בגרות במתמטיקה 372 - קיץ 2026 מועד ב'

$x$ ו-$y$ הם מספרי סוכריות, ולכן הם אינם שליליים: $x\ge0$, $y\ge0$.

אילוץ המשקל: $x$ סוכריות טופי שוקלות $5x$ גרם, ו-$y$ סוכריות גומי שוקלות $3y$ גרם. המשקל של השקית הוא לכל היותר 210 גרם:

אילוץ הכמות: בשקית יש לכל היותר 48 סוכריות:

טעות נפוצה: להחליף בין המשקלים של שני הסוגים ולכתוב $3x+5y\le210$ - אבל $x$ הוא מספר סוכריות הטופי, וכל אחת מהן שוקלת 5 גרם, ולכן המקדם של $x$ הוא 5.

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$. מציבים בשני האילוצים: $3y\le210\Rightarrow y\le70$ ו-$y\le48$. שני האילוצים מתקיימים רק כש-$y\le48$, ולכן הקודקוד הוא החיתוך של הישר $x+y=48$ עם ציר ה-$y$:

$B$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$: $5x\le210\Rightarrow x\le42$ ו-$x\le48$. המגביל הוא אילוץ המשקל:

$C$ היא נקודת החיתוך של שני הישרים. מ-$x+y=48$ מקבלים $y=48-x$, ומציבים בישר השני:

טעות נפוצה: לקחת עבור $A$ את החיתוך של אילוץ המשקל עם ציר ה-$y$ ולקבל $A(0,70)$ - הנקודה הזאת לא מקיימת את האילוץ $x+y\le48$, ולכן היא מחוץ לתחום.

בשקית יש $x$ סוכריות טופי, והרווח מכל אחת 0.5 שקלים: $0.5x$.

יש בה $y$ סוכריות גומי, והרווח מכל אחת 0.4 שקלים: $0.4y$.

מחפשים את הרווח המקסימלי.

טעות נפוצה: להצמיד את הרווחים למשתנים הלא נכונים ולכתוב $f(x,y)=0.4x+0.5y$.

התחום האפשרי סגור, ולכן הרווח המקסימלי מתקבל באחד הקודקודים. מציבים את הקודקודים בפונקציית המטרה:

הערך הגדול ביותר מתקבל ב-$C$: צריך לארוז 33 סוכריות טופי ו-15 סוכריות גומי, והרווח הוא 22.5 שקלים.

טעות נפוצה: להחליט בלי הצבה שכדאי למלא את השקית בסוכריות טופי בלבד, כי הרווח מכל אחת גדול יותר, ולענות 42 סוכריות טופי ו-0 סוכריות גומי (רווח 21 שקלים) - אבל בקודקוד $C$ הרווח גדול יותר.

שקית לחנות א': $x=38$, $y=0$:

שקית לחנות ב' היא השקית של הרווח המקסימלי (סעיף ג(2)): 22.5 שקלים.

הרווח מכל שקית לחנות א' קטן ב-3.5 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את הרווח מ-38 סוכריות הטופי לפי 0.4 שקלים לסוכרייה, $0.4\cdot38=15.2$, ולקבל הפרש של $22.5-15.2=7.3$ שקלים.

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$: $y=-\frac13\cdot0+2=2$, כלומר $A(0,2)$.

$B$ על ציר ה-$x$, ולכן $y=0$:

$B(6,0)$.

טעות נפוצה: לכפול ב-$\frac13$ במקום ב-3 כשמבודדים את $x$ ולקבל $x=\frac23$, כלומר $B\left(\frac23,0\right)$.

$BC\perp AB$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

$BC$ עובר דרך $B(6,0)$:

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי בלי להחליף סימן, $m=-3$, ולקבל $y=-3x+18$.

$CD$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן לכל הנקודות עליה אותו שיעור $y$ כמו ל-$D$: $y=6$.

