בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2026 מועד א'

הגרף מתחיל בתחילת שנת 2010, ושם הוא חותך את הציר האנכי בערך המסומן 20,000.

לכן בתחילת 2010 היו באי 20,000 תוכים ירוקים. זו הכמות ההתחלתית: $A_0=20000$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-20,000 הוא המספר "לפני" שנת 2010 ולהוסיף כבר שנה של גדילה: $20000\cdot1.08=21600$. הגרף מתחיל בתחילת 2010, ולכן הערך בנקודת ההתחלה הוא המספר בתחילת 2010.

גידול של 8% בשנה פירושו מקדם גדילה $q=1+0.08=1.08$.

מתחילת 2010 עד תחילת 2013 עברו $t=2013-2010=3$ שנים.

בתחילת 2013 היו באי כ-25,194 תוכים ירוקים.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2010, 2011, 2012, 2013 כ-4 שנים ולחשב $20000\cdot1.08^4\approx27210$. בין תחילת 2010 לתחילת 2013 עברו 3 שנים בלבד.

מחפשים את מספר השנים $t$ שבו $20000\cdot1.08^t=29387$. מחלקים ב-20,000:

מחפשים בניסוי וטעייה חזקה של 1.08 שמתאימה:

$1.08^4\approx1.3605$ (קטן מדי), $1.08^5\approx1.4693$ (מתאים).

לכן $t=5$: כעבור 5 שנים מתחילת 2010, כלומר בתחילת שנת $2010+5=2015$.

בדיקה: $20000\cdot1.08^5\approx29386.6\approx29387$.

טעות נפוצה: לחשוב על הגדילה כליניארית - 8% מ-20,000 הם 1,600 תוכים בשנה, $\frac{29387-20000}{1600}\approx5.9$, כלומר כ-6 שנים, ולענות "בתחילת 2016". הגדילה מעריכית: בכל שנה נוספים 8% מהכמות של אותה שנה, לא מהכמות ההתחלתית.

בתחילת 2010 מספר התוכים הכחולים שווה למספר התוכים הירוקים, ולכן גם לכחולים $A_0=20000$ (סעיף א(1)).

מתחילת 2010 עד תחילת 2012 עברו $t=2$ שנים, ובתחילת 2012 היו 21,632 תוכים כחולים:

$q=1.04=1+0.04$, כלומר מספר התוכים הכחולים גדל בכל שנה ב-4%.

טעות נפוצה: לספור 3 שנים (2010, 2011, 2012) ולהוציא שורש שלישי: $q=\sqrt[3]{1.0816}\approx1.0265$, ולענות שהגידול הוא כ-2.65% בשנה.

בתחילת 2010 היו 20,000 תוכים כחולים, ובכל שנה כופלים במקדם $q=1.04$ (סעיף ג(1)):

2011: $20000\cdot1.04=20800$

2012: $20800\cdot1.04=21632$ (מתאים לנתון בטבלה)

2013: $21632\cdot1.04=22497.28\approx22497$

טעות נפוצה: למלא את 2011 כממוצע של 2010 ו-2012, $\frac{20000+21632}{2}=20816$, ולהמשיך באותה תוספת של 816 ולקבל ל-2013 את $22448$. זו השלמה ליניארית; בתהליך מעריכי כופלים בכל שנה ב-$q$.

בכל יום הגלים הם מאחד משלושת הסוגים בלבד, ולכן סכום שלוש ההסתברויות הוא 1:

טעות נפוצה: להשלים ל-1 רק את ההסתברות לגלים נמוכים, $1-0.6=0.4$ - זו ההסתברות שהגלים יהיו בינוניים או גבוהים, לא גבוהים בלבד.

סוג הגלים ביום אחד אינו משפיע על סוג הגלים ביום אחר, ובכל יום ההסתברות לגלים נמוכים היא 0.6. לכן המאורעות "נמוכים ביום הראשון" ו-"נמוכים ביום השני" בלתי תלויים, וכופלים:

טעות נפוצה: לחשוב שאם בכל יום ההסתברות היא 0.6, גם ההסתברות לגלים נמוכים בשני הימים היא 0.6. דרישה לשני ימים היא חיתוך של שני מאורעות, והסתברותו קטנה יותר.

"אותו סוג" מתקיים בשלושה מסלולים זרים: נמוכים-נמוכים, בינוניים-בינוניים, גבוהים-גבוהים. מחברים את הסתברויותיהם:

טעות נפוצה: לשכוח את המסלול גבוהים-גבוהים (שההסתברות שלו חושבה מסעיף א) ולקבל $0.36+0.0625=0.4225$.

הדר גולשת ביום מסוים כשהגלים בינוניים או גבוהים: $0.25+0.15=0.4$.

