מתכונת במתמטיקה 371 - מתכונת 11 מעל רמת בגרות

$q=1.25$, והכמות הנתונה היא הכמות המאוחרת ($t=3$):

טעות נפוצה: "לחזור אחורה" בהורדה של 25% בכל שבוע: $4{,}000\cdot0.75^3=1{,}687.5$ - הורדה של 25% אינה מבטלת עלייה של 25%; צריך לחלק ב-1.25.

כעבור שבועיים היו באפליקציה א:

זה גם מספר המשתמשים באפליקציה ב כעבור שבועיים:

מספר המשתמשים באפליקציה ב גדל בכ-13.1% בכל שבוע.

טעות נפוצה: לענות 28% ($q^2=1.28$) - זו הגדילה בשבועיים יחד.

כעבור שבועיים בשתי האפליקציות 3,200 משתמשים.

מכאן והלאה, בכל שבוע מספר המשתמשים באפליקציה א מוכפל ב-1.25, ובאפליקציה ב רק בכ-1.131.

מתחילים מאותו מספר וכופלים כל שבוע במקדם גדול יותר, ולכן אפליקציה א גדולה יותר בכל שבוע שאחרי השבוע השני (למשל כעבור 3 שבועות: 4,000 לעומת כ-3,620).

טעות נפוצה: לטעון שאפליקציה ב, שהתחילה עם יותר משתמשים, "תמיד תישאר גדולה יותר" - אחרי נקודת השוויון מה שקובע הוא המקדם, לא הכמות ההתחלתית.

מחשבים את שתי הכמויות שבוע אחרי שבוע ($A=2{,}048\cdot1.25^t$, $B=2{,}500\cdot q^t$ עם $q=\sqrt{1.28}\approx1.1314$) ובודקים אם $A\ge2B$:

כעבור 8 שבועות: $12{,}207<13{,}421.8$ - עדיין לא.

כעבור 9 שבועות: $15{,}258.8\ge15{,}185$ - לראשונה לפחות פי 2.

טעות נפוצה: להשוות לפי 2 מהמספר המשותף ($2\cdot3{,}200=6{,}400$) ולענות "כעבור 6 שבועות" (7,812.5) - גם אפליקציה ב ממשיכה לגדול, ומשווים לפי 2 ממספר המשתמשים בה באותו שבוע.

בקופסה $25+15=40$ סוכריות, ו-$25$ מהן שוקולד. הסיכוי לשוקולד:

טעות נפוצה: לשים במונה את מספר סוכריות הטופי: $\frac{15}{40}=\frac38$ - זה הסיכוי לטופי. במונה צריך להיות מספר הסוכריות מהסוג המבוקש, $25$ סוכריות שוקולד.

בפעם הראשונה: שוקולד בסיכוי $\frac{25}{40}$.

סוכריית שוקולד מוחזרת לקופסה, ולכן ההוצאה השנייה היא עם החזרה - שוב $25$ שוקולד מתוך $40$:

טעות נפוצה: להוריד סוכרייה בשלב השני: $\frac{25}{40}\cdot\frac{24}{39}=\frac{5}{13}\approx0.385$. כאן דווקא השוקולד מוחזר - רק טופי נאכל.

"אף שוקולד" פירושו טופי בשתי ההוצאות.

בפעם הראשונה: טופי בסיכוי $\frac{15}{40}$.

את הטופי מאיה אוכלת, ולכן בהוצאה השנייה נשארו $39$ סוכריות, ומהן $14$ טופי:

טעות נפוצה: לחשב עם החזרה: $\left(\frac{15}{40}\right)^2=\frac{9}{64}\approx0.141$. סוכרייה שנאכלה לא חוזרת לקופסה.

במדידה הראשונה: $\angle PQR=\angle TBR=90^\circ$, ו-$\angle PRQ=\angle TRB$ (נתון). לפי ז.ז. $\triangle PRQ\sim\triangle TRB$.

