בגרות במתמטיקה 371 - קיץ 2026 מועד ב'

מספר הילדים הוא סכום הגבהים של כל העמודות בדיאגרמה (השכיחויות):

טעות נפוצה: לחבר את הערכים שעל הציר האופקי (מספרי הקליעות) במקום את השכיחויות: $2+3+5+10+15=35$.

ממוצע מדיאגרמת שכיחויות הוא ממוצע משוקלל: כל ערך כפול מספר הילדים שקלעו אותו, חלקי מספר הילדים.

סך הקליעות באימון:

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של חמשת הערכים בלי שכיחויות: $\frac{2+3+5+10+15}{5}=7$ - כך כל ערך נספר פעם אחת, אף על פי ש-8 ילדים קלעו 10 קליעות וילד אחד בלבד קלע 2.

80% ממספר הילדים באימון (20 ילדים, סעיף א(1)):

טעות נפוצה: לחלק ב-0.8 במקום לכפול: $\frac{20}{0.8}=25$ - אבל 80% מכמות הם חלק ממנה, ולכן התוצאה קטנה מ-20.

סך כל השכיחויות בטבלה הוא מספר הילדים במשחק, 16 (סעיף ב).

בטבלה כבר רשומים $1+3+7=11$ ילדים, ולכן:

טעות נפוצה: להשלים למספר הילדים באימון: $20-11=9$ - אבל הטבלה מתארת את המשחק, ובו השתתפו רק 16 ילדים.

ממוצע הקליעות במשחק שווה לממוצע באימון, 7.25 (סעיף א(2)), ובמשחק השתתפו 16 ילדים. לכן סך הקליעות במשחק:

סך הקליעות מהטבלה (עם 5 הילדים שקלעו 4, סעיף ג):

טעות נפוצה: לשכוח לכפול את $x$ בשכיחות שלו (3 ילדים) ולכתוב $80+x=116$, ומקבלים $x=36$.

סך הקליעות במשחק הוא 116 (סעיף ד). אילו תומר היה משתתף וקולע 6 קליעות:

$7.18<7.25$, כלומר הממוצע היה קטן יותר, ולכן הטענה של תומר אינה נכונה.

אפשר גם לנמק בלי חישוב: 6 קליעות הן פחות מהממוצע 7.25, ונתון שקטן מהממוצע מקטין את הממוצע.

טעות נפוצה: להוסיף את 6 הקליעות לסכום אבל לא להוסיף את תומר למספר הילדים: $\frac{122}{16}=7.625>7.25$ - ולהסיק שהטענה נכונה.

בקלמר $6+18=24$ כלי כתיבה, ולכן ההסתברות להוציא עיפרון בהוצאה אחת היא $\frac{6}{24}=\frac14$, ולהוציא עט: $\frac{18}{24}=\frac34$.

ההוצאה עם החזרה, ולכן שתי ההוצאות בלתי תלויות - ההסתברות בהוצאה השנייה זהה לראשונה, ומכפילים:

טעות נפוצה: לחבר את ההסתברויות במקום להכפיל: $\frac14+\frac14=\frac12$ - ל"גם וגם" של שני שלבים מכפילים.

"בדיוק עט אחד" קורה בשני מסלולים: עט ואז עיפרון, או עיפרון ואז עט.

המסלולים זרים, ולכן מחברים:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד (עט ואז עיפרון) ולענות $\frac{3}{16}$.

המאורע המשלים ל"לפחות עט אחד" הוא "אף עט", כלומר שני עפרונות - והסתברותו $\frac{1}{16}$ (סעיף א).

דרך אחרת: בדיוק עט אחד ($\frac{6}{16}$) או שני עטים ($\frac34\cdot\frac34=\frac{9}{16}$): $\frac{6}{16}+\frac{9}{16}=\frac{15}{16}$.

טעות נפוצה: לחשב רק את ההסתברות לשני עטים, $\frac{9}{16}$, ולשכוח את המקרה של עט אחד בדיוק.

אחרי שסיגל נתנה עיפרון אחד ו-3 עטים, נשארו בקלמר $6-1=5$ עפרונות ו-$18-3=15$ עטים, כלומר 20 כלי כתיבה.

ההסתברות להוציא עיפרון בהוצאה אחת: $\frac{5}{20}=\frac14$ - בדיוק כמו ביום ראשון.

ההסתברות שווה לזו שבסעיף א. הסיבה: סיגל נתנה עפרונות ועטים ביחס $1:3$, אותו יחס כמו בקלמר ($6:18$), ולכן החלק של העפרונות לא השתנה.

