מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 9 מעל רמת בגרות

$x\ge0$, $y\ge0$: הרביע הראשון. הישר $x+y=50$ חותך את הצירים ב-$(50,0)$ וב-$(0,50)$; הישר $x+3y=90$ - ב-$(90,0)$ וב-$(0,30)$.

שני האילוצים מתקיימים ב-$(0,0)$, ולכן התחום הוא בצד של הראשית. על ציר ה-$y$ הוא נעצר ב-$(0,30)$ ועל ציר ה-$x$ ב-$(50,0)$.

הקדקוד הרביעי הוא חיתוך הישרים:

הקדקודים: $(0,0)$, $(0,30)$, $(30,20)$, $(50,0)$.

טעות נפוצה: לסמן את החיתוך של $x+3y=90$ עם ציר ה-$y$ ב-$(0,90)$ (בלי לחלק ב-3); אז על ציר ה-$y$ התחום נעצר בישר $x+y=50$, ומקבלים קדקוד שגוי $(0,50)$.

פונקציית המטרה: $f(x,y)=30x+40y$. מציבים בקדקודים:

$(0,30)$: $1200$; $(30,20)$: $900+800=1700$; $(50,0)$: $1500$.

המקסימום, 1,700 שקלים, ב-$(30,20)$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הקדקודים שעל הצירים ולבחור ב-$(50,0)$ - 50 מנורות שולחן בלבד ורווח של 1,500 שקלים.

נסמן $k=1+\frac{p}{100}$. הרווח ממנורת רצפה הוא עכשיו $40k$, והתחום לא השתנה.

ב-$(50,0)$ הרווח נשאר $1500<1940$, ולכן המקסימום החדש מתקבל ב-$(30,20)$ או ב-$(0,30)$. בודקים את שתי האפשרויות:

אם המקסימום ב-$(30,20)$: $900+800k=1940$, כלומר $k=1.3$. בדיקה: ב-$(0,30)$ הרווח $1200\cdot1.3=1560<1940$ - מתאים.

אם המקסימום ב-$(0,30)$: $1200k=1940$, כלומר $k\approx1.617$. בדיקה: אז ב-$(30,20)$ הרווח $900+800\cdot1.617\approx2193>1940$, ולכן 1,940 אינו המקסימום - נפסל.

$k=1.3$, כלומר $p=30$: הרווח ממנורת רצפה גדל ב-$30\%$ (ל-52 שקלים).

טעות נפוצה: לחשב את האחוז מתוך הרווח הכולל: $\frac{1940-1700}{1700}\approx14.1\%$. אבל רק הרווח ממנורת רצפה השתנה, והאחוז מתייחס אליו.

עם $k=1+\frac{q}{100}$, הרווח בקדקודים: $(30,20)$: $900+800k$; $(0,30)$: $1200k$; $(50,0)$: $1500$.

מול $(50,0)$: $900+800k\ge1500$ מתקיים תמיד, כי $k>1$.

מול $(0,30)$: $900+800k\ge1200k\ \Rightarrow\ 900\ge400k\ \Rightarrow\ k\le2.25$.

כלומר $1+\frac{q}{100}\le2.25$, ולכן $q\le125$. ב-$q=125$ שני הקדקודים נותנים אותו רווח (2,700 שקלים), וכל הצלע ביניהם אופטימלית.

טעות נפוצה: להשוות את $(30,20)$ לרווח הישן ב-$(0,30)$, $900+800k\ge1200$ - ולהסיק שהפתרון נשאר אופטימלי לכל $q$. גם הרווח ב-$(0,30)$ גדל כשהרווח ממנורת רצפה גדל.

מציבים $x=6$ במשוואת הישר $AC$:

$A(6,19)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולחשב $9+28=37$, כלומר $A(6,37)$.

שיפוע $AC$ הוא $-1.5=-\frac32$. $BD\perp AC$:

דרך $E(12,10)$:

טעות נפוצה: לקחת את ההופכי בלי להחליף סימן, $m_{BD}=-\frac23$, ולקבל $y=-\frac23x+18$.

משווים את משוואות $AB$ ו-$BD$:

כופלים ב-3: $15x-33=2x+6$, ולכן $13x=39$, $x=3$.

$B(3,4)$.

טעות נפוצה: להעביר את $-11$ לאגף השני בלי להחליף סימן: $5x-\frac23x=2-11$, ולקבל $x\approx-2.08$, $B(-2.08,\,0.62)$.

$E$ אמצע $BD$:

$D(21,16)$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $B$ ו-$E$, $(7.5,\,7)$, במקום את הקצה השני של הקטע.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן $y_C=y_B=4$. $C$ על $AC$:

$C(16,4)$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ (כאילו $C$ על ציר ה-$x$) ולקבל $x=\frac{28}{1.5}\approx18.67$, $C(18.67,\,0)$.

$BC=16-3=13$.

$BC=DC$, ולכן המשולש $DBC$ שווה שוקיים. (הסיבה: $AC$ הוא האנך האמצעי של $BD$, וכל נקודה עליו במרחק שווה מ-$B$ ומ-$D$.)