במדידה השנייה, באותו אופן: $\angle KLS=\angle TBS=90^\circ$ ו-$\angle KSL=\angle TSB$, ולכן $\triangle KSL\sim\triangle TSB$.

טעות נפוצה: להסיק ש-$\triangle PRQ\sim\triangle KSL$ ולכן שתי המדידות נותנות את אותו יחס - הזוויות במראה שונות בשתי המדידות, ולכן גם היחסים שונים.

מהדמיון במדידה הראשונה, $\frac{TB}{PQ}=\frac{RB}{QR}$:

טעות נפוצה: להפוך את אחד היחסים, $\frac{TB}{1.6}=\frac{2}{d}$, ולקבל $TB=\frac{3.2}{d}$.

במדידה השנייה המרחק מהמראה לבניין הוא $SB=d+10$, ומהדמיון:

משווים לביטוי מסעיף ב:

טעות נפוצה: להציב במדידה השנייה רק את ההזזה, $\frac{TB}{1.6}=\frac{10}{2.5}$, ולקבל $TB=6.4$ - אבל 10 מ' הם רק חלק מהמרחק בין המראה לבניין.

$LB=LS+SB=2.5+(40+10)=52.5$ מ'.

טעות נפוצה: לענות 50 - זה המרחק מהמראה לבניין; נוי עומדת עוד 2.5 מ' מאחורי המראה.

שטח המגרש: $30\cdot12=360$ מ"ר, ולכן שטח הדשא: $0.7\cdot360=252$ מ"ר.

נסמן ב-$b$ את הבסיס העליון. גובה הטרפז הוא 12 מ':

הבסיס העליון באורך 12 מ'.

טעות נפוצה: להניח שהבסיס העליון הוא 70% מהבסיס התחתון ולענות $0.7\cdot30=21$ מ' - שטח הטרפז תלוי בממוצע הבסיסים, לא בבסיס העליון לבדו.

הפרש הבסיסים $30-12=18$ מ' מתחלק שווה בין שני המשולשים: לכל משולש ניצב אופקי של 9 מ' וניצב אנכי של 12 מ'.

טעות נפוצה: לא לחלק את ההפרש בין שני הצדדים ולחשב $\sqrt{18^2+12^2}\approx21.63$ מ'.

עכשיו היתר של משולש החול ידוע (12.5 מ') וגם הניצב האנכי (12 מ'). מוצאים את הניצב האופקי:

הבסיס העליון קצר מהתחתון בשני ניצבים כאלה: $30-2\cdot3.5=23$ מ'.

טעות נפוצה: להחסיר מהבסיס התחתון רק ניצב אחד ($30-3.5=26.5$) ולקבל $\frac{(30+26.5)\cdot6}{360}\approx94.2\%$.

נסמן ב-$x$ את מספר הדקות. תוכנית א: $y=15+0.4x$; תוכנית ב: $y=0.6x$.

התשלום: $0.6\cdot75=45$ שקלים (בדיקה: $15+0.4\cdot75=45$).

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן, $15=0.6x+0.4x$, ולקבל $x=15$ דקות.

לפי סעיף א, עד 75 דקות תוכנית ב זולה מתוכנית א (למשל ב-0 דקות: 0 לעומת 15), ומעל 75 דקות תוכנית א זולה מתוכנית ב.

מתי תוכנית א משתווה לתוכנית ג? $15+0.4x=55$, ולכן $x=100$.

מתי תוכנית ב משתווה לתוכנית ג? $0.6x=55$, ולכן $x\approx91.7$ - אבל שם תוכנית א זולה משתיהן ($15+0.4\cdot91.7\approx51.7$), ולכן זו אינה נקודת מעבר.

התוצאה: פחות מ-75 דקות - תוכנית ב הזולה ביותר; בין 75 ל-100 דקות - תוכנית א; יותר מ-100 דקות - תוכנית ג.

