מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך - שאלון 371

הציון השכיח הוא הציון שקיבלו הכי הרבה תלמידים, כלומר הציון שהעמודה שלו הגבוהה ביותר.

העמודה הגבוהה ביותר היא של הציון 75: קיבלו אותו 8 תלמידים.

הציון השכיח: 75.

טעות נפוצה: לענות 8 - זה מספר התלמידים שקיבלו את הציון השכיח (השכיחות שלו), ולא הציון עצמו.

כל עמודה מראה כמה תלמידים קיבלו ציון מסוים, ולכן מספר התלמידים הוא סכום גובהי העמודות:

טעות נפוצה: לספור את העמודות ולענות 9 - זה מספר הציונים השונים, לא מספר התלמידים.

כל ציון מופיע כמה פעמים, ולכן מחשבים ממוצע משוקלל: כופלים כל ציון במספר התלמידים שקיבלו אותו, מחברים, ומחלקים במספר התלמידים (32, מסעיף ב).

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של הציונים שעל הציר בלי השכיחויות: $\frac{60+65+\dots+100}{9}=80$ - כך כל ציון נספר פעם אחת, כאילו כל ציון קיבל תלמיד אחד.

מסדרים את 32 הציונים מהקטן לגדול. מספר הנתונים זוגי, ולכן החציון הוא ממוצע שני הנתונים האמצעיים: במקום ה-16 ובמקום ה-17.

סופרים מצטבר מהציון הנמוך:

ציון 60 - מקומות 1 עד 4; ציון 65 - מקומות 5 עד 7; ציון 70 - מקומות 8 עד 9; ציון 75 - מקומות 10 עד 17.

שני הנתונים במקומות 16 ו-17 הם 75, ולכן:

החציון: $\frac{75+75}{2}=75$.

טעות נפוצה: לקחת את הציון האמצעי על הציר (מבין 60, 65, ..., 100) ולענות 80 - החציון נקבע לפי מקום הנתון ברשימת כל 32 הציונים, כלומר לפי השכיחויות.

הציון של עידו עלה ב-5 נקודות, ומספר התלמידים לא השתנה. לכן סכום הציונים גדל ב-5:

הממוצע גדל (ב-$\frac{5}{32}\approx0.16$). כל שינוי בנתון אחד משנה את הסכום, ולכן משנה את הממוצע.

טעות נפוצה: לחשוב שהממוצע גדל ב-5, כמו הציון של עידו, ולענות 82.5 - התוספת של 5 מתחלקת בין כל 32 התלמידים.

אחרי התיקון 7 תלמידים קיבלו 75 ו-6 תלמידים קיבלו 80. סופרים שוב מצטבר:

ציון 60 - מקומות 1 עד 4; ציון 65 - מקומות 5 עד 7; ציון 70 - מקומות 8 עד 9; ציון 75 - מקומות 10 עד 16; ציון 80 - מקומות 17 עד 22.

עכשיו במקום ה-16 נמצא 75 ובמקום ה-17 נמצא 80:

החציון: $\frac{75+80}{2}=77.5$.

החציון השתנה, כי הציון של עידו היה בדיוק במקום ה-17, אחד משני הנתונים האמצעיים, ועבר מעל לנתון במקום ה-16.

טעות נפוצה: להעתיק את חישוב הממוצע ולהוסיף לחציון $\frac{5}{32}$ - לקבל $75.16$. החציון לא מושפע מגודל השינוי אלא מהנתונים שבמקומות האמצעיים.

כדי לזכות ב-100 נקודות צריך שני דברים: לפגוע בלוח (0.8), ובתוך הלוח לפגוע בעיגול הפנימי ($\frac12$, ההסתברות כאשר היא פוגעת).

זה מסלול אחד בעץ: "פוגעת" ואחריו "100". כופלים את ההסתברויות שלאורכו:

טעות נפוצה: לענות $\frac12$ - זו ההסתברות לפגוע ב-100 רק בתנאי שהחץ פגע בלוח; צריך לכפול גם בהסתברות לפגוע בלוח.

פחות מ-100 נקודות כשהחץ בלוח: אחד מהאזורים 30, 50 או 70. אלה שלושה מסלולים זרים, בכל אחד הסתברות $0.8\cdot\frac16$:

אפשר גם כך: כשהחץ בלוח, ההסתברות לא לפגוע ב-100 היא $1-\frac12=\frac12$, ולכן $0.8\cdot\frac12=0.4$.

