מתכונת במתמטיקה 372 - מתכונת 8 מעל רמת בגרות

השיפוע שלילי: כשהולכים ימינה מ-$A$ ל-$E$, הישר יורד.

טעות נפוצה: לחסר את ה-$x$ בסדר הפוך לסדר של ה-$y$, $\frac{11-3}{0-(-4)}$, ולקבל $m=2$.

$AE\perp BC$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

$E(0,3)$ על ציר ה-$y$, ולכן נקודת החיתוך של $BC$ עם ציר ה-$y$ היא 3:

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי בלי לשנות סימן, $m_{BC}=-\frac12$, ולקבל $y=-\frac12x+3$.

$C$ על ציר ה-$x$: מציבים $y=0$ במשוואת $BC$.

$C(-6,0)$ - משמאל לציר ה-$y$, כמו בסרטוט.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי לשנות סימן, $\frac12x=3$, ולקבל $C(6,0)$ - נקודה מימין לציר ה-$y$, בניגוד לסרטוט.

במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $E$ היא אמצע $BC$.

$B(6,6)$. בדיקה: $\frac12\cdot6+3=6$.

טעות נפוצה: לחשב את אמצע $EC$ במקום את הקצה השני, ולקבל $(-3,1.5)$.

$BF\parallel AE$, ולכן $m_{BF}=-2$. הישר עובר דרך $B(6,6)$:

טעות נפוצה: לפתוח את הסוגריים עם סימן שגוי, $-2(x-6)=-2x-12$, ולקבל $y=-2x-6$.

$F$ על ציר ה-$y$: $x=0$ במשוואת $BF$ נותן $y=18$, כלומר $F(0,18)$.

$F$ ו-$E$ על ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: לחבר את שיעורי ה-$y$ במקום לחסר, $FE=18+3=21$, ולקבל היקף של כ-$41.12$.

$B$: $y=0\Rightarrow\frac{12}{5}x=-\frac{36}{5}\Rightarrow x=-3$.

$A$: $y=\frac{12}{5}\cdot2+\frac{36}{5}=\frac{60}{5}=12$.

טעות נפוצה: לחשב את $B$ כחיתוך עם ציר $y$ ולקבל $\left(0,\frac{36}{5}\right)$.

נסמן $C(c,0)$. אמצע $AC$: $D\left(\frac{2+c}{2},6\right)$.

תנאי הניצבות $m_{BD}\cdot m_{AC}=-1$:

כלומר $c=10$ או $c=-16$.

$C$ על החלק החיובי של ציר $x$, ולכן $c=-16$ נפסל ו-$C(10,0)$.

(בדיקה: $BC=13$ וגם $AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$ - המשולש שווה שוקיים, ולכן התיכון לבסיס $AC$ מאונך לו.)

טעות נפוצה: לנחש $BC=AB=13$ ולמדוד 13 מהראשית במקום מ-$B$, ולקבל $C(13,0)$.

$D=\left(\frac{2+10}{2},\frac{12+0}{2}\right)=(6,6)$.

טעות נפוצה: להפוך את השבר בשיפוע ($\frac{9}{6}=\frac32$) ולקבל $y=\frac32x+4.5$.

$D$ אמצע $BE$: $E=(2\cdot6-(-3),\ 2\cdot6-0)=(15,12)$.

אורכי הצלעות:

$AB=\sqrt{5^2+12^2}=13$, $BC=10-(-3)=13$, $CE=\sqrt{5^2+12^2}=13$, $EA=15-2=13$.

ארבע צלעות שוות, ולכן $ABCE$ מעוין.

$AE$ ו-$BC$ מקבילות לציר $x$ (שתיהן אופקיות), והמרחק ביניהן 12. שטח המעוין = צלע כפול גובה:

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת שטח משולש $\frac{13\cdot12}{2}=78$ - זה שטח המשולש $ABC$, חצי מהמעוין.

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית, מצטברים מימין: $0.5\%+1.5\%=2\%$. לכן $2\%$ מהמשתתפים הקלידו מהר יותר מהשנתה שנמצאת שתי סטיות תקן מעל הממוצע:

מהירות ההקלדה הממוצעת היא 70 מילים לדקה.