$C$ נמצא גם על $BC$. מציבים $y=6$ במשוואת $BC$:

$C(8,6)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש"מקבילה לציר ה-$x$" פירושו ששיעור ה-$x$ של $C$ שווה לזה של $D$, להציב $x=3$ ולקבל $C(3,-9)$.

אמצע הקטע בין $B(6,0)$ ל-$C(8,6)$:

$E(7,3)$.

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר, $\frac{8-6}{2}=1$ ו-$\frac{6-0}{2}=3$, ולקבל $E(1,3)$.

מחשבים את אורכי הצלעות בנוסחת המרחק:

$ED=DC=5$, ולכן המשולש $EDC$ שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לחשב $(-3)^2=-9$ ולקבל $ED=\sqrt{16-9}=\sqrt7$ - ולהסיק שאין שתי צלעות שוות. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולכתוב $EC=10$ (במקום $\sqrt{10}$), ולקבל היקף $5+5+10=20$.

לפי גרף ההתפלגות, מתחת לממוצע נמצאים 50% מהלקוחות. כדי להגיע ל-84% צריך עוד 34%, כלומר שתי רצועות מעל הממוצע: $19\%+15\%=34\%$.

כל רצועה היא חצי סטיית תקן, ולכן 750 נמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע:

טעות נפוצה: לחשוב שכל רצועה בגרף היא סטיית תקן שלמה, ולכן $750=630+2S$, ומקבלים $S=60$.

השנתות בגרף הן במרחקים של חצי סטיית תקן: $\frac{120}{2}=60$ שקלים.

באמצע הממוצע, 630. ימינה מוסיפים 60 בכל שנתה: 690, 750, 810, 870, 930. שמאלה מחסירים 60: 570, 510, 450, 390, 330.

טעות נפוצה: לקפוץ בסטיית תקן שלמה בין שנתות (120) ולכתוב 30, 150, 270, 390, 510, 630, 750, 870, 990, 1110, 1230 - אז 750 יוצא שנתה אחת מעל הממוצע, ולפי הגרף מתחתיו רק 69% ולא 84%.

510 ו-750 הם סטיית תקן אחת מתחת לממוצע ומעליו. בין השנתות האלה ארבע רצועות:

טעות נפוצה: לספור רק את שתי הרצועות שליד הממוצע, $19\%+19\%=38\%$ - הן מגיעות רק עד 570 ו-690.

952 הלקוחות האלה הם 68% מכל הלקוחות (סעיף ב). נסמן ב-$N$ את מספר הלקוחות:

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $952\cdot0.68\approx647$ - יוצא פחות לקוחות מ-952 שכבר נמצאים בקבוצה.

סכום הקנייה של דניאל לפי ציון התקן:

$726<730$, ולכן דניאל אינו זכאי למתנה - הוא טועה.

אם יוסיף פריט של 5 שקלים: $726+5=731>730$, ואז יהיה זכאי - הקופאי צודק.

טעות נפוצה: להכפיל את ציון התקן בחצי סטיית התקן (המרחק בין השנתות בגרף), $630+0.8\cdot60=678$ - ולהסיק שגם אחרי התוספת ($683$) דניאל לא זכאי, כלומר "אף לא אחד".

$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $x=0$:

נקודת ההתחלה בגובה 7 מטרים.

טעות נפוצה: לבלבל בין החיתוך עם ציר ה-$y$ לחיתוך עם ציר ה-$x$, לפתור $f(x)=0$ ולקבל $x=14$ (ו-$x=-2$).

המקדם של $x^2$ שלילי, ולכן הפרבולה "עצובה" והקדקוד הוא נקודת מקסימום:

הגובה המקסימלי הוא 16 מטרים (במרחק אופקי של 6 מטרים מ-$A$).

טעות נפוצה: להעלות בריבוע גם את המקדם, $(-0.25\cdot6)^2=2.25$, ולקבל $f(6)=2.25+18+7=27.25$.

פרבולה עם מקסימום עולה משמאל לקדקוד ויורדת מימינו. הקדקוד ב-$x=6$, והקטע מתחיל ב-$x=0$ (הנקודה $A$).