טעות נפוצה: לחבר $\frac16+\frac16+\frac16=\frac12$ ולעצור, בלי לכפול ב-0.8 - ולענות $0.5$.

יותר מ-50 נקודות: האזורים 70 ו-100 (50 עצמו אינו "יותר מ-50").

טעות נפוצה: לכלול גם את האזור של 50 נקודות: $0.8\cdot\left(\frac16+\frac16+\frac12\right)=\frac23\approx0.667$.

המאורע מורכב משני חלקים זרים:

1. פוגעת בלוח וזוכה בפחות מ-100 נקודות - לפי סעיף ב, 0.4.

2. לא זוכה בנקודות כלל - כלומר לא פוגעת בלוח: $1-0.8=0.2$.

המאורעות זרים (אי אפשר גם לפגוע וגם לא לפגוע), ולכן מחברים:

בדיקה: זה המאורע המשלים של סעיף א ("לא לזכות ב-100"): $1-0.4=0.6$.

טעות נפוצה: לכפול את שתי ההסתברויות במקום לחבר: $0.4\cdot0.2=0.08$ - "או" בין מאורעות זרים הוא חיבור.

שלומי עומד זקוף והמגדל ניצב לקרקע, ולכן $\angle MCA=90^\circ$ ו-$\angle NBA=90^\circ$.

לפי הנתון, $\angle MAC=\angle NAB$.

בשני המשולשים יש שתי זוויות שוות בהתאמה, ולכן לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle MAC\sim\triangle NAB$.

ההתאמה: $M\leftrightarrow N$, $A\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow B$, כלומר $\frac{MC}{NB}=\frac{CA}{AB}=\frac{MA}{NA}$.

טעות נפוצה: לנמק בזווית אחת בלבד ("הזוויות ב-$A$ שוות") - כדי להשתמש במשפט ז.ז. צריך שני זוגות של זוויות שוות, והזוג השני הוא הזוויות הישרות.

יחס הדמיון בין המשולש הגדול למשולש הקטן הוא יחס הגבהים:

לכן גם $AB=200\cdot CA$.

$A$ נמצאת בין $C$ ל-$B$, ולכן $CA+AB=BC=1206$. נסמן $CA=x$:

שלומי נמצא 6 מ' מנקודת ההשתקפות (ו-$AB=1200$ מ').

טעות נפוצה: להתייחס ל-1,206 כאילו זה $AB$ ולחשב $CA=\frac{1206}{200}=6.03$ - אבל 1,206 הוא המרחק משלומי עד המגדל, שכולל גם את $CA$.

$AB=1206-6=1200$ מ'. המשולש $NAB$ ישר זווית ב-$B$, ו-$NA$ הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

אפשר גם דרך יחס הדמיון: $MA=\sqrt{6^2+1.62^2}\approx6.215$, ו-$NA=200\cdot MA\approx1242.97$.

טעות נפוצה: להציב את $BC=1206$ במקום $AB$: $\sqrt{1206^2+324^2}\approx1248.76$.

במשולש ישר הזווית $ABC$ (הזווית הישרה ב-$B$): $BC=98$ הוא הניצב שמול הזווית $33^\circ$, ו-$AB$ הוא הניצב שליד הזווית. היחס בין הניצב שמול לניצב שליד הוא טנגנס:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $AB=98\cdot\tan33^\circ\approx63.64$ - הנעלם $AB$ נמצא במכנה של היחס.

במשולש ישר הזווית $ABD$: $AB$ הוא הניצב שליד הזווית $42^\circ$ ו-$BD$ הניצב שמולה:

$BD$ הוא הגובה של הגבעה יחד עם המגדלור, ולכן:

טעות נפוצה: לעצור ב-$BD\approx135.88$ ולענות שזה גובה המגדלור - זה הגובה של ראש המגדלור מעל פני הים, כולל הגבעה.

קודם מוצאים את מקדם הדעיכה $q$. המחיר ההתחלתי $A_0=20{,}000$, ואחרי $t=3$ שנים $A_3=14{,}580$:

בעוד 3 שנים מהיום: מתחילים מהמחיר של היום וכופלים ב-$q$ שלוש פעמים:

טעות נפוצה: להניח שהמחיר יורד בסכום קבוע - ב-3 שנים ירד $20000-14580=5420$, ולכן "בעוד 3 שנים" $14580-5420=9160$. הירידה מעריכית: בכל שנה יורד אותו אחוז, ולכן הסכום שיורד הולך וקטן.

