מבחן לדוגמה 1 של משרד החינוך - שאלון 372

ממקמים את $5$ על שנתות הגרף: $5=7-2=\bar x-S$.

"יותר מ-$5$ דקות" הוא כל השטח שמימין ל-$\bar x-S$: הרצועות שבין $\bar x-S$ לממוצע, ועוד כל החצי הימני של העקומה.

ההסתברות שנוסע ימתין יותר מ-$5$ דקות היא $0.84$.

טעות נפוצה: לסכום את הרצועות שמשמאל ל-$\bar x-S$ ($9\%+5\%+1.5\%+0.5\%$) ולענות $0.16$. זה האחוז של הממתינים פחות מ-$5$ דקות, לא יותר.

$8=7+1=\bar x+\frac S2$ (חצי סטיית תקן מעל הממוצע).

"פחות מ-$8$ דקות" הוא כל החצי השמאלי של העקומה ועוד הרצועה שבין $\bar x$ ל-$\bar x+\frac S2$:

ההסתברות היא $0.69$.

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה שבין הממוצע ל-$8$ ולענות $0.19$. גם כל מי שממתין פחות מ-$7$ דקות ממתין פחות מ-$8$ דקות.

ממקמים את שני הערכים:

$4=7-3=\bar x-\frac{3S}{2}$, ו-$9=7+2=\bar x+S$.

סוכמים את הרצועות שביניהם. משמאל לממוצע (מ-$\bar x-\frac{3S}{2}$ עד $\bar x$): $9\%+15\%+19\%=43\%$.

מימין לממוצע (מ-$\bar x$ עד $\bar x+S$): $19\%+15\%=34\%$.

ההסתברות היא $0.77$.

טעות נפוצה: לסכום רק את הרצועות שבין $4$ לממוצע ולשכוח את החלק שמימין לממוצע, ומקבלים $0.43$.

$4=\bar x-\frac{3S}{2}$. משמאל ל-$4$ יש שלוש רצועות: $5\%+1.5\%+0.5\%=7\%$.

כלומר ההסתברות להמתין פחות מ-$4$ דקות היא $0.07$.

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה הצמודה, $5\%$, ולשכוח את $1.5\%$ ואת $0.5\%$ שבקצה. כך מקבלים $0.05$ ומסיקים בטעות שההסתברות הזו קטנה מההסתברות שבסעיף ד(2).

$10=7+3=\bar x+\frac{3S}{2}$. מימין ל-$10$ יש שלוש רצועות: $5\%+1.5\%+0.5\%=7\%$.

שני הערכים נמצאים באותו מרחק מהממוצע ($\frac{3S}{2}$), אחד משמאל ואחד מימין. העקומה סימטרית סביב הממוצע, ולכן השטחים בזנבות שווים.

מסקנה: שתי ההסתברויות שוות ($0.07$ כל אחת).

טעות נפוצה: לסכום את הרצועות שבין הממוצע ל-$10$ ($19\%+15\%+9\%=43\%$) במקום את מה שמימין ל-$10$, ולהסיק שההסתברות בד(2) גדולה מזו שבד(1).

מסמנים: $x$ - מספר הדונמים של מלפפונים, $y$ - מספר הדונמים של פלפלים.

אילוץ המים (עמודת המים בטבלה): כל דונם מלפפונים צורך $100$ מ"ק וכל דונם פלפלים $60$ מ"ק, ויש $800$ מ"ק:

אילוץ ימי העבודה (עמודת ימי העבודה):

מספר דונמים אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

פונקציית המטרה היא הרווח, ומחפשים לה מקסימום:

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי שורות במקום לפי עמודות ולכתוב $100x+12y\le800$ ו-$60x+36y\le312$. בכל אילוץ המקדמים הם צריכת אותו משאב (עמודה אחת) של שני הגידולים.

משרטטים כל ישר לפי נקודות החיתוך שלו עם הצירים.

ישר המים $100x+60y=800$: כש-$y=0$, $x=8$; כש-$x=0$, $y=\frac{800}{60}=13\frac13$.

ישר ימי העבודה $12x+36y=312$: כש-$y=0$, $x=26$; כש-$x=0$, $y=\frac{312}{36}=8\frac23$.

בודקים בנקודה $(0,0)$: $0\le800$ ו-$0\le312$ - נכון, ולכן התחום של כל אילוץ הוא מתחת לישר שלו (לצד הראשית).

יחד עם $x\ge0$, $y\ge0$ התחום האפשרי הוא המרובע שקדקודיו $(0,0)$, $(8,0)$, נקודת החיתוך של שני הישרים, ו-$\left(0,8\frac23\right)$.

טעות נפוצה: להחליף בין החיתוכים של ישר ימי העבודה ולסמן אותו דרך $(0,26)$ ו-$\left(8\frac23,0\right)$ ($y=\frac{312}{12}$). מציבים $x=0$ ומחלקים במקדם של $y$, שהוא $36$.