טעות נפוצה: להשוות רק את $DB\approx21.63$ ל-$BC=13$ ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים.

$16\%$ מתחת ל-26: צוברים משמאל $0.5+1.5+5+9=16$ - ארבעה מלבנים, ולכן $26=\bar x-S$.

$2\%$ מעל 56: צוברים מימין $0.5+1.5=2$ - ארבעה מלבנים, ולכן $56=\bar x+2S$.

מחסרים: $3S=30$, $S=10$, ו-$\bar x=26+10=36$.

טעות נפוצה: לבלבל בין $2\%$ ל-$0.5\%$ ולמקם את 56 ב-$\bar x+2.5S$; אז $3.5S=30$, $S\approx8.57$ ו-$\bar x\approx34.57$.

צוברים מימין עד $7\%$: $0.5+1.5+5=7$ - שלוש חצאי סטיות תקן מעל הממוצע:

עובדים שזמן ההגעה שלהם ארוך מ-51 דקות מקבלים החזר מוגדל.

טעות נפוצה: לצבור את ה-$7\%$ משמאל ולקבל $36-15=21$ דקות - אבל ההחזר ניתן למי שזמנם הארוך ביותר, מימין בגרף.

48 העובדים הם $16\%$ מכלל העובדים: $n=\frac{48}{0.16}=300$.

21 הוא $\bar x-1.5S$ ו-41 הוא $\bar x+0.5S$. האחוז ביניהם:

טעות נפוצה: לחשב $62\%$ מ-48 העובדים שבנתון ($\approx30$) - אבל 48 הם רק העובדים שמגיעים בפחות מ-26 דקות, לא כל העובדים.

זמן ההגעה של דנה: $x=36-0.5\cdot10=31$ דקות.

זמן ההגעה של יוסי: $31+15=46$ דקות.

(דרך אחרת: 15 דקות הן $1.5$ סטיות תקן, ולכן $z=-0.5+1.5=1$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את ההפרש, $\frac{15}{10}=1.5$, ולשכוח שיוסי מתחיל מהזמן של דנה, שמתחת לממוצע.

$y$ נמדד במאות, ולכן הנקודות הן $(1,32)$ ו-$(3,16)$:

מחסרים את המשוואה הראשונה מהשנייה: $2b=-24$, $b=-12$, ואז $c=43$.

הפונקציה: $y=x^2-12x+43$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמספר כעבור חודש הוא המספר בפתיחה ולהציב $c=32$, ואז מהנקודה השנייה $9+3b+32=16$ ולקבל $b=-\frac{25}{3}\approx-8.33$.

$a=1>0$, ולכן הקודקוד הוא מינימום:

כעבור 6 חודשים (בתוך התקופה), $7$ מאות - 700 מנויים.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס שבנוסחה ולקבל $x=\frac{-12}{2}=-6$, להסיק שהקודקוד לפני התקופה ולכן הפונקציה עולה בכל התקופה, ולענות שהמספר הקטן ביותר היה בפתיחה - 4,300 מנויים.

בסוף התקופה $x=10$: $y=100-120+43=23$.

מחפשים זמן נוסף שבו $y=23$:

$x=10$ (סוף התקופה עצמו) או $x=2$. התשובה: כעבור חודשיים.

(בדרך קצרה: ציר הסימטריה $x=6$, ו-10 נמצא 4 יחידות מימינו; הנקודה הסימטרית $6-4=2$.)

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה ולענות $x=10$ - זה סוף התקופה עצמו, והשאלה מבקשת זמן אחר.

בתקופה $0\le x\le10$ הפונקציה יורדת מ-43 (ב-$x=0$) עד 7 (ב-$x=6$), ואחר כך עולה עד 23 (ב-$x=10$).

$k=7$: רק בקודקוד - זמן אחד.

$7<k\le23$: פעם אחת בירידה ופעם אחת בעלייה - שני זמנים (ב-$k=23$ השני הוא סוף התקופה).

$23<k\le43$: רק בירידה, כי בעלייה הפונקציה לא מגיעה מעל 23 - זמן אחד.

$k<7$ או $k>43$: אף פעם.

טעות נפוצה: להתעלם מגבולות התקופה ולענות "שני זמנים לכל $k>7$" - בעלייה הגרף נעצר ב-$x=10$, בגובה 23.

מהמבטים: מלפנים (שמאל, אמצע, ימין) $1,2,3$; מימין (קדמית, אמצעית, אחורית) $3,2,2$; מלמעלה - כל המשבצות חוץ מהימנית בשורה האמצעית.

בתרשים מספרים השורה העליונה היא השורה האחורית. בכל משבצת אפשר לשים לכל היותר את הקטן מבין הגובה של העמודה שלה במבט מלפנים והגובה של השורה שלה במבט מימין:

אחורית: $\min(1,2)=1$, $\min(2,2)=2$, $\min(3,2)=2$.

אמצעית: $\min(1,2)=1$, $\min(2,2)=2$, ריקה.