לכן הרכבת במגמת עלייה בתחום $0<x<6$.

טעות נפוצה: להפוך את הכיוונים ולענות $6<x<13$ - שם המסילה יורדת מהגובה המקסימלי אל $B$.

גובה העמוד הוא גובה המסילה בנקודה $B$:

טעות נפוצה: לחשב $13^2$ כ-$2\cdot13=26$ ולקבל $-6.5+39+7=39.5$ - יותר מהגובה המקסימלי, ולכן בלתי אפשרי.

פותרים $f(x)=12$:

שני הפתרונות בקטע $0\le x\le13$, ולכן יש מצלמות בשתי נקודות: $x=2$ ו-$x=10$.

טעות נפוצה: לקחת רק את הפתרון עם הפלוס ולענות $x=10$ בלבד - אבל המסילה בגובה 12 מטרים פעמיים: בעלייה ובירידה.

בתרשים מספרים כותבים בכל משבצת של המבט מלמעלה כמה קוביות עומדות בה. השורה התחתונה בתרשים היא השורה הקרובה לחץ (הקדמית).

השורה הקדמית, משמאל לימין: קובייה אחת, משבצת ריקה, קובייה אחת, משבצת ריקה - $1\ 0\ 1\ 0$.

השורה השנייה: עמודה של 2 משמאל, משבצת ריקה, קובייה אחת, משבצת ריקה - $2\ 0\ 1\ 0$.

השורה השלישית: $2\ 3\ 2\ 1$.

השורה האחורית: ארבע עמודות של 3 קוביות - $3\ 3\ 3\ 3$.

(כל קובייה מונחת על המשטח או על קובייה אחרת, ולכן מתחת לכל קובייה עליונה שרואים יש קוביות עד המשטח.)

טעות נפוצה: לספור רק את הקוביות שרואים בציור ולכתוב, למשל, 1 במשבצת האחורית השמאלית (רואים רק את הקובייה העליונה שלה) - אבל הקובייה העליונה מונחת על שתי קוביות מוסתרות, ולכן במשבצת 3.

במבט מימין רואים את השורות של המבנה: השורה הקדמית בצד שמאל של המבט והשורה האחורית בצד ימין. גובה כל עמודה במבט הוא הגובה הגדול ביותר בשורה המתאימה בתרשים המספרים:

המבט מימין: עמודות בגבהים 1, 2, 3, 3 משמאל לימין.

טעות נפוצה: לצייר את המבט מימין כתמונת ראי - העמודה האחורית משמאל - ולקבל עמודות בגבהים 3, 3, 2, 1 משמאל לימין (זה המבט משמאל).

סופרים את הקוביות בעזרת תרשים מספרים של כל מבנה (מהשורה האחורית לקדמית):

מבנה I: $3\,3\,3\,3\ /\ 2\,3\,2\,1\ /\ 2\,0\,1\,0\ /\ 1\,0\,1\,0$ - סך הכול $12+8+3+2=25$.

מבנה II: $3\,3\,2\,2\ /\ 1\,3\,2\,1\ /\ 1\,0\,2\,0\ /\ 1\,0\,0\,0$ - סך הכול $10+7+3+1=21$.

מבנה III: $3\,3\,3\,3\ /\ 3\,1\,1\,1\ /\ 2\,0\,1\,0\ /\ 2\,0\,1\,0$ - סך הכול $12+6+3+3=24$.

מספר הקוביות הקטן ביותר - במבנה II.

טעות נפוצה: לקבוע לפי המראה ש"החצר" הריקה באמצע מבנה III הופכת אותו לקטן ביותר, ולענות מבנה III - אבל ב-III יש 24 קוביות, יותר מ-21 שב-II.

המבט מלמעלה מראה אילו משבצות תפוסות (לא כמה קוביות יש בהן).

במבנים I ו-III המשבצות התפוסות זהות: שתי השורות האחוריות מלאות, ובשתי השורות הקדמיות תפוסות העמודה הראשונה והשלישית.