קדקודי התחום: $(0,0)$, $(8,0)$, $\left(0,8\frac23\right)$ ונקודת החיתוך של שני הישרים.

נקודת החיתוך: מחלקים את משוואת ימי העבודה ב-$12$: $x+3y=26$, כלומר $x=26-3y$. מציבים במשוואת המים:

מציבים את הקדקודים בפונקציית המטרה:

$P(0,0)=0$, $P(8,0)=8000$, $P\left(0,8\frac23\right)=1500\cdot8\frac23=13000$, $P(3.5,7.5)=3500+11250=14750$.

הרווח הגדול ביותר מתקבל ב-$(3.5,7.5)$: $3.5$ דונמים מלפפונים ו-$7.5$ דונמים פלפלים (כך שני המשאבים מנוצלים במלואם).

טעות נפוצה: לגדל רק פלפלים "כי הרווח מדונם פלפלים גדול יותר", כלומר $\left(0,8\frac23\right)$. ימי העבודה מגבילים את הפלפלים, והרווח שם ($13000$ ₪) קטן מהרווח בקדקוד $(3.5,7.5)$.

מציבים את הפתרון האופטימלי בפונקציית המטרה:

הרווח המקסימלי הוא $14{,}750$ ₪.

טעות נפוצה: להחליף בין $x$ ל-$y$ בהצבה: $1000\cdot7.5+1500\cdot3.5=12750$ ₪.

לכל מכונה כותבים אילוץ אחד: סך שעות העבודה שלה על שני המוצרים אינו עולה על הזמן המרבי שלה (עמודה אחת בטבלה).

$M_1$: כל ק"ג של כל מוצר דורש שעה אחת:

$M_2$: ק"ג של מוצר א דורש $3$ שעות, ק"ג של מוצר ב - שעה:

$M_3$:

וכמויות אינן שליליות: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים באילוץ של $M_2$ ולכתוב $x+3y\le30$ (המקדם $3$ שייך למוצר א, כלומר ל-$x$). עם האילוץ השגוי הנקודה $(2.5,11.5)$ מסעיף ב כבר אינה אפשרית: $2.5+34.5=37>30$.

מציבים $x=2.5$, $y=11.5$ באגף השמאלי של כל אילוץ ומשווים לזמן המרבי:

$M_1$: $2.5+11.5=14$ - שווה ל-$14$, מנוצלת עד תום.

$M_2$: $3\cdot2.5+11.5=7.5+11.5=19<30$ - נשארות $11$ שעות.

$M_3$: $4\cdot2.5+10\cdot11.5=10+115=125$ - מנוצלת עד תום.

לכן המכונה שאינה מנוצלת עד תום היא $M_2$. (נקודת הרווח המקסימלי היא החיתוך של ישרי $M_1$ ו-$M_3$, ולכן דווקא שתי המכונות האלה מנוצלות במלואן.)

טעות נפוצה: להציב $x=11.5$ ו-$y=2.5$ (הפוך). אז $M_3$ עובדת $4\cdot11.5+10\cdot2.5=71$ שעות ונראה בטעות ש-$M_3$ היא שאינה מנוצלת עד תום.

$C$ נמצא על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$. הוא גם על הישר $DC$: $y=-0+3=3$. כלומר $C(0,3)$.

$D$ הוא נקודת החיתוך של הישרים $AD$ ו-$DC$. משווים:

$y=-(-2)+3=5$, ולכן $D(-2,5)$.

טעות נפוצה: למצוא את $C$ בהצבת $y=0$ (חיתוך עם ציר ה-$x$) ולקבל $C(3,0)$. נקודה על ציר ה-$y$ היא נקודה שבה $x=0$.

במקבילית $BC\parallel AD$, ולכן לישר $BC$ אותו שיפוע כמו ל-$AD$: $m=\frac12$.

הישר עובר דרך $C(0,3)$, שהיא נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-$y$:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$BC$ מקביל ל-$DC$ ולקחת שיפוע $-1$: $y=-x+3$. זה בדיוק הישר $DC$ עצמו. הצלע שמקבילה ל-$BC$ היא הצלע שמולה, $AD$.

$BD$ מקביל לציר ה-$x$, ולכן לכל הנקודות עליו אותו שיעור $y$ כמו ל-$D$: $y_B=5$.

$B$ נמצא גם על הישר $BC$:

$B(4,5)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש"מקביל לציר ה-$x$" פירושו אותו שיעור $x$, ולהציב $x=-2$: $y=\frac12\cdot(-2)+3=2$, כלומר $B(-2,2)$. ישר המקביל לציר ה-$x$ הוא ישר מהצורה $y=b$.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $E$ היא אמצע האלכסון $BD$:

(בדיקה: הקודקוד $A$ הוא חיתוך $AD$ עם הישר דרך $B$ שמקביל ל-$DC$, $y=-x+9$; מתקבל $A(2,7)$, ואמצע $AC$ הוא גם $(1,5)$.)