טעות נפוצה: להקטין רק את מספר העפרונות ולהשאיר 24 כלי כתיבה: $\left(\frac{5}{24}\right)^2=\frac{25}{576}\approx0.043$ - ולהסיק שההסתברות קטנה.

עמוד התמיכה $BC$ מאונך לקרקע, ולכן המשולש $ABC$ ישר זווית ב-$C$, ו-$AB$ (מול הזווית הישרה) הוא היתר.

לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחסר את הריבועים כאילו $AB$ ניצב: $\sqrt{81-45.5625}\approx5.96$ - אבל $AB$ מול הזווית הישרה, ולכן הוא הצלע הארוכה ביותר.

במשולש $ABC$: $\angle ACB=90^\circ$, כי $BC$ מאונך לקרקע.

במשולש $ADE$: $\angle AED=90^\circ$, כי $DE$ מאונך לקרקע.

הזווית $\angle A$ משותפת לשני המשולשים ($D$ על $AB$ ו-$E$ על $AC$).

שתי זוויות שוות - המשולשים דומים לפי ז.ז., וההתאמה היא $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: לנמק רק בזווית המשותפת $A$ ("יש להם זווית משותפת ולכן הם דומים") - זווית שווה אחת לא מספיקה; צריך גם את הזוויות הישרות.

לפי ההתאמה מסעיף ב, הצלע $AB$ מתאימה לצלע $AD$ (שתיהן מול הזווית הישרה). שתיהן ידועות:

טעות נפוצה: לחלק צלעות שאינן מתאימות, $\frac{AC}{AD}=\frac{9}{7.5}=1.2$ - $AC$ מתאימה ל-$AE$, לא ל-$AD$.

$DE$ מתאים ל-$BC$, והמשולש $ADE$ הוא הקטן:

טעות נפוצה: לכפול ביחס הדמיון במקום לחלק: $6.75\cdot1.5=10.125$ - ארוך מ-$BC$, אף על פי ש-$DE$ שייך למשולש הקטן.

$AE$ מתאים ל-$AC$:

הנקודה $E$ נמצאת בין $A$ ל-$C$, ולכן:

טעות נפוצה: לעצור ב-$AE=6$ ולענות 6 מטרים - זה המרחק מתחילת המדרגות לעמוד $DE$, לא המרחק בין שני העמודים.

העמוד ניצב על הקרקע, ולכן המשולש $ABC$ ישר זווית ב-$A$, והסולם $BC$ הוא היתר.

$CA$ הוא הניצב שליד הזווית $67^\circ$, ולכן משתמשים בקוסינוס:

טעות נפוצה: לחלק במקום לכפול, $CA=\frac{5}{\cos67^\circ}\approx12.8$ - כאילו $BC$ ניצב ו-$CA$ יתר; אבל ניצב קצר מהיתר.

$AB$ הוא הניצב שמול הזווית $67^\circ$, ולכן משתמשים בסינוס:

(אפשר גם לפי פיתגורס: $AB=\sqrt{5^2-1.95^2}\approx4.60$.)

טעות נפוצה: בפיתגורס לחבר את הריבועים במקום לחסר: $\sqrt{5^2+1.95^2}\approx5.37$ - יותר מאורך הסולם, וזה בלתי אפשרי לניצב.

במשולש ישר הזווית $ABD$ (זווית ישרה ב-$A$) ידועים היתר $BD=4.8$ והניצב שמול הזווית $D$, $AB\approx4.6025$ (סעיף ב):

(עם הערך המעוגל $AB=4.6$ מתקבל $\sin\angle BDA\approx0.9583$ ו-$\angle BDA\approx73.4^\circ$ - ההפרש נובע מעיגול בלבד.)

טעות נפוצה: להשתמש בקוסינוס במקום בסינוס: $\cos\angle BDA=\frac{4.6}{4.8}$, ומקבלים $\angle BDA\approx16.5^\circ$ - זו הזווית שבין הסולם לעמוד ($\angle ABD$), לא הזווית עם הקרקע.

קודם מוצאים את $AD$ במשולש $ABD$ (הניצב שליד הזווית $D$):

(או לפי פיתגורס: $AD=\sqrt{4.8^2-4.6^2}\approx1.37$.)

$C$ ו-$D$ נמצאות משני צדי העמוד, ו-$A$ ביניהן, ולכן:

טעות נפוצה: לחסר את הקטעים, $CD=CA-AD\approx0.59$, כאילו שני הסולמות באותו צד של העמוד - אבל $D$ על המשך הקטע $CA$, מעבר ל-$A$.

