מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך - שאלון 371

גובה המשטח מהקרקע הוא אורך הגובה $CF$ (וגם $DE$, כי שניהם גבהים בין אותם שני ישרים מקבילים).

במשולש ישר הזווית $CFB$ ($\angle F=90^\circ$) ידועים היתר $CB=6.5$ והזווית $\angle B=35^\circ$.

$CF$ הוא הניצב שמול הזווית $B$, ולכן משתמשים בסינוס:

גובה המשטח מהקרקע: כ-$3.73$ מ'.

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס, $CF=6.5\cdot\cos35^\circ$, ולקבל כ-$5.32$ מ'. הניצב שליד הזווית $B$ הוא $FB$ (על הקרקע), והגובה $CF$ נמצא מול הזווית.

מפרקים את הבסיס לשלושה קטעים: $AB=AE+EF+FB$.

$DEFC$ הוא מלבן ($DC\parallel EF$, ו-$DE$, $CF$ מאונכים לקרקע), ולכן $EF=DC=2.5$.

במשולש $CFB$: $FB$ הוא הניצב שליד הזווית $B$:

במשולש ישר הזווית $AED$: הניצב $DE=CF\approx3.73$ נמצא מול הזווית $A=50^\circ$, ו-$AE$ הוא הניצב שלידה:

המרחק בין קצה המדרגות לקצה המגלשה: כ-$10.95$ מ'.

טעות נפוצה: לכפול בטנגנס במקום לחלק בו: $AE=3.73\cdot\tan50^\circ\approx4.45$, ואז $AB\approx4.45+2.5+5.32=12.27$ מ'. ב-$\tan50^\circ=\frac{DE}{AE}$ הנעלם $AE$ נמצא במכנה, ולכן מחלקים.

במשולש ישר הזווית $AED$: $DE\approx3.73$ הוא הניצב שמול הזווית $A=50^\circ$, ו-$AD$ הוא היתר.

אורך המדרגות: כ-$4.87$ מ'.

טעות נפוצה: לכפול בסינוס במקום לחלק: $AD=3.73\cdot\sin50^\circ\approx2.86$ מ'. כך יוצא שהיתר $AD$ קצר מהניצב $DE$ - וזה בלתי אפשרי.

העמוד והאדם מאונכים לקרקע, ולכן $\angle ABE=\angle DCE=90^\circ$.

הזווית $\angle E$ משותפת לשני המשולשים $ABE$ ו-$DCE$.

שתי זוויות שוות, ולכן לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle ABE\sim\triangle DCE$.

הצלעות המתאימות: $AB$ מתאימה ל-$DC$, $BE$ מתאימה ל-$CE$, ו-$AE$ מתאימה ל-$DE$.

טעות נפוצה: לבחור את המשולש $ABC$ (מהמנורה לרגלי האדם) ולטעון ש-$\triangle ABC\sim\triangle DCE$. במשולש $ABC$ אין את הזווית $E$, וקרן האור עוברת דרך $D$ אל $E$ - לכן המשולש הגדול הוא $ABE$.

מהדמיון: $\frac{DC}{AB}=\frac{CE}{BE}$. מסמנים $CE=x$; אז $BE=BC+CE=8+x$.

$\frac{1.75}{8.75}=\frac15$, ולכן:

אורך הצל: $2$ מ'.

טעות נפוצה: להתאים את הצל ל-$BC$ במקום ל-$BE$: $\frac{1.75}{8.75}=\frac{x}{8}$, ולקבל $x=1.6$ מ'. הצלע במשולש הגדול שמתאימה ל-$CE$ היא כל הקטע $BE$, מבסיס העמוד עד קצה הצל.

במשולש ישר הזווית $ABE$: $AB=8.75$ הוא הניצב שמול הזווית $E$, ו-$BE=8+2=10$ הוא הניצב שלידה.

(אותה זווית מתקבלת גם במשולש הקטן: $\tan E=\frac{1.75}{2}=0.875$.)