טעות נפוצה: למקם את 82 בשנתה הקיצונית המסומנת, $\bar x+2.5S$, ולקבל $\bar x=82-15=67$ - אבל מימין לשנתה הזו יש רק $0.5\%$, ולא $2\%$.

השנתות בגרף מסומנות כל חצי סטיית תקן, כלומר כל 3 מילים לדקה. במלבן האמצעי - הממוצע 70.

מימין לממוצע מוסיפים כל פעם 3: 73, 76, 79, 82, 85.

משמאל לממוצע מחסירים כל פעם 3: 67, 64, 61, 58, 55.

בדיקה: לפי סעיף א(1), 82 נמצא שתי סטיות תקן (ארבע שנתות) מעל הממוצע, ומימינו $2\%$.

טעות נפוצה: להתקדם בסטיית תקן שלמה בין שנתות סמוכות (6 במקום 3), ולרשום $40, 46, \dots, 100$ - אבל בגרף של דף הנוסחאות כל רצועה היא חצי סטיית תקן.

$61=70-9=70-1.5\cdot6$, כלומר סטיית תקן וחצי מתחת לממוצע. מסכמים את הרצועות שמשמאל לשנתה 61:

טעות נפוצה: לסכם את הרצועות שמימין ל-61 ולקבל $93\%$ - זה אחוז המשתתפים שהקלידו יותר מ-61 מילים לדקה.

לפי סעיף ב, $7\%$ מהמשתתפים הם אלה שהקלידו פחות מ-61 מילים לדקה, ויש 35 כאלה. נסמן ב-$n$ את מספר המשתתפים:

טעות נפוצה: לחלק באחוז המשלים, $\frac{35}{0.93}\approx38$ - אבל 35 המשתתפים הם אלה שמתחת ל-61, כלומר ה-$7\%$.

מצטברים מימין: $0.5\%+1.5\%+5\%=7\%$. לכן $7\%$ מהמשתתפים הקלידו מהר יותר מהשנתה שנמצאת סטיית תקן וחצי מעל הממוצע:

תעודה קיבלו מי שהקלידו יותר מ-79 מילים לדקה. יעל הקלידה 78 מילים לדקה, פחות מ-79, ולכן לא קיבלה תעודה.

(גם בציון תקן: $z=\frac{78-70}{6}\approx1.33<1.5$.)

טעות נפוצה: לספור שלוש רצועות אחורה מהשנתה האחרונה המסומנת (85) ולשכוח שרצועת ה-$0.5\%$ נמצאת מימינה - כך מקבלים סף של 76, ומסיקים ש-$78>76$ ויעל קיבלה תעודה.

מהירות ההקלדה של עומר לפי ציון התקן שלו:

$78.4>78$, ולכן עומר הקליד מהר יותר.

(אפשר גם להשוות ציוני תקן: ליעל $z\approx1.33$ ולעומר $z=1.4$, והממוצע וסטיית התקן משותפים.)

טעות נפוצה: להכפיל את ציון התקן בחצי סטיית תקן (כמו המרווח בין השנתות בגרף), $70+1.4\cdot3=74.2$, ולהסיק שיעל הקלידה מהר יותר.

$A(10,0)$ נמצאת על המסלול, ולכן מציבים $x=10$, $y=0$:

משוואת המסלול: $y=0.2x^2-2x$.

טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע ($0.2\cdot10+10b=0$) ולקבל $b=-0.2$.

הנקודה הנמוכה ביותר: $(5,-5)$.

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס בנוסחה ולקבל $x=-5$, $y=5+10=15$ - נקודה שאינה על המסלול.

המרחק האופקי ביניהן: $8-2=6$ מטרים.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן ($x^2-10x-16=0$), ואז $x=5\pm\sqrt{41}$, כלומר $x\approx11.40$ או $x\approx-1.40$ - נקודות מחוץ למסלול.

המסלול יורד מ-$O$ (גובה 0) עד הקדקוד (גובה $-5$), ואחר כך עולה סימטרית עד $A$ (גובה 0).

כל גובה $h$ שבין $-5$ ל-0 מתקבל פעם אחת בירידה ופעם אחת בעלייה - שתי נקודות. גם $h=0$ נותן שתי נקודות: $O$ ו-$A$.

$h=-5$ מתקבל רק בקדקוד - נקודה אחת. גובה מעל 0 או מתחת ל-$-5$ לא מתקבל בכלל.

