מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך - שאלון 372

לפי הגרף, מעל $\bar x+S$ נמצאים $9\%+5\%+1.5\%+0.5\%=16\%$ מהאוכלוסייה.

לכן 186 ס"מ נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע: $186=\bar x+S$.

באותו אופן, מתחת ל-$\bar x-S$ נמצאים $16\%$, ולכן $170=\bar x-S$.

העקומה סימטרית סביב הממוצע, ושני הערכים נמצאים באותו מרחק ממנו - לכן הממוצע באמצע ביניהם:

טעות נפוצה: לפתור את מערכת המשוואות $\bar x+S=186$, $\bar x-S=170$ (חיסור נותן $2S=16$, $S=8$), ואז לבודד את הממוצע עם סימן שגוי: $\bar x=186+S=194$. ממוצע של 194 ס"מ גבוה מ-186, אף שרק $16\%$ מהשחקנים גבוהים מ-186 ס"מ; הנכון: $\bar x=186-S=178$.

לפי סעיף א, $186=\bar x+S$ ו-$\bar x=178$:

בדיקה: $\bar x-S=178-8=170$, כמו בנתון.

טעות נפוצה: לספור את השנתות בגרף - בין 170 ל-186 יש 4 שנתות - ולחשב $S=\frac{16}{4}=4$. כל שנתה בגרף היא חצי סטיית תקן, ולכן 4 שנתות הן 2 סטיות תקן ו-$S=8$.

מסכמים רצועות מהקצה הימני של הגרף עד שמגיעים ל-$7\%$:

שלוש הרצועות האלה נמצאות מעל $\bar x+1.5S$, ולכן הגובה המינימלי הוא:

טעות נפוצה: להתייחס לכל רצועה כאל סטיית תקן שלמה (שלוש רצועות = $3S$) ולקבל $178+3\cdot8=202$ ס"מ. כל רצועה היא חצי סטיית תקן.

ממירים כל ערך למיקום בחצאי סטיות תקן:

$174=178-4=\bar x-0.5S$, ו-$190=\bar x+1.5S$ (סעיף ג).

מסכמים את הרצועות בין שני הערכים - רצועה אחת מתחת לממוצע ושלוש מעליו:

האחוז הוא ההסתברות שהשחקן שנבחר באקראי נמצא בתחום: $0.62$.

טעות נפוצה: לסכם רק את הרצועות שמעל הממוצע, $19\%+15\%+9\%=43\%$, ולקבל $0.43$ - ושוכחים את הרצועה שבין 174 לממוצע.

כל אילוץ שייך למכונה אחת: סוכמים את השעות שכל סוג סיב צורך באותה מכונה.

מכונת ניקוי: $x$ טונות של סיב א' צורכות $8x$ שעות, ו-$y$ טונות של סיב ב' צורכות $6y$ שעות. יחד - לכל היותר 45:

מכונת עיבוד: $5x$ שעות לסיב א' ו-$15y$ שעות לסיב ב':

כמויות אינן שליליות: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לבנות אילוץ לכל סוג סיב במקום לכל מכונה, ולכתוב $8x+5y\le45$ ו-$6x+15y\le45$. ההגבלה של 45 שעות היא על כל מכונה, ולכן באי-שוויון אחד מופיעים שני סוגי הסיבים באותה מכונה.

פונקציית המטרה היא הרווח (באלפי שקלים), ומחפשים לה מקסימום:

בתחום סגור הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקודקודים. מציבים כל קודקוד:

$(0,0)$: $P=0$

$(0,3)$: $P=20\cdot3=60$

$(4.5,1.5)$: $P=15\cdot4.5+20\cdot1.5=67.5+30=97.5$

$(5.625,0)$: $P=15\cdot5.625=84.375$

הערך הגדול ביותר, 97.5 אלף שקל, מתקבל ב-$(4.5,1.5)$: מייצרים 4.5 טונות של סיב א' ו-1.5 טונות של סיב ב'.

טעות נפוצה: להחליט בלי להציב שכדאי לייצר רק את הסיב הרווחי יותר (סיב ב', 20 אלף לטונה), ולענות $(0,3)$ עם רווח של 60 אלף שקל. סיב ב' צורך הרבה שעות במכונת העיבוד, ולכן אפשר לייצר ממנו רק 3 טונות.

הגובה $AD$ מאונך לצלע $BC$. השיפוע של $BC$ הוא 2.

מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$, ולכן שיפוע הגובה הוא $m=-\frac12$.

הגובה עובר דרך $A(4,3)$:

טעות נפוצה: לקחת רק את המספר הנגדי, שיפוע $-2$, ולקבל $y=-2x+11$. שיפוע מאונך הוא הנגדי וגם ההופכי: $-\frac12$.

$D$ היא נקודת החיתוך של הצלע $BC$ והגובה $AD$. משווים את המשוואות:

$y=2\cdot2=4$, ולכן $D(2,4)$.

בדיקה: $-\frac12\cdot2+5=4$.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להחליף סימן: $2x-\frac12x=5$, $1.5x=5$, ולקבל $x=\frac{10}{3}$, כלומר $D\left(\frac{10}{3},\frac{20}{3}\right)$.

$AD$ הוא הגובה לצלע $BC$, ולכן $S=\frac{BC\cdot AD}{2}$.

אורך הגובה הוא המרחק בין $A(4,3)$ ל-$D(2,4)$:

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולהציב $AD=5$ (כלומר $AD^2$), ולקבל $S=\frac{4\cdot5}{2}=10$.

נפח תיבה הוא מכפלת שלושת הממדים:

בגליל נתון הקוטר, והנוסחה צריכה רדיוס: $r=\frac{12}{2}=6$.

