בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2026 מועד א'

לכל אילוץ משרטטים את הישר המתאים ובודקים איזה צד שלו מתאים לאי-השוויון.

$x\ge0$ ו-$y\ge0$: הרביע הראשון.

הישר $x+5y=100$: חותך את הצירים ב-$(100,0)$ (מציבים $y=0$) וב-$(0,20)$ (מציבים $x=0$: $5y=100$).

הישר $x+2y=58$: חותך את הצירים ב-$(58,0)$ וב-$(0,29)$.

בדיקה בנקודה $(0,0)$: $0\le100$ ו-$0\le58$ - נכון, ולכן התחום של כל אילוץ הוא מתחת לישר שלו (בצד של הראשית).

התחום האפשרי הוא החלק המשותף: מרובע. נקודת החיתוך של שני הישרים:

קדקודי התחום: $(0,0)$, $(0,20)$, $(30,14)$, $(58,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ ב-$x+5y=100$ ולשכוח לחלק ב-5, כלומר לסמן את החיתוך עם ציר ה-$y$ ב-$(0,100)$. אז על ציר ה-$y$ התחום נעצר רק בישר השני, ומקבלים קדקוד שגוי $(0,29)$ במקום $(0,20)$.

$x$ מנות צמחוניות מכניסות $25x$ שקלים, ו-$y$ מנות בשריות מכניסות $55y$ שקלים. הרווח הכולל:

מחפשים את הערך המקסימלי שלה.

טעות נפוצה: להחליף בין המקדמים ולכתוב $f(x,y)=55x+25y$ - אבל $x$ הוא מספר המנות הצמחוניות, שהרווח מכל אחת מהן הוא 25 שקלים.

הערך המקסימלי של פונקציית המטרה בתחום סגור מתקבל באחד הקדקודים. מציבים בכל קדקוד:

$(0,0)$: $0$

$(0,20)$: $55\cdot20=1100$

$(30,14)$: $25\cdot30+55\cdot14=750+770=1520$

$(58,0)$: $25\cdot58=1450$

הערך הגדול ביותר, 1,520 שקלים, מתקבל ב-$(30,14)$: 30 מנות צמחוניות ו-14 מנות בשריות.

טעות נפוצה: לבדוק רק את הקדקודים שעל הצירים ולבחור ב-$(58,0)$ עם רווח 1,450 - כלומר 58 מנות צמחוניות בלבד. הקדקוד $(30,14)$, שבו נחתכים הישרים, נותן רווח גדול יותר.

קטן ב-$10\%$ פירושו שנשאר $90\%$ מהרווח, וגדל ב-$20\%$ פירושו $120\%$ מהרווח:

טעות נפוצה: להפחית ולהוסיף את האחוזים כאילו הם שקלים - $25-10=15$ ו-$55+20=75$.

פונקציית המטרה החדשה: $g(x,y)=22.5x+66y$. התחום לא השתנה, ולכן מציבים שוב בכל הקדקודים:

$(0,20)$: $66\cdot20=1320$

$(30,14)$: $22.5\cdot30+66\cdot14=675+924=1599$

$(58,0)$: $22.5\cdot58=1305$

הרווח המקסימלי החדש הוא 1,599 שקלים (שוב ב-$(30,14)$).

הרווח המקסימלי גדל ב-79 שקלים.

טעות נפוצה: לענות 1,599 - זה הרווח המקסימלי החדש, ולא השינוי בו. שואלים בכמה הרווח גדל, ולכן מחסרים את הרווח המקסימלי הקודם.

$E$ הוא אמצע הקטע $AB$, ולכן כל שיעור של $E$ הוא ממוצע השיעורים המתאימים של $A$ ושל $B$:

$B(6,-6)$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $A$ ו-$E$, $\left(\frac{0+3}{2},\frac{6+0}{2}\right)=(1.5,3)$ - אבל $E$ הוא האמצע, ו-$B$ הוא הקצה השני.

