240:0.2=1200$ מרצפות.

לכל צבע: מספר המרצפות כפול המחיר, ואז מחברים:

כל המרצפות יעלו 21,000 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול את כל 6,000 המרצפות במחיר של מרצפת אפורה, $6000\cdot4=24000$ שקלים - רק חצי מהמרצפות אפורות; החצי השני לבן ועולה 3 שקלים.

היקף מעגל: $P=2\pi r$.

הגלגל הקדמי: $P=2\cdot\pi\cdot0.4=0.8\pi\approx2.512$ מטר.

הגלגל האחורי: $P=2\cdot\pi\cdot0.1=0.2\pi\approx0.628$ מטר.

(בחישוב עם $\pi\approx3.14$.)

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 בנוסחה ולחשב $\pi\cdot0.4\approx1.256$ מטר לגלגל הקדמי.

בכל סיבוב הגלגל עובר דרך השווה להיקפו. הגלגל האחורי הסתובב 100 פעמים:

הלוליין עבר 62.8 מטר (בדיוק: $100\cdot0.2\pi=20\pi$ מטר).

טעות נפוצה: לכפול בהיקף הגלגל הקדמי, $100\cdot2.512=251.2$ מטר - הנתון הוא על הגלגל האחורי.

מספר הסיבובים = הדרך חלקי היקף הגלגל. השאלה על הגלגל הקדמי, שהיקפו $2.512$ מטר:

הגלגל הקדמי הסתובב כ-250 סיבובים (עם הערך המדויק של $\pi$: $\frac{628}{0.8\pi}\approx249.9$, כלומר 250 בקירוב).

טעות נפוצה: לחלק בהיקף הגלגל האחורי, $\frac{628}{0.628}=1000$ סיבובים - הסעיף שואל על הגלגל הקדמי.

קוראים את גובה כל עמודה לפי קווי הרשת: תפוח 12, אגס 10, בננה 6, תפוז 14.

בעל המסעדה קנה 42 ק"ג פירות.

טעות נפוצה: לחבר את המחירים שבטבלה, $8+9+10+7=34$, במקום את המשקלים שבדיאגרמה.

השכיח הוא הערך (סוג הפרי) שהעמודה שלו הגבוהה ביותר: תפוז.

השכיחות שלו היא גובה העמודה: 14 ק"ג.

טעות נפוצה: לענות "השכיח הוא 14" - 14 הוא השכיחות (מספר הק"ג), והשכיח הוא הפרי עצמו, תפוז.

סדר הפירות בטבלה שונה מסדרם בדיאגרמה, ולכן מעתיקים כל משקל לעמודה של הפרי המתאים (ולא לפי המקום):

טעות נפוצה: להעתיק את המשקלים לפי סדר העמודות בדיאגרמה (12, 10, 6, 14) ולרשום תפוז 12, בננה 10, אגס 6, תפוח 14 - סדר הקטגוריות בטבלה שונה.

לכל פרי: משקל כפול מחיר לק"ג, ואז מחברים:

בעל המסעדה שילם 350 שקלים.

טעות נפוצה: להצמיד את המשקלים למחירים לפי סדר הדיאגרמה, $12\cdot8+10\cdot9+6\cdot10+14\cdot7=344$ שקלים.

ההוצאה הממוצעת ל-1 ק"ג היא סך ההוצאה חלקי סך המשקל:

ההוצאה הממוצעת היא כ-8.33 שקלים לק"ג.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של ארבעת המחירים, $\frac{8+9+10+7}{4}=8.5$ שקלים - המחירים צריכים להישקל לפי המשקל שנקנה מכל פרי.

בחברה א' משלמים רק לפי הדקות: 1 שקל לדקה.

שגיא ישלם 10 שקלים.

טעות נפוצה: להוסיף גם בחברה א' את 5 השקלים של השכרת הקורקינט, ולקבל $5+10=15$ שקלים - תשלום ההשכרה קיים רק בחברה ב'.

בחברה ב' משלמים 5 שקלים על ההשכרה, ועוד 0.6 שקלים לכל אחת מ-10 הדקות:

שגיא ישלם 11 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב רק את התשלום לפי הדקות, $0.6\cdot10=6$ שקלים, ולשכוח את 5 השקלים של ההשכרה.

נסמן ב-$x$ את זמן הנסיעה בדקות. בחברה ב' המחיר הוא $5+0.6x$, והוא שווה ל-23:

זמן הנסיעה של נועם הוא 30 דקות. (בדיקה: $5+0.6\cdot30=5+18=23$.)

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במחיר לדקה, בלי להחסיר קודם את 5 השקלים של ההשכרה: $\frac{23}{0.6}\approx38.33$ דקות.

בחברה א' אין תשלום קבוע, ומשלמים 1 שקל לכל דקה - המחיר שווה למספר הדקות: $y=x$, ביטוי iii.

בחברה ב' יש תשלום קבוע של 5 שקלים (המספר החופשי), ועוד 0.6 שקלים לכל דקה (המקדם של $x$): $y=5+0.6x$, ביטוי ii.

(בדיקה עם סעיף א: עבור $x=10$ ביטוי ii נותן 11, כמו שמצאנו.)

טעות נפוצה: לבחור לחברה ב' את ביטוי i, $y=10+0.6x$, כי המספר 10 (זמן הנסיעה של שגיא) מופיע בסיפור - אבל 10 הוא מספר הדקות ולא תשלום קבוע; עבור $x=10$ ביטוי i נותן 16 שקלים, לא 11.