הסכום גדל ב-4% בכל שנה, ולכן מקדם הגדילה הוא $q=1+0.04=1.04$, והכמות ההתחלתית היא $A_0=28{,}500$.

מתחילת 2020 עד תחילת 2026 עברו $t=2026-2020=6$ שנים.

טעות נפוצה: לספור את השנים 2020 עד 2026 כ-7 שנים ($t=7$), ומקבלים $28{,}500\cdot1.04^7\approx37{,}504$ - בתחילת 2026 הכסף גדל רק 6 פעמים.

מחפשים $t$ שעבורו $28{,}500\cdot1.04^t=33{,}341$, כלומר

מנסים ערכים: $1.04^3\approx1.1249$, $1.04^4\approx1.1699$ - ולכן $t=4$.

בדיקה: $28{,}500\cdot1.04^4\approx33{,}341$.

4 שנים אחרי תחילת 2020 - בתחילת שנת $2020+4=2024$.

טעות נפוצה: לספור את 2020 כשנה הראשונה ולענות 2023 - בתחילת 2023 עברו רק 3 שנים, והיו בתוכנית כ-$32{,}059$ שקלים.

נסמן ב-$q$ את מקדם הדעיכה. מתחילת 2023 עד תחילת 2025 עברו 2 שנים:

$q=0.98=1-0.02$, ולכן המחיר קטן בכל שנה ב-2%.

טעות נפוצה: לחשב את הירידה הכוללת, $\frac{40{,}000-38{,}416}{40{,}000}=0.0396$, ולענות שהמחיר קטן ב-3.96% בכל שנה - זו הירידה בשתי שנים יחד.

מחיר המכונית בתחילת 2026 - שנה אחרי תחילת 2025:

(או מ-2023: $40{,}000\cdot0.98^3\approx37{,}648$.)

בתוכנית החיסכון בתחילת 2026 היו כ-$36{,}062$ שקלים (סעיף א).

$36{,}062<37{,}648$, ולכן הסכום לא הספיק לקניית המכונית.

טעות נפוצה: לכפול באחוז במקום במקדם, $38{,}416\cdot0.02\approx768$, ולהסיק שהמכונית עולה 768 שקלים והחיסכון מספיק - $768$ הוא גובה הירידה בשנה, לא המחיר החדש.

כשעוד אף דירה לא שילמה ($x=0$), הסכום בקופה הוא הסכום ההתחלתי - נקודת החיתוך של הגרף עם הציר האנכי.

בבניין א' הסכום ההתחלתי גדול יותר (24,000 לעומת 9,600), ולכן הגרף שלו חותך את הציר האנכי גבוה יותר - גרף II.

בדיקה נוספת: בבניין א' גובים פחות מכל דירה (3,000 לעומת 4,600), ולכן הגרף שלו עולה פחות בתלילות - גם זה מתאים לגרף II.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I, "כי בבניין א' יש יותר כסף ולכן הגרף שלו תלול יותר" - התלילות נקבעת לפי הסכום שגובים מכל דירה, ובבניין א' הוא קטן יותר.

לסכום ההתחלתי, 24,000, מתווספים 3,000 שקלים על כל אחת מ-$x$ הדירות ששילמו:

טעות נפוצה: להחליף בין הקבוע לשיפוע ולכתוב $3{,}000+24{,}000x$ - הסכום ההתחלתי לא מוכפל במספר הדירות.

טעות נפוצה: לכתוב $4{,}600+9{,}600x$ - כאילו 9,600 נגבים מכל דירה.

משווים את שני הביטויים:

בדיקה: $24{,}000+27{,}000=51{,}000$ ו-$9{,}600+41{,}400=51{,}000$.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להפוך סימן ולקבל $24{,}000+9{,}600=1{,}600x$, כלומר $x=21$.

טעות נפוצה: לחלק את כל הסכום במחיר לדירה, $\frac{60{,}200}{4{,}600}\approx13.1$ - ולשכוח ש-9,600 שקלים היו בקופה עוד לפני שדירה כלשהי שילמה.

כל 16 הדירות שילמו, ולכן מציבים $x=16$:

רק בקופה של בניין ב' יש מספיק לתיקון המעלית, ולכן טענה III נכונה.

(אפשר גם לראות זאת מהגרפים: מעבר לנקודת השוויון $x=9$ הקופה של בניין ב' גדולה יותר.)

טעות נפוצה: לשכוח את הסכומים ההתחלתיים ולחשב רק את הגבייה, $48{,}000$ ו-$73{,}600$ - ולהסיק ששתי הקופות אינן מספיקות ואף טענה אינה נכונה.