במבנה II השורה הקדמית תפוסה רק בעמודה הראשונה, ולכן המבט שלו מלמעלה שונה.

טעות נפוצה: לחשוב שהמבט מלמעלה תלוי בגובה העמודות, להשוות את תרשימי המספרים, ולענות שאין שני מבנים עם מבט זהה מלמעלה.

במבט מימין גובה כל עמודה הוא הגובה המרבי בשורה המתאימה (מהקדמית לאחורית):

מבנה I: $1,\ 2,\ 3,\ 3$.

מבנה II: $\max(1,0,0,0)=1$, $\max(1,0,2,0)=2$, $\max(1,3,2,1)=3$, $\max(3,3,2,2)=3$ - כלומר $1,\ 2,\ 3,\ 3$.

מבנה III: $2,\ 2,\ 3,\ 3$.

המבט מימין זהה במבנים I ו-II.

טעות נפוצה: לחשב את הגובה המרבי בכל עמודה (משמאל לימין) במקום בכל שורה - זה המבט מלפנים: I ו-III נותנים $3,3,3,3$ - ולענות I, III.

המבט מלפנים: הגובה המרבי בכל עמודה (משמאל לימין).

מבנה I: $3,3,3,3$; מבנה III: $3,3,3,3$; מבנה II: $3,\ 3,\ \max(2,2,2,0)=2,\ \max(2,1,0,0)=2$.

צריך להגביה את העמודה השלישית ואת העמודה הרביעית של מבנה II לגובה 3. בכל אחת מהן יש משבצת בגובה 2, ומספיק להניח עליה קובייה אחת: סך הכול 2 קוביות.

טעות נפוצה: להשוות את מספר הקוביות ולא את המבטים: $25-21=4$, ולענות 4 קוביות.

מוסיפים קובייה אחת על משבצת בגובה 2 בעמודה השלישית, וקובייה אחת על המשבצת בגובה 2 בעמודה הרביעית (רק בשורה האחורית יש בה 2). למשל, שתיהן בשורה האחורית:

בדיקה: הגובה המרבי בכל עמודה הוא 3, כמו במבנים I ו-III.

טעות נפוצה: להניח את שתי הקוביות במשבצות הריקות של השורה הקדמית (בעמודה השלישית והרביעית) ולקבל $3\,3\,2\,2\ /\ 1\,3\,2\,1\ /\ 1\,0\,2\,0\ /\ 1\,0\,1\,1$ - הגובה המרבי בעמודות האלה נשאר 2, והמבט מלפנים לא השתנה.

נפח תיבה הוא אורך × רוחב × גובה:

טעות נפוצה: לחשב רק את שטח הבסיס, $60\cdot30=1{,}800$, ולשכוח לכפול בגובה.

נפח גליל: שטח הבסיס (עיגול) כפול הגובה:

טעות נפוצה: לא להעלות את הרדיוס בריבוע: $\pi\cdot6\cdot18=108\pi\approx339.29$.

הנפח המינימלי לפי התקן - 2% מנפח האקווריום:

מסנן א': $2{,}035.75\ge1{,}440$ - מתאים.

מסנן ב': $1{,}500\ge1{,}440$ - מתאים.

שני המסננים מתאימים לדרישות התקן.

טעות נפוצה: לכתוב 2% כ-$0.2$ ולקבל דרישה של $0.2\cdot72{,}000=14{,}400$ סמ"ק - ואז אף מסנן לא מתאים.

המסנן תופס חלק מנפח האקווריום (גובהו 18 ס"מ, פחות מ-40, ולכן הוא כולו בתוך האקווריום). המים יכולים למלא רק את מה שנשאר:

כלומר כ-69,964 סמ"ק (כ-70 ליטר).

טעות נפוצה: להחסיר את הנפח המינימלי לפי התקן, 1,440 סמ"ק, במקום את נפח המסנן שנבחר, ולקבל $72{,}000-1{,}440=70{,}560$ סמ"ק.