המאורע המשלים ל"לפחות באחד מהימים" הוא "באף אחד מהימים", כלומר בשני הימים הגלים נמוכים - וההסתברות לכך היא $0.36$ (סעיף ב(1)).

דרך אחרת: $0.4\cdot0.6+0.6\cdot0.4+0.4\cdot0.4=0.24+0.24+0.16=0.64$.

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות של שני הימים, $0.4+0.4=0.8$ - כך המסלול שבו היא גולשת בשני הימים נספר פעמיים.

במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות זו לזו, וסכומן $180^\circ$, ולכן כל זווית היא $\frac{180^\circ}{3}=60^\circ$.

לכן $\angle A=\angle D=60^\circ$ ו-$\angle B=\angle E=60^\circ$.

יש שני זוגות של זוויות שוות, ולכן המשולשים $ABC$ ו-$DEF$ דומים לפי משפט הדמיון ז.ז.

טעות נפוצה: לנמק "המשולשים דומים כי $EF\parallel BC$" - צלע מקבילה אחת לבדה אינה מבטיחה דמיון (אפשר לסרטט בתוך $ABC$ משולש שאחת מצלעותיו מקבילה ל-$BC$ ושאינו דומה לו). הנימוק הוא שכל הזוויות בשני המשולשים הן $60^\circ$.

במשולש שווה צלעות הגובה לצלע חוצה אותה, ולכן $BK=\frac{72}{2}=36$.

במשולש ישר הזווית $ABK$ ($\angle K=90^\circ$) היתר הוא $AB=72$. לפי משפט פיתגורס:

דרך אחרת: $AK=AB\cdot\sin60^\circ=72\cdot\sin60^\circ\approx62.354$.

טעות נפוצה: לחבר את הריבועים במקום לחסר, $\sqrt{72^2+36^2}\approx80.50$ - אבל $AK$ הוא ניצב, והוא קצר מהיתר $AB=72$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2: $72\cdot62.354\approx4489.5$.

יחס הדמיון הוא היחס בין צלעות מתאימות. כאן כל צלע של $ABC$ מתאימה לכל צלע של $DEF$:

טעות נפוצה: לחלק בסדר הפוך, $\frac{48}{72}=\frac23$, ולכתוב שיחס הדמיון בין $ABC$ ל-$DEF$ הוא $\frac23$ - יחס קטן מ-1 אומר ש-$ABC$ קטן מ-$DEF$, אבל $ABC$ הוא המשולש הגדול. (מי שממשיך עם היחס ההפוך מקבל בסעיף ג(2) $2244.7\cdot\frac94\approx5050.6$, שטח גדול מהתמרור כולו.)

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון:

דרך אחרת: הגובה של $DEF$ הוא $24\sqrt3$ (כמו בסעיף ב(1)), ולכן $S_{DEF}=\frac{48\cdot24\sqrt3}{2}=576\sqrt3$.

טעות נפוצה: להקטין את השטח ביחס הדמיון עצמו ולא בריבועו: $2244.7\cdot\frac23\approx1496.5$.

השטח האפור הוא השטח של $ABC$ פחות השטח של $DEF$ שבתוכו:

טעות נפוצה: לחשב שטח של משולש שווה צלעות שצלעו היא הפרש הצלעות, $72-48=24$: $\frac{24^2\sqrt3}{4}\approx249.4$ - הרצועה האפורה אינה משולש.

במשולש ישר הזווית $ABC$ ($\angle B=90^\circ$) היתר הוא $AC=6$, ו-$BC$ הוא הניצב שמול הזווית $A$. לכן משתמשים בסינוס:

טעות נפוצה: להשתמש בטנגנס, כאילו $AC$ הוא הניצב שליד הזווית: $6\cdot\tan32^\circ\approx3.75$ - אבל $AC$ הוא היתר.

$AB$ הוא הניצב שליד הזווית $A$, ולכן משתמשים בקוסינוס:

(אפשר גם בפיתגורס: $AB=\sqrt{6^2-3.18^2}\approx5.09$.)

טעות נפוצה: בפיתגורס, לחבר את הריבועים כאילו $AC$ הוא ניצב: $\sqrt{6^2+3.18^2}\approx6.79$ - יוצא יותר מהיתר.

$D$ נמצאת על המשך הקטע $AB$, ולכן $BD=AD-AB\approx12-5.09=6.91$ מטרים.

במשולש ישר הזווית $CBD$ ($\angle B=90^\circ$) ידועים שני הניצבים: $BC$ מול הזווית $D$ ו-$BD$ לידה. לכן:

טעות נפוצה: להציב $AD=12$ כניצב שליד הזווית במקום $BD$: $\tan\angle CDB=\frac{3.18}{12}$, ומקבלים $\approx14.8^\circ$. $AD$ אינו צלע במשולש ישר הזווית $CBD$.