קדמית: $\min(1,3)=1$, $\min(2,3)=2$, $\min(3,3)=3$.

סך הכול $5+3+6=14$ קוביות. בדיקה: מלפנים $1,2,3$, מימין $3,2,2$ - המבטים נשמרים.

טעות נפוצה: לתת לכל משבצת את גובה העמודה שלה במבט מלפנים בלבד ($1,2,3$ בכל שורה), ולקבל 15 קוביות - אז במבט מימין השורה האחורית בגובה 3 ולא 2.

כל משבצת במבט מלמעלה חייבת לפחות קובייה אחת: 8 קוביות.

עמודה בגובה 3: צריך אחת בעמודה הימנית (מבט מלפנים) ואחת בשורה הקדמית (מבט מימין). עמודה אחת בגובה 3 בקדמית-ימנית עונה על שתי הדרישות: עוד 2 קוביות.

השורה האמצעית צריכה עמודה בגובה 2. השמאלית בה מוגבלת ל-1 (העמודה השמאלית במבט מלפנים בגובה 1) והימנית ריקה, ולכן חייבים 2 באמצעית-אמצעית: עוד קובייה אחת. היא גם נותנת לעמודה האמצעית את הגובה 2 שלה.

השורה האחורית צריכה עמודה בגובה 2, באחורית-אמצעית או באחורית-ימנית (השמאלית מוגבלת ל-1): עוד קובייה אחת.

סך הכול $8+2+1+1=12$.

טעות נפוצה: לשים את ה-2 של השורה האחורית באחורית-אמצעית, לראות שהעמודה האמצעית כבר בגובה 2, ולשכוח שגם השורה האמצעית צריכה 2 - מקבלים 11 קוביות, אבל אז במבט מימין השורה האמצעית בגובה 1.

מה קבוע: העמודה השמאלית בגובה מרבי 1, ולכן בשלוש המשבצות שלה קובייה אחת. בקדמית-ימנית חייבים 3 (המקום היחיד שמותר בו 3 גם בעמודה וגם בשורה). באמצעית-אמצעית חייבים 2 (המשבצת היחידה בשורה האמצעית שמותר בה 2).

נשארו שלוש משבצות: אחורית-אמצעית, אחורית-ימנית, קדמית-אמצעית - בכל אחת 1 או 2. העמודה האמצעית והעמודה הימנית כבר מקבלות את הגובה שלהן, והשורה הקדמית את ה-3 שלה. התנאי היחיד: בשורה האחורית צריך 2 (באחורית-אמצעית או באחורית-ימנית).

לשתי המשבצות האחוריות יש $2\cdot2-1=3$ אפשרויות (פוסלים את 1,1), ולקדמית-אמצעית 2 אפשרויות בלי תנאי.

סך הכול $3\cdot2=6$ מבנים (עם 12, 12, 13, 13, 13 ו-14 קוביות).

טעות נפוצה: לספור $2^3=8$ אפשרויות לשלוש המשבצות בלי לבדוק את התנאי - בשתיים מהן (1 בשתי המשבצות האחוריות) השורה האחורית בגובה 1 במבט מימין.

המעטפת של תיבה היא ארבע הפאות הצדדיות (בלי הבסיס והתקרה). שתיים מהן מלבנים של $60\times130$ ושתיים של $55\times130$:

או בקיצור: היקף הבסיס כפול הגובה, $2(60+55)\cdot130=230\cdot130=29{,}900$ סמ"ר.

טעות נפוצה: להוסיף גם את הבסיס ואת התקרה, $29{,}900+2\cdot60\cdot55=36{,}500$ סמ"ר - זה שטח הפנים של התיבה, לא שטח המעטפת.

הדוד הוא גליל שרדיוס בסיסו 22 ס"מ וגובהו 100 ס"מ:

נפח הדוד הוא כ-$152{,}053.1$ סמ"ק (כ-152 ליטר).

טעות נפוצה: לא להעלות את הרדיוס בריבוע: $\pi\cdot22\cdot100=2200\pi\approx6{,}911.5$ סמ"ק.

נפח הדוד (סעיף ב) הוא כ-$152{,}053$ סמ"ק.

$100{,}000<152{,}053<160{,}000$, ולכן לפי השורה השנייה בטבלה הדוד מספיק ל-4 נפשות לכל היותר.

טעות נפוצה: לשכוח את $\pi$ בנפח הדוד ולחפש בטבלה את $22^2\cdot100=48{,}400$ סמ"ק - ולקבל מהשורה הראשונה 2 נפשות.

גובה הדוד של משפחת כהן: $100+15=115$ ס"מ, והרדיוס 22 ס"מ:

$160{,}000<174{,}861<220{,}000$, ולכן לפי השורה האחרונה בטבלה הדוד מספיק ל-6 נפשות לכל היותר.

טעות נפוצה: לחשב רק את הנפח שנוסף בגלל 15 הס"מ, $\pi\cdot22^2\cdot15=7260\pi\approx22{,}808$ סמ"ק, במקום את נפח הדוד כולו - ולקבל מהשורה הראשונה 2 נפשות.