טעות נפוצה: לחסר בסדר שונה במונה ובמכנה, $\frac{-6-6}{0-6}=2$ - ומקבלים שיפוע חיובי לצלע שיורדת משמאל לימין.

$\sphericalangle ABC=90^\circ$, ולכן $BC\perp AB$. מכפלת השיפועים של ישרים מאונכים היא $-1$:

הישר עובר ב-$B(6,-6)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ולקחת $m_{BC}=-\frac12$; אז מקבלים $y=-\frac12x-3$, ישר שאינו מאונך ל-$AB$.

$C$ על הישר $BC$ ועל ציר ה-$x$, ולכן מציבים $y=0$ במשוואת $BC$:

$C(18,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$ במקום $y=0$ ולקבל $(0,-9)$ - זו נקודת החיתוך של $BC$ עם ציר ה-$y$.

$AD\parallel BC$, ולכן לישר $AD$ אותו שיפוע כמו ל-$BC$: $0.5$. מתאימות I ו-II. הישר $AD$ עובר ב-$A(0,6)$, כלומר חותך את ציר ה-$y$ ב-6: רק II מתאימה ($0.5\cdot0+6=6$; ב-I מקבלים 3).

הישר $CD$ חותך את $AD$, ולכן שיפועו אינו 0.5 - נשארות III ו-IV. $CD$ עובר ב-$C(18,0)$; מציבים:

III: $2\cdot18-36=0$ - מתאימה. IV: $2\cdot18-30=6\ne0$ - לא עוברת ב-$C$.

לכן $AD$ – II ו-$CD$ – III.

טעות נפוצה: לבחור לפי השיפוע בלבד - ל-I ול-II אותו שיפוע 0.5, ובלי להציב את $A$ אפשר לבחור ב-I ($y=0.5x+3$), ישר שאינו עובר ב-$A$.

$D$ הוא נקודת החיתוך של $AD$ ו-$CD$. משווים:

$y=0.5\cdot28+6=20$. $D(28,20)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים ולכתוב $1.5x=36-6=30$; מקבלים $x=20$ ו-$D(20,16)$ - נקודה שאינה על הישר $CD$ ($2\cdot20-36=4\ne16$).

הצלע $EC$ מונחת על ציר ה-$x$: $E(3,0)$, $C(18,0)$, ולכן $EC=18-3=15$.

הגובה מ-$D$ לצלע $EC$ הוא המרחק של $D$ מציר ה-$x$, כלומר $y_D=20$.

טעות נפוצה: לקחת כבסיס את $OC=18$ (המרחק של $C$ מהראשית) במקום $EC$, ולקבל $\frac{18\cdot20}{2}=180$.

בגרף ההתפלגות סוכמים את הרצועות מהזנב השמאלי: $0.5\%+1.5\%+5\%+9\%=16\%$.

לכן משמאל לשנתה $\bar x-S$ (סטיית תקן אחת מתחת לממוצע) נמצאים $16\%$ מהדירות, ו-400 שקלים נמצא בשנתה הזו:

טעות נפוצה: לכתוב $400=\bar x+160$ ולקבל $\bar x=240$ - אבל רק $16\%$ מהחשבונות נמוכים מ-400, ולכן 400 נמצא מתחת לממוצע, לא מעליו.

המלבן האמצעי (השישי) הוא הממוצע, 560. בין שתי שנתות סמוכות יש חצי סטיית תקן: $\frac{160}{2}=80$.

מוסיפים 80 בכל צעד ימינה ומחסירים 80 בכל צעד שמאלה:

160, 240, 320, 400, 480, 560, 640, 720, 800, 880, 960

בדיקה: 400 נמצא שתי שנתות משמאל לממוצע ($\bar x-S$), כמו שמצאנו בסעיף א.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה (160) בין שנתות סמוכות - ואז במלבנים הקיצוניים מתקבלים $560-5\cdot160=-240$ ו-$560+5\cdot160=1360$, ו-400 לא יוצא במקום שמשמאלו $16\%$.