לפני שנתיים = שנה אחת אחרי הקנייה. מתחילים מהמחיר בקנייה וכופלים ב-$q$ פעם אחת:

אפשר גם לחזור אחורה מהמחיר של היום, ולחלק ב-$q^2$: $\frac{14580}{0.9^2}=\frac{14580}{0.81}=18000$.

טעות נפוצה: לכפול את המחיר של היום ב-$q^2$ במקום לחלק: $14580\cdot0.81=11809.8$ - זה המחיר בעוד שנתיים, לא לפני שנתיים.

$q=0.9$: בכל שנה המחיר הוא 90% מהמחיר בשנה הקודמת, כלומר יורד ב-$100\%-90\%=10\%$.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת ב-3 שנים, $1-0.729=27.1\%$, ולחלק ב-3: $9.03\%$ - אחוזים בתהליך מעריכי אינם מתחלקים שווה בין השנים, כי כל שנה האחוז נלקח מסכום אחר.

מחצית מהמחיר המקורי: $\frac{20000}{2}=10000$ שקלים. מחפשים את מספר השנים השלם $t$ (מהיום) הקטן ביותר שבו $14580\cdot0.9^t<10000$. בודקים בניסוי:

$t=3$: $14580\cdot0.9^3=10628.82$ - עדיין יותר מ-10,000.

$t=4$: $14580\cdot0.9^4\approx9565.94$ - פחות מ-10,000.

לכן בעוד 4 שנים מהיום.

טעות נפוצה: לספור את השנים מיום הקנייה ($20000\cdot0.9^n<10000$ מתקיים לראשונה ב-$n=7$) ולענות 7 - השאלה שואלת "מהיום", ומהקנייה עברו כבר 3 שנים.

בינואר נרכשו 17,095 דירות. כל מספר חדרים מופיע כמספר הדירות שבעמודה שלו, ולכן מחשבים ממוצע משוקלל:

(בדיוק רב יותר $\bar x\approx4.50003$ - מעט יותר מ-4.5.)

טעות נפוצה: לחלק את הסכום 76,928 במספר העמודות (4) במקום במספר הדירות, ולקבל $19232$ "חדרים לדירה".

בוחרים באקראי דירה שנרכשה בינואר. הממוצע כ-4.5, ולכן "יותר חדרים מהממוצע" הן הדירות עם 5 או 6 חדרים:

טעות נפוצה: לעגל את הממוצע כלפי מטה ל-4 ולכלול גם את דירות 4 החדרים: $\frac{7324+7004+1437}{17095}\approx0.922$ - דירת 4 חדרים קטנה מהממוצע.

במרץ נרכשו 16,911 דירות - מספר אי-זוגי, ולכן החציון הוא הנתון שבמקום $\frac{16911+1}{2}=8456$ ברשימה מסודרת לפי מספר החדרים.

מצטבר: 3 חדרים - מקומות 1 עד 1,232; 4 חדרים - מקומות 1,233 עד $1232+7315=8547$.

המקום 8,456 נמצא בין 1,233 ל-8,547, ולכן החציון הוא 4 חדרים.

משמעות: לפחות מחצית מהדירות שנרכשו במרץ 2013 היו בנות 4 חדרים או פחות, ולפחות מחצית היו בנות 4 חדרים או יותר.

טעות נפוצה: לחשב חציון של מספרי הדירות שבטבלה ($1232,1422,6942,7315$) ולקבל $\frac{1422+6942}{2}=4182$ - החציון הוא של מספר החדרים, לא של השכיחויות.

בפברואר נרכשו 16,947 דירות. מיקום הרבעון התחתון: $16947\cdot0.25=4236.75$. המספר אינו שלם, ולכן מעגלים כלפי מעלה ולוקחים את הנתון במקום 4,237.

מצטבר: 3 חדרים - מקומות 1 עד 1,274; 4 חדרים - מקומות 1,275 עד $1274+7326=8600$.

המקום 4,237 נמצא בקבוצת 4 החדרים, ולכן הרבעון התחתון הוא 4 חדרים.

משמעות: לפחות רבע מהדירות שנרכשו בפברואר 2013 היו בנות 4 חדרים או פחות (ולפחות שלושה רבעים היו בנות 4 חדרים או יותר). דירות של 3 חדרים הן פחות מרבע מהדירות, ולכן הרבעון התחתון אינו 3.

טעות נפוצה: לספור את המקומות מהדירות הגדולות (6 חדרים) כלפי מטה - שם המקום ה-4,237 נופל ב-5 חדרים, ומקבלים 5. הרבעון התחתון נספר מהנתון הקטן ביותר.