טעות נפוצה: לקחת את $BC=8$ כניצב שליד הזווית: $\tan E=\frac{8.75}{8}$ ו-$\angle E\approx47.56^\circ$. הזווית נמצאת בקצה הצל, ולכן המרחק הוא $BE$ ולא $BC$.

$AD=AE-DE$. מחשבים את שני היתרים בפיתגורס.

במשולש $ABE$: $AE=\sqrt{8.75^2+10^2}=\sqrt{176.5625}\approx13.29$.

במשולש $DCE$: $DE=\sqrt{1.75^2+2^2}=\sqrt{7.0625}\approx2.66$.

המרחק בין ראש האדם למנורה: כ-$10.63$ מ'.

טעות נפוצה: לחשב משולש עם הניצבים $BC=8$ ו-$AB=8.75$: $\sqrt{8^2+8.75^2}\approx11.86$ מ'. זה המרחק מהמנורה לכפות הרגליים של האדם, לא לראשו.

הערך יורד בכל שנה באחוז קבוע, ולכן בכל שנה כופלים את הערך של השנה הקודמת במקדם הדעיכה $q$.

מכונית א: ירידה של $10\%$, כלומר $q=1-0.10=0.9$. מכונית ב: ירידה של $6\%$, כלומר $q=0.94$.

מכונית א: $200{,}000\cdot0.9=180{,}000$, $180{,}000\cdot0.9=162{,}000$, $162{,}000\cdot0.9=145{,}800$.

מכונית ב: $90{,}000\cdot0.94=84{,}600$, $84{,}600\cdot0.94=79{,}524$, $79{,}524\cdot0.94=74{,}752.56$.

ההפרש בכל עמודה: $110{,}000$, $95{,}400$, $82{,}476$, $71{,}047.44$.

טעות נפוצה: להוריד בכל שנה $10\%$ מהערך ההתחלתי ($20{,}000$ ₪ בכל שנה), כאילו הירידה קבועה בשקלים. כך מקבלים אחרי 3 שנים $140{,}000$ ₪ במקום $145{,}800$ ₪ - כל שנה מורידים $10\%$ מהערך של אותה שנה, שהולך וקטן.

לפי השורה האחרונה בטבלה: $110{,}000\to95{,}400\to82{,}476\to71{,}047.44$ - ההפרש הולך וקטן.

הסיבה: מכונית א יקרה יותר וגם מאבדת אחוז גדול יותר מערכה בכל שנה, ולכן בשקלים היא מאבדת הרבה יותר ממכונית ב (בשנה הראשונה $20{,}000$ ₪ לעומת $5{,}400$ ₪).

התשובה: 3 - ההפרש קטן.

טעות נפוצה: לבחור 1 ("ההפרש גדל") מתוך המחשבה ש"מכונית א מאבדת יותר, אז היא מתרחקת". מכונית א היא היקרה, ולכן כשהיא מאבדת יותר שקלים היא מתקרבת למכונית ב.

משתמשים בנוסחת הדעיכה $A_t=A_0\cdot q^t$ עם $A_0=90{,}000$, $q=0.94$, $t=6$:

מחיר מכונית ב בעוד 6 שנים: כ-$62{,}088$ ₪.

טעות נפוצה: לחשב ירידה של $6\cdot6\%=36\%$ מהערך ההתחלתי: $90{,}000\cdot0.64=57{,}600$ ₪. אחוזים שנתיים לא מחברים - כופלים את המקדם $0.94$ שש פעמים.

מחפשים $t$ כך ש:

מנסים חזקות שלמות של $0.9$: $0.9^3=0.729$, $0.9^4=0.6561$, $0.9^5=0.59049$.

לכן $t=5$: בעל המכונית ימכור אותה כעבור 5 שנים.

(בדיקה: $200{,}000\cdot0.9^5=118{,}098$.)

טעות נפוצה: להניח ירידה קבועה של $20{,}000$ ₪ בשנה: $\frac{200{,}000-118{,}098}{20{,}000}\approx4.1$, ולענות "כעבור 4 שנים". בפועל אחרי 4 שנים המחיר עדיין $131{,}220$ ₪.