400 הוא $\bar x-S$ ו-800 הוא $\bar x+1.5S$ ($560+240$). סוכמים את הרצועות שביניהם:

טעות נפוצה: לחשב רק את אחוז החשבונות הנמוכים מ-800, $50\%+19\%+15\%+9\%=93\%$, ולשכוח להחסיר את $16\%$ שנמוכים מ-400.

1,232 דירות הן $77\%$ מכל הדירות בשכונה. נסמן ב-$N$ את מספר הדירות:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $1232\cdot0.77\approx949$ - אבל 1,232 הוא חלק מהדירות, ולכן מספר כל הדירות גדול ממנו.

מציון התקן מוצאים את הערך: $x=\bar x+z\cdot S$.

$928>900$, ולכן הדירה קיבלה התראה.

דרך אחרת: ציון התקן של 900 הוא $\frac{900-560}{160}=2.125$, ו-$2.3>2.125$.

טעות נפוצה: לשכוח את הממוצע ולחשב $x=2.3\cdot160=368$ - ואז להסיק ש-$368<900$ והדירה לא קיבלה התראה.

הפרבולה פתוחה כלפי מטה ($a=-0.4<0$), ולכן הגובה המקסימלי מתקבל בקדקוד.

הגובה המקסימלי הוא 3.6 מטרים.

טעות נפוצה: לעצור אחרי חישוב $x=2.5$ ולענות 2.5 מטרים - זה המרחק האופקי שבו הכדור בשיא, לא הגובה.

פרבולה שפתוחה כלפי מטה עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו. הכדור נזרק ב-$x=0$, ולכן הוא במגמת עלייה מרגע הזריקה ועד הקדקוד:

טעות נפוצה: לענות $x>2.5$ - בפרבולה ש-$a<0$ שלה, מימין לקדקוד הגרף יורד.

מציבים $x=5.2$ במשוואת המסלול:

הכדור היה בגובה 0.684 מטרים (68.4 ס"מ).

טעות נפוצה: לחשב את $5.2^2$ כ-$5.2\cdot2=10.4$; מקבלים $-4.16+10.4+1.1=7.34$ מטרים - יותר מהגובה המקסימלי.

הכדור פוגע בקרקע כשגובהו 0:

$x_1=\frac{0.4}{-0.8}=-0.5$, $x_2=\frac{-4.4}{-0.8}=5.5$.

$x=-0.5$ נפסל: הכדור נזרק ב-$x=0$ ונע ימינה, ולכן המסלול מתחיל ב-$x=0$. הכדור היה פוגע בקרקע ב-$x=5.5$.

טעות נפוצה: לקחת את הפתרון $x=-0.5$ (מהסימן $+$ בנוסחה) בלי לבדוק אם הוא בתחום שבו למודל יש משמעות.

בכל מבט רואים בכל עמודה של התבנית את הערימה הגבוהה ביותר בשורה (או בעמודה) של המבנה שמאחוריה.

מבט מלפנים: לכל עמודה של המבנה (משמאל לימין) - הגובה המרבי בה: 2, 3, 3, 3.

מבט מימין: עומדים מימין למבנה, ולכן החזית של המבנה נמצאת בצד שמאל של התבנית והחלק האחורי בצד ימין. לכל שורה של המבנה, מהקדמית לאחורית - הגובה המרבי בה: 1, 2, 2, 3.

טעות נפוצה: לצייר את המבט מימין כשהחלק האחורי בצד שמאל, כלומר 3, 2, 2, 1 - זה המבט משמאל (תמונת ראי).

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המשטח את מספר הקוביות שבערימה שעליה (השורה העליונה בתרשים היא השורה האחורית).

בשורה הקדמית: קובייה אחת בכל אחת מהפינות, ושתי משבצות ריקות ביניהן. בשורה האחורית: 2 משמאל ו-3 בשלוש המשבצות האחרות.