טעות נפוצה: להשוות את תוכנית ג רק לתוכנית ב ולהסיק שתוכנית ג זולה ביותר כבר מ-$91.7$ דקות. ב-95 דקות, למשל, תוכנית א עולה 53 שקלים - פחות מ-55.

לפי סעיף ב, ליד 90 דקות התוכנית הזולה ביותר היא תוכנית א (בין 75 ל-100 דקות). כדי שתוכנית ג תהיה זולה בדיוק מ-90 דקות, היא צריכה להשתוות לתוכנית א ב-90 דקות:

מעל 90 דקות תוכנית א עולה יותר מ-51 ותוכנית ב עוד יותר, ולכן תוכנית ג במחיר 51 שקלים היא הזולה ביותר בדיוק מ-90 דקות.

טעות נפוצה: להשוות לתוכנית ב ($0.6\cdot90=54$) ולקבוע מחיר של 54 שקלים. אז בין 90 ל-97.5 דקות תוכנית א עדיין זולה מתוכנית ג.

בכל יום יורדים מהמחסן הצפוני 75 ק"ג. ב-8 ימים: $8\cdot75=600$ ק"ג.

טעות נפוצה: לענות 600 - זו כמות האורז שחולקה ב-8 ימים, לא הכמות שנשארה במחסן.

מחלקים 75 ק"ג בכל יום, כל עוד נשאר אורז במחסן. האורז מספיק ל-

ימים (אחרי 24 ימים נשארים $1800-24\cdot75=0$ ק"ג).

טעות נפוצה: לחלק את מה שנשאר אחרי 8 ימים, $\frac{1200}{75}=16$, ולענות 16 - אלה רק הימים שנותרו אחרי 8 הימים הראשונים.

הכמות ההתחלתית במחסן הצפוני היא 1,800 ק"ג, ובכל יום היא קטנה ב-75. אחרי $x$ ימים חולקו $75x$ ק"ג:

זה ביטוי II. בדיקה עם סעיף א(1): $1800-75\cdot8=1200$.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי I, $1800+75x$ - לפיו כמות האורז במחסן הצפוני גדלה בכל יום, אבל מחלקים ממנו אורז.

במחסן הדרומי היו 300 ק"ג, ובכל יום נוספים 50. אחרי $x$ ימים נוספו $50x$ ק"ג:

זה ביטוי IV.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי III, $300x+50$ - בו 300 מוכפל במספר הימים, כאילו מגיעים למחסן 300 ק"ג בכל יום. המספר שמוכפל ב-$x$ הוא השינוי היומי (50).

משווים את שני הביטויים:

בדיקה: במחסן הצפוני $1800-900=900$, ובמחסן הדרומי $300+600=900$.

טעות נפוצה: לחלק את הפער ההתחלתי רק בקצב של המחסן הצפוני, $\frac{1800-300}{75}=20$ - הפער נסגר גם בגלל שהמחסן הצפוני מתרוקן וגם בגלל שהמחסן הדרומי מתמלא, כלומר ב-$75+50=125$ ק"ג ביום.

הגרף היורד שמתחיל ב-1,800 הוא של המחסן הצפוני, והגרף העולה שמתחיל ב-300 הוא של המחסן הדרומי.

$b$ ו-$a$: נקודת החיתוך של הגרפים היא הרגע שבו בשני המחסנים אותה כמות - כעבור 12 ימים, עם 900 ק"ג (סעיף ג). לכן $b=12$ ו-$a=900$.

$c$: הגרף של המחסן הצפוני פוגש את ציר הזמן כשהמחסן מתרוקן - כעבור 24 ימים (סעיף א(2)). לכן $c=24$.

טעות נפוצה: לכתוב ב-$a$ את הפער ההתחלתי בין המחסנים, $1800-300=1500$, במקום את הכמות בנקודת החיתוך.