מחשבים את מחיר מכונית א שנה אחר שנה (כופלים כל פעם ב-$0.9$), עד שהמחיר יורד לראשונה מתחת ל-$119{,}000$:

כעבור 3 שנים: $145{,}800$; כעבור 4 שנים: $131{,}220$ - עדיין מעל $119{,}000$.

כעבור 5 שנים: $131{,}220\cdot0.9=118{,}098$ - מתחת ל-$119{,}000$.

המחיר יורד לראשונה מתחת ל-$119{,}000$ ₪ כעבור 5 שנים.

טעות נפוצה: לענות 4 - השנה האחרונה שבה המחיר עדיין מעל $119{,}000$ ($131{,}220$ ₪). השאלה היא מתי המחיר כבר ירד מתחת לסף.

בהגרלה יש $30+15=45$ כרטיסים, ו-$30$ מהם לסרט. לכל כרטיס אותו סיכוי לצאת, ולכן הסיכוי לכרטיס לסרט הוא:

טעות נפוצה: לענות $\frac12$ כי "יש שני סוגי כרטיסים". הסוגים אינם שווי סיכוי - יש פי 2 כרטיסים לסרט מאשר להצגה.

בפעם הראשונה יוצא כרטיס לסרט בסיכוי $\frac{30}{45}$.

כשיוצא כרטיס לסרט, דני משאיר אותו אצלו - ההוצאה השנייה היא בלי החזרה: נשארו $44$ כרטיסים, ומהם $29$ לסרט.

טעות נפוצה: להתייחס להוצאה השנייה כאילו הכרטיס הוחזר: $\frac23\cdot\frac23=\frac49\approx0.444$. לפי הכללים, כרטיס לסרט נשאר אצל דני, ולכן בשלב השני גם המונה וגם המכנה קטנים ב-1.

"אף כרטיס לסרט" פירושו כרטיס להצגה בשתי ההוצאות.

בפעם הראשונה: $\frac{15}{45}=\frac13$.

כשיוצא כרטיס להצגה, דני מחזיר אותו - בהוצאה השנייה שוב $45$ כרטיסים, ומהם $15$ להצגה. המאורעות בלתי תלויים:

טעות נפוצה: להוציא גם כאן בלי החזרה: $\frac{15}{45}\cdot\frac{14}{44}=\frac{7}{66}\approx0.106$. כרטיס להצגה מוחזר להגרלה, ולכן ההוצאה השנייה זהה לראשונה.

כל שכר מופיע אצל אחוז אחר מהתלמידים, ולכן מחשבים ממוצע משוקלל: כל שכר כפול השכיחות היחסית שלו.

משמעות: אילו כל התלמידים היו מרוויחים אותו סכום, וסך המשכורות היה נשאר זהה, כל אחד היה מקבל $2{,}915$ ₪.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע פשוט של שש המשכורות, $\frac{2000+2500+\dots+4500}{6}=3{,}250$ ₪, בלי להתחשב בכך שמספר התלמידים בכל משכורת שונה.

מספר התלמידים בכל משכורת: אחוז כפול $1{,}000$. בונים שכיחות מצטברת:

מספר הנתונים זוגי ($1{,}000$), ולכן החציון הוא ממוצע האיברים במקומות $500$ ו-$501$.

האיברים $411$ עד $720$ הם $3{,}000$ ₪, ולכן שני האיברים האמצעיים הם $3{,}000$, והחציון $3{,}000$ ₪.

משמעות: לפחות חצי מהתלמידים הרוויחו $3{,}000$ ₪ או פחות, ולפחות חצי - $3{,}000$ ₪ או יותר.

טעות נפוצה: למצוא את האמצע של רשימת שש המשכורות השונות, $\frac{3000+3500}{2}=3{,}250$ ₪, כאילו כל משכורת מופיעה פעם אחת.