טעות נפוצה: לחשב את אמצע הקטע בחיסור השיעורים, $\frac{4-(-2)}{2}=3$, ולקבל $E(3,5)$. באמצע קטע מחברים את השיעורים ומחלקים ב-$2$.

נפח תיבה הוא מכפלת שלושת הממדים:

($1$ ליטר $=1000$ סמ"ק, כלומר $280$ ליטר.)

טעות נפוצה: לחשב את שטח הפנים של התיבה, $2(70\cdot80+70\cdot50+80\cdot50)=26{,}200$, במקום הנפח. כמות המים שהמיכל מכיל היא נפח.

נפח החרוט:

מספר הדליים:

$24$ דליים לא יספיקו כדי למלא את המיכל, ולכן צריך $25$ דליים (את האחרון לא שופכים עד הסוף).

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$ בנפח החרוט ($\pi\cdot15^2\cdot48=10{,}800\pi$), ולקבל $\frac{280000}{10800\pi}\approx8.25$, כלומר $9$ דליים.

נפח הגליל: $\pi r^2\cdot25$, והוא שווה לנפח החרוט, $3600\pi$:

(הפתרון $r=-12$ נפסל, כי רדיוס הוא אורך.)

טעות נפוצה: לכתוב את נפח הגליל עם $\frac13$, כמו בחרוט: $\frac13\pi r^2\cdot25=3600\pi$, ומקבלים $r^2=432$, $r\approx20.8$ ס"מ.

נפח הגליל הוא $V=\pi r^2h$. אם הרדיוס גדל פי $2$ והגובה לא משתנה:

הרדיוס מופיע בנוסחה בריבוע, ולכן הנפח גדל פי $2^2=4$.

(בדוגמה שלנו: $\pi\cdot24^2\cdot25=14{,}400\pi=4\cdot3600\pi$.)

טעות נפוצה: לחשוב שהנפח גדל פי $2$, כמו הרדיוס.

תרשים מספרי הוא המבט מלמעלה, ובכל משבצת כותבים כמה קוביות עומדות בה (השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית).

המבנה הראשון: בשורה הקדמית (משמאל לימין) עמודות של $3$, $2$, $2$ קוביות. בשורה האמצעית: $2$, $1$, $1$. בשורה האחורית: $3$, $1$, ומשבצת ריקה מימין.

המבנה השני: בשורה הקדמית $3$, $1$, $2$. בשורה האמצעית $2$, $2$ ומשבצת ריקה מימין. בשורה האחורית $3$, $3$, $2$.

מבט מלפנים: בכל עמודה (שמאל, אמצע, ימין) רואים את הגובה הגדול ביותר מבין שלוש השורות.

מבט מימין: בכל שורה (מלפנים, באמצע, מאחור) רואים את הגובה הגדול ביותר. במבט מימין החזית נמצאת בצד שמאל של הציור.

מבט מלמעלה: מסמנים כל משבצת שיש בה לפחות קובייה אחת.

המבנה הראשון: מלפנים $3,2,2$; מימין $3,2,3$; מלמעלה - כל המשבצות חוץ מהפינה האחורית-ימנית.

המבנה השני: מלפנים $3,3,2$; מימין $3,2,3$; מלמעלה - כל המשבצות חוץ מהמשבצת האמצעית-ימנית.

טעות נפוצה: לצייר את המבט מלפנים לפי השורה הקדמית בלבד. במבנה השני זה נותן $3,1,2$, אבל באמצע רואים את העמודה האחורית שגובהה $3$, ולכן המבט הוא $3,3,2$.

סוכמים את כל המספרים בתרשים המספרי של המבנה השני:

טעות נפוצה: לסכום את הגבהים של המבט מלפנים ($3+3+2=8$). המבט מראה רק את העמודה הגבוהה בכל טור, לא את כל הקוביות.

קובייה חדשה לא תשנה את המבטים אם:

•היא מונחת על משבצת שכבר יש בה קוביות (אחרת המבט מלמעלה משתנה);

•הגובה החדש של העמודה אינו עולה על הגובה במבט מלפנים בטור שלה, ואינו עולה על הגובה במבט מימין בשורה שלה.

בודקים את המשבצות: בשורה הקדמית הגובה המרבי הוא $3$, ובטור האמצעי הגובה המרבי הוא $3$. העמודה הקדמית-אמצעית היא בגובה $1$, ולכן אפשר להגביה אותה ל-$2$.

בכל שאר המשבצות התפוסות העמודה כבר בגובה המרבי שהמבטים מתירים (למשל, בשורה האמצעית הגובה המרבי $2$ וכל העמודות בה בגובה $2$).

טעות נפוצה: להניח את הקובייה במשבצת הריקה (באמצע מימין). אז במבט מלמעלה מופיעה משבצת חדשה, והמבט משתנה.