השורה האחורית: 2 3 3 3; השורה השנייה: 1 2 2 2; השורה השלישית: 1 0 1 2; השורה הקדמית: 1 0 0 1 (משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים). בסך הכול 24 קוביות.

טעות נפוצה: לכתוב את התרשים הפוך - השורה הקדמית (1 0 0 1) למעלה והאחורית (2 3 3 3) למטה; אז התרשים מתאר מבנה שהמבט מלפנים שלו הפוך.

המבט מאחור הוא תמונת הראי של המבט מלפנים: 3, 3, 3, 2 לעומת 2, 3, 3, 3. כדי ששניהם יהיו זהים, המבט מלפנים צריך להיות סימטרי.

קובייה אחת מגביהה ערימה אחת בקובייה אחת, ולכן אפשר רק להעלות את העמודה השמאלית מ-2 ל-3 (ואז המבט מלפנים 3, 3, 3, 3).

בעמודה השמאלית רק בשורה האחורית יש ערימה בגובה 2 - מוסיפים עליה קובייה.

השורה האחורית: 3 3 3 3; השורה השנייה: 1 2 2 2; השורה השלישית: 1 0 1 2; השורה הקדמית: 1 0 0 1 (משמאל לימין, כפי שרואים מלפנים).

טעות נפוצה: להוסיף את הקובייה בעמודה השמאלית בשורה הקדמית (מ-1 ל-2); הגובה המרבי בעמודה נשאר 2, והמבט מלפנים לא משתנה.

לפני ההורדה (אחרי שהורידו את הקובייה שהוסיפו) המבנה הוא המבנה המקורי, עם 24 קוביות.

בתרשים החדש: 2 + 3 + 3 + 2 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 = 21 קוביות.

הורידו 3 קוביות נוספות (מהערימות שבשורה האחורית-ימנית ובשורה השנייה).

טעות נפוצה: להשוות למבנה שאחרי ההוספה (25 קוביות) ולענות 4 - אבל הקובייה שהוסיפו אינה "נוספת"; שואלים רק על הקוביות שהורידו אחריה.

מחשבים את המבטים של המבנה החדש ומשווים למקורי:

מלפנים: 2, 3, 3, 2 לעומת 2, 3, 3, 3 - השתנה (העמודה הימנית ירדה מ-3 ל-2).

מימין: 1, 2, 2, 3 - כמו קודם; לכן גם המבט משמאל, שהוא תמונת הראי שלו, לא השתנה.

מלמעלה: אף משבצת לא התרוקנה - לא השתנה.

טעות נפוצה: לענות "המבט מימין" כי הורידו קוביות מהעמודה הימנית - אבל במבט מימין רואים את הגובה המרבי בכל שורה, ובשורה האחורית נשארה ערימה בגובה 3.

הגובה, הרדיוס והקו היוצר יוצרים משולש ישר זווית; הקו היוצר הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\sqrt{72^2-21^2}=\sqrt{4743}\approx68.9$ - אבל הקו היוצר הוא היתר, ולכן הוא ארוך מהגובה.

שטח המעטפת של חרוט: $\pi rl$.

טעות נפוצה: להציב את הגובה במקום הקו היוצר, $3\cdot\pi\cdot21\cdot72=4536\pi$.

גובה העמוד: $3\cdot72=216$ ס"מ. נפח גליל: $V=\pi r^2h$:

($r=-4$ נפסל - אורך חיובי.)

טעות נפוצה: להציב את גובה הקונוס (72) במקום גובה העמוד: $r^2=\frac{3456}{72}=48$, $r\approx6.93$.

שטח המעטפת של גליל: $2\pi rh$.

$1728\pi<4725\pi$, ולכן שטח המעטפת של העמוד קטן משטח המעטפת של שלושת הקונוסים יחד.

טעות נפוצה: להשוות לקונוס אחד בלבד, $1728\pi>1575\pi$, ולענות שהעמוד גדול - אבל השאלה על שלושת הקונוסים סך הכול.