מיקום הרבעון התחתון: $1000\cdot0.25=250$ - מספר שלם, ולכן $Q_1$ הוא ממוצע האיברים במקומות $250$ ו-$251$.

לפי השכיחות המצטברת, האיברים $151$ עד $410$ הם $2{,}500$ ₪, ולכן $Q_1=2{,}500$ ₪.

משמעות: כרבע מהתלמידים הרוויחו $2{,}500$ ₪ או פחות.

שכר שמתחת לרבעון התחתון הוא שכר קטן מ-$2{,}500$ ₪ - מבין המשכורות בסקר: $2{,}000$ ₪.

טעות נפוצה: לענות $2{,}500$ ₪, כי "קבוצת ה-$2{,}500$ נמצאת ברבע התחתון". $2{,}500$ הוא הרבעון עצמו, לא שכר שמתחת לו.

מיקום העשירון השמיני: $1000\cdot0.8=800$ - מספר שלם, ולכן $D_8$ הוא ממוצע האיברים במקומות $800$ ו-$801$.

לפי השכיחות המצטברת, האיברים $721$ עד $920$ הם $3{,}500$ ₪, ולכן $D_8=3{,}500$ ₪.

משמעות: כ-$80\%$ מהתלמידים הרוויחו $3{,}500$ ₪ או פחות.

$2{,}500<3{,}500$, ולכן השכר של עדי מתחת לעשירון השמיני.

טעות נפוצה: לספור את המקומות מהשכר הגבוה כלפי מטה. כך המקום ה-$800$ נופל על $2{,}500$ ₪, ומקבלים "$D_8=2{,}500$ - עדי לא מתחת לעשירון השמיני". העשירונים נספרים מהערך הקטן לגדול.

השכר החציוני (סעיף ב) הוא $3{,}000$ ₪. "מתחת לשכר החציוני" - פחות מ-$3{,}000$ ₪, כלומר $2{,}000$ או $2{,}500$ ₪.

טעות נפוצה: לענות $0.5$ "כי חצי מהנתונים מתחת לחציון". כאן $31\%$ מהתלמידים מקבלים בדיוק $3{,}000$ ₪, ולכן פחות מחצי נמצאים מתחת לחציון.

כל המצטרפים מרוויחים $3{,}000$ ₪ - יותר מהממוצע הקיים ($2{,}915$ ₪). הוספת נתונים שגדולים מהממוצע מגדילה את הממוצע.

בחישוב: סך המשכורות לפני: $2915\cdot1000=2{,}915{,}000$; אחרי: $2{,}915{,}000+10\cdot3000=2{,}945{,}000$.

הממוצע גדל.

טעות נפוצה: לענות "נשאר ללא שינוי" כי $3{,}000$ הוא השכר הנפוץ ביותר וגם החציון. מה שקובע את השינוי בממוצע הוא היחס בין הנתונים החדשים לממוצע, ולא לחציון או לשכיח.

בלי ילדים נוספים אין הנחה: $14$ ילדים משלמים $100$ ₪ כל אחד.

טעות נפוצה: להפעיל את ההנחה על $14$ הילדים המקוריים, $14\cdot(100-2\cdot14)=1{,}008$ ₪. ההנחה ניתנת רק על ילדים נוספים, מעבר ל-$14$.

הצטרפו $3$ ילדים, ולכן המחיר לכל ילד יורד ב-$3\cdot2=6$ ₪: $100-6=94$ ₪.

כל $17$ הילדים משלמים את המחיר המוזל:

טעות נפוצה: להוריד $2$ ₪ פעם אחת בלבד, $17\cdot98=1{,}666$ ₪. ההנחה היא $2$ ₪ על כל ילד נוסף, כלומר $6$ ₪ כשמצטרפים שלושה.

סכום הכסף = מספר הילדים כפול המחיר לילד.

מספר הילדים: $14+x$. המחיר לילד: $100$ ₪ פחות $2$ ₪ על כל אחד מ-$x$ הילדים הנוספים, כלומר $100-2x$.

זו פונקציה (i).