נפח הגליל:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר במקום הרדיוס, $\pi\cdot12^2\cdot8=1152\pi\approx3619.1$ סמ"ק.

כמות הסוכריות שנכנסת לאריזה נקבעת לפי הנפח שלה.

$960>904.8$, ולכן לתיבה נכנסות יותר סוכריות.

טעות נפוצה: לענות "הגליל" אחרי שמציבים את הקוטר במקום הרדיוס (נפח $3619.1$ בסעיף הקודם) - הגליל נראה פי ארבעה גדול מכפי שהוא.

נפח הכדור צריך להיות שווה לנפח התיבה, 960 סמ"ק:

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac43$ בנוסחת נפח הכדור: $\pi r^3=960$, ומקבלים $r\approx6.74$ ס"מ.

שטח הבסיס: $12\cdot15=180$ סמ"ר. נפח הפירמידה צריך להיות שווה לנפח הגליל, $288\pi$:

טעות נפוצה: לשכוח את השליש בנפח הפירמידה: $180h=288\pi$, ולקבל $h\approx5.03$ ס"מ.

החלונות נמצאים על הקירות, כלומר על המעטפת של הגליל (בלי הבסיסים).

שטח המעטפת של גליל הוא היקף הבסיס כפול הגובה. הקוטר 44 מ', ולכן $r=22$:

החלונות הם $85\%$ מהמעטפת:

טעות נפוצה: להציב את הקוטר 44 בתור רדיוס, $0.85\cdot2\pi\cdot44\cdot187\approx43{,}943$ מ"ר - פי 2 מהנכון.

רצפה של קומה היא חתך של המנסרה, ושטחה שווה לשטח הבסיס: משולש שווה צלעות שצלעו 57.

הגובה במשולש שווה צלעות חוצה את הצלע. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: להשתמש בצלע 57 כגובה המשולש ולחשב $\frac{57\cdot57}{2}=1624.5$ מ"ר. במשולש שווה צלעות הגובה קצר מהצלע.

בכל אחת מ-46 הקומות יש שטח רצפה של כ-$1406.86$ מ"ר (מסעיף ב(1)):

טעות נפוצה: להכפיל את שטח הקומה בגובה המגדל (169) במקום במספר הקומות, ולקבל $\approx237{,}759$ - זה נפח המגדל במ"ק, לא שטח.

המעטפת של התיבה היא 4 קירות מלבניים, כל אחד בממדים צלע הבסיס $\times$ גובה.

לפני השינוי: $4\cdot37\cdot154=22{,}792$ מ"ר.

אחרי השינוי הצלע 38: $4\cdot38\cdot154=23{,}408$ מ"ר.

שטח המעטפת גדל פי 1.027 בערך (כ-$2.7\%$), כי הגובה לא השתנה והמעטפת תלויה בצלע באופן ליניארי.

טעות נפוצה: לחשוב שהשטח תלוי בריבוע הצלע (כמו שטח הבסיס) ולענות $\left(\frac{38}{37}\right)^2\approx1.055$.

בתרשים המספרי כותבים בכל משבצת של הבסיס כמה קוביות עומדות בה (0 = משבצת ריקה).

מבנה ראשון: תרשים מספרי (השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית):

מבט מלפנים: בכל עמודה רואים את הגובה הגדול ביותר בה. משמאל לימין: 2, 3, 2.

מבט מימין: בכל שורה (מקדימה לאחור) רואים את הגובה הגדול ביותר בה. במבט מימין השורה הקדמית מופיעה משמאל: 2, 2, 3.

מבט מלמעלה: כל המשבצות מלאות חוץ מהמשבצת הקדמית השמאלית.

מבנה שני: תרשים מספרי (השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית):

מבט מלפנים: בכל עמודה רואים את הגובה הגדול ביותר בה. משמאל לימין: 3, 2, 3.

מבט מימין: בכל שורה (מקדימה לאחור) רואים את הגובה הגדול ביותר בה. במבט מימין השורה הקדמית מופיעה משמאל: 3, 2, 3.

מבט מלמעלה: כל המשבצות מלאות חוץ מהמשבצת הקדמית האמצעית.

טעות נפוצה: לסרטט את המבט מימין בסדר הפוך - השורה האחורית משמאל. במבנה הראשון מקבלים אז $3, 2, 2$ במקום $2, 2, 3$. מי שעומד מימין למבנה רואה את החזית בצד שמאל שלו.

סוכמים את כל המספרים בתרשים המספרי של המבנה השני:

טעות נפוצה: לספור את המשבצות המלאות במבט מלמעלה ולענות 8 - זה מספר העמודות, ובכל עמודה יכולות לעמוד כמה קוביות.

צריך לשנות את המבנה בלי לשנות אף אחד משלושת המבטים:

•המבט מלמעלה: אסור לרוקן משבצת או למלא את המשבצת הריקה.

•המבט מלפנים ($3, 2, 3$) והמבט מימין ($3, 2, 3$): הגובה הגדול ביותר בכל עמודה ובכל שורה חייב להישאר כמו שהוא.

בעמודה האמצעית השמאלית יש 2 קוביות. הגובה 3 בעמודה השמאלית מגיע מהקדמית השמאלית, והגובה 2 בשורה האמצעית מגיע גם מהאמצעית הימנית - לכן אפשר להוריד ממנה קובייה אחת:

(אפשר גם להוסיף קובייה במרכז, $1\to2$, כי בשורה האמצעית ובעמודה האמצעית הגובה המרבי הוא 2.)

טעות נפוצה: להוריד קובייה מהעמודה האחורית הימנית ($3\to2$). אז הגובה המרבי בעמודה הימנית יורד ל-2, והמבט מלפנים משתנה ל-$3, 2, 2$.