לכן $-5<h\le0$.

טעות נפוצה: לכלול גם את $h=-5$ ולענות $-5\le h\le0$ - אבל בגובה $-5$ יש רק נקודה אחת, הקדקוד.

רושמים בכל משבצת את גובה העמודה, כולל קוביות מוסתרות מתחת לקוביות שרואים:

השורה האחורית: 3, 2, 1; השורה האמצעית: 1, 2, 1; השורה הקדמית: 1, 0, 2.

מבט מלפנים - העמודה הגבוהה בכל טור: $\max(1,1,3)=3$, $\max(0,2,2)=2$, $\max(2,1,1)=2$.

מבט מלמעלה - כל המשבצות שיש בהן קובייה: כולן חוץ מהאמצעית בשורה הקדמית.

מבט מימין - העמודה הגבוהה בכל שורה, כשהשורה הקדמית משמאל: קדמית 2, אמצעית 2, אחורית 3.

טעות נפוצה: לרשום במבט מלפנים את סכום הקוביות בכל טור במקום את הגובה המרבי, ולקבל עמודות בגובה 5, 4, 4.

טעות נפוצה: לספור רק את הקוביות שנראות בסרטוט (10) - שלוש קוביות מוסתרות מתחת לקוביות אחרות ומאחוריהן.

מתרשים המבטים: מלמעלה - כל המשבצות חוץ מהשמאלית הקדמית; מלפנים - 2, 3, 2; מימין - 2, 2, 3.

(1): השורה האחורית: 2, 3, 1; השורה האמצעית: 1, 2, 2; השורה הקדמית: 0, 1, 1. בשורה הקדמית העמודה הגבוהה היא 1, ולכן במבט מימין מתקבל 1, 2, 3 - המבט מימין אינו מתאים.

(2): השורה האחורית: 2, 3, 1; השורה האמצעית: 1, 2, 2; השורה הקדמית: 1, 1, 2. יש קובייה במשבצת השמאלית הקדמית, ולכן במבט מלמעלה כל המשבצות מלאות - המבט מלמעלה אינו מתאים (המבטים מלפנים ומימין כן מתאימים).

(3): השורה האחורית: 2, 3, 1; השורה האמצעית: 1, 2, 2; השורה הקדמית: 0, 1, 2. מלפנים 2, 3, 2, מימין 2, 2, 3, ומלמעלה חסרה רק השמאלית הקדמית - מתאים.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המבטים מלפנים ומימין, שמתאימים למבנה (2), ולענות שרק מבנה (1) אינו מתאים.

נסמן את צלע הבסיס ב-$a$ ואת גובה התיבה ב-$h$. גובה הפירמידה: $1.5h$.

לכן $V_{\text{א}}=2V_{\text{ב}}$ לכל $a$ ו-$h$.

טעות נפוצה: לזכור ש"פירמידה היא שליש מתיבה" ולענות פי 3 - זה נכון רק כשהגבהים שווים.

לפי סעיף א, $V_{\text{א}}=2V_{\text{ב}}$, ולכן ההפרש $V_{\text{א}}-V_{\text{ב}}$ שווה ל-$V_{\text{ב}}$:

טעות נפוצה: להתייחס ל-180 כאל נפח התיבה: $36h=180$, ולענות $h=5$ ו-7.5.

גובה הפירמידה, חצי צלע הבסיס וגובה הפאה יוצרים משולש ישר זווית: הגובה (15) מאונך לבסיס ופוגש אותו במרכז הריבוע, שמרחקו מאמצע הצלע הוא חצי צלע (3).

טעות נפוצה: להשתמש בצלע כולה במקום בחצייה: $\sqrt{15^2+6^2}=\sqrt{261}\approx16.16$.

בתיבה: $0.75\cdot360=270$ סמ"ק. בפירמידה (מלאה): 180 סמ"ק.

נסמן ב-$x$ את מספר התיבות; מספר הפירמידות $30-x$:

12 תיבות ו-18 פירמידות. בדיקה: $270\cdot12+180\cdot18=3240+3240=6480$.

טעות נפוצה: למלא גם את הפירמידות רק עד 75% ($135$ סמ"ק): $270x+135(30-x)=6480$ נותן $x=18$ - כלומר להחליף בין מספרי הקופסאות.