בדיקה עם סעיף א(2), $x=3$: (i) $17\cdot94=1{,}598$ ✓; (ii) $17\cdot95=1{,}615$; (iii) $20\cdot97=1{,}940$.

טעות נפוצה: לבחור את (ii), $(14+x)(98-x)$, מתוך המחשבה ש"ההנחה הראשונה היא $2$ ₪ ואחר כך כל ילד מוריד עוד $1$". לפי (ii) כש-$x=3$ נאסף $1{,}615$ ₪ ולא $1{,}598$ ₪.

מציבים בפונקציה $y=(14+x)(100-2x)$:

$x$ הוא מספר הילדים הנוספים, ולכן הוא חייב להיות מספר שלם ולא שלילי.

$x=0.5$ - חצי ילד, אין משמעות. $x=-2$ - פחות ילדים מ-$14$; ההסכם עם המארגן מדבר רק על ילדים נוספים, ולכן גם לו אין משמעות.

יש משמעות רק ל-$x=1$ (נאסף $1{,}470$ ₪) ול-$x=7$ (נאסף $1{,}806$ ₪).

טעות נפוצה: לקבל גם את $x=-2$ "כי שני ילדים ויתרו על הטיול". לפי ההסכם מחיר של $104$ ₪ לא אפשרי - ההנחה ניתנת רק על הצטרפות, ו-$x$ אינו שלילי.

$x$ - מספר הילדים הנוספים - הוא מספר שלם, ו-$x\ge0$: הגרף מתחיל בנקודת החיתוך עם ציר ה-$y$, $(0,1400)$.

המחיר לילד, $100-2x$, לא יכול להיות שלילי: $100-2x\ge0$, כלומר $x\le50$. ב-$x=50$ הגרף חותך את ציר ה-$x$ (הטיול בחינם).

לכן יש משמעות רק לחלק של הגרף שבין $x=0$ ל-$x=50$ (ברביע הראשון), ורק לנקודות שבהן $x$ שלם.

טעות נפוצה: לענות "כל החלק שמעל ציר ה-$x$", כלומר $-14<x<50$. בחלק השמאלי $x$ שלילי - פחות ילדים מ-$14$ - וזה לא חלק מההסכם.

הגרף הוא פרבולה "עצובה" (המקדם של $x^2$ שלילי: $y=1400+72x-2x^2$), והסכום הגבוה ביותר מתקבל בקדקוד.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $14+x=0\Rightarrow x=-14$, ו-$100-2x=0\Rightarrow x=50$.

הקדקוד נמצא באמצע בין נקודות החיתוך:

(גם לפי הנוסחה: $x=\frac{-b}{2a}=\frac{-72}{2\cdot(-2)}=18$.)

כדאי למארגן ש-$18$ ילדים נוספים יצטרפו.

טעות נפוצה: בנוסחת הקדקוד לשכוח את ה-$2$ במכנה: $x=\frac{-72}{-2}=36$.

מציבים $x=18$: $14+18=32$ ילדים, וכל אחד משלם $100-36=64$ ₪.

טעות נפוצה: להציב את מספר כל הילדים ($32$) במקום מספר הילדים הנוספים: $(14+32)(100-64)=46\cdot36=1{,}656$ ₪.

הפרבולה עצובה, והקדקוד הוא ב-$x=18$. מימין לקדקוד הפונקציה יורדת, ולכן כשמצטרפים יותר מ-$18$ ילדים נוספים הסכום הולך וקטן.

בהקשר: כל ילד נוסף מוסיף תשלום אחד, אבל מוריד $2$ ₪ לכל הילדים. כשיש הרבה ילדים, ההנחה הכוללת גדולה מהתשלום של הילד החדש. למשל $y(19)=33\cdot62=2{,}046<2{,}048$.

טעות נפוצה: לבחור (1) "הולך וגדל" כי "יותר ילדים משלמים". המחיר לכל ילד יורד, ואחרי $x=18$ הירידה הזאת גוברת על התוספת.