מספר הלקוחות הוא סכום השורה "מספר הלקוחות":

טעות נפוצה: לחבר את שורת המחירים במקום את שורת הלקוחות: $60+150+180+210=600$.

ממוצע ההכנסות הוא ההכנסה הכוללת חלקי מספר הלקוחות. כל מחיר נספר כמספר הלקוחות ששילמו אותו (ממוצע משוקלל):

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של ארבעת המחירים בלי להתחשב במספר הלקוחות: $\frac{60+150+180+210}{4}=150$.

הממוצע הכי גדול מתקבל כשההכנסה הנוספת הכי גדולה - כששלושת הלקוחות בחרו בתספורת היקרה ביותר, מיוחדת (210 שקלים):

טעות נפוצה: להוסיף את ההכנסה של שלושת הלקוחות ולשכוח להוסיף אותם למכנה: $\frac{7800}{45}\approx173.33$.

כשמוסיפים נתונים, הממוצע יורד רק אם הנתונים החדשים קטנים מהממוצע הקודם. שלושת הלקוחות שילמו אותו סכום, ולכן הממוצע ירד אם ורק אם הסכום שכל אחד מהם שילם קטן מ-159.33 (סעיף א(2)).

I. שיער קצר: 150 שקלים. $150<159.33$ - הממוצע יורד, ולכן ההיגד ייתכן. (בדיקה: $\frac{7170+450}{48}\approx158.75$.)

II. שיער ארוך בהנחה של 15 שקלים: $180-15=165$ שקלים. $165>159.33$ - הממוצע עולה, ולכן ההיגד לא ייתכן. (בדיקה: $\frac{7170+495}{48}\approx159.69$.)

III. מיוחדת בהנחה של 35%: $210\cdot0.65=136.5$ שקלים. $136.5<159.33$ - הממוצע יורד, ולכן ההיגד ייתכן. (בדיקה: $\frac{7170+409.5}{48}\approx157.91$.)

טעות נפוצה: בהיגד III להפחית 35 שקלים במקום 35%: $210-35=175>159.33$, ולקבוע שההיגד לא ייתכן.

בכל חודש יורדים מהסכום של מתן 120 שקלים. ב-4 חודשים: $4\cdot120=480$ שקלים.

טעות נפוצה: לענות 480 - זה הסכום שמתן שילם בארבעה חודשים, לא הסכום שנשאר לו.

מתן יכול להשתתף כל עוד נשאר לו כסף לתשלום. הכסף מספיק ל-

חודשים (אחרי 12 חודשים נשארים לו $1440-12\cdot120=0$ שקלים).

טעות נפוצה: לחלק את מה שנשאר אחרי 4 חודשים, $\frac{960}{120}=8$, ולענות 8 - אלה רק החודשים שנותרו אחרי 4 החודשים הראשונים.

הסכום ההתחלתי של מתן הוא 1,440, ובכל חודש הוא יורד ב-120. אחרי $x$ חודשים ירדו $120x$ שקלים:

זה ביטוי IV. בדיקה עם סעיף א(1): $1440-120\cdot4=960$.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי I, $1440+120x$ - לפיו הסכום של מתן גדל בכל חודש, אבל הוא משלם על החוג.

לרועי היו 540 שקלים, ובכל חודש נוספים 60. אחרי $x$ חודשים נוספו $60x$:

זה ביטוי III.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי II, $540x+60$ - בו 540 מוכפל במספר החודשים, כאילו רועי מקבל 540 שקלים בכל חודש. המספר שמוכפל ב-$x$ הוא השינוי החודשי (60).

משווים את שני הביטויים:

בדיקה: למתן $1440-600=840$, לרועי $540+300=840$.

טעות נפוצה: להעביר אגפים בלי לחבר את שני הקצבים, $1440-540=120x$, ולקבל $x=7.5$ - הפער ביניהם נסגר גם בגלל שהסכום של מתן יורד וגם בגלל שהסכום של רועי עולה, כלומר ב-$120+60=180$ בחודש.

הגרף היורד שמתחיל ב-1,440 הוא של מתן, והגרף העולה שמתחיל ב-540 הוא של רועי.

$b$ ו-$a$: נקודת החיתוך של הגרפים היא הרגע שבו לשניהם אותו סכום - כעבור 5 חודשים, עם 840 שקלים (סעיף ג). לכן $b=5$ ו-$a=840$.

$c$: הגרף של מתן פוגש את ציר הזמן כשנגמר לו הכסף - כעבור 12 חודשים (סעיף א(2)). לכן $c=12$.

טעות נפוצה: לכתוב ב-$a$ את הפער ההתחלתי בין השניים, $1440-540=900$, במקום את הסכום בנקודת החיתוך.