בגרות במתמטיקה 372 - חורף 2022 מועד נבצרים

לפי גרף ההתפלגות הנורמלית שבדף הנוסחאות, מהממוצע החוצה בכל צד יש רצועות של חצי סטיית תקן: $19\%$, $15\%$, $9\%$, $5\%$, $1.5\%$, ומעבר ל-$2.5S$ עוד $0.5\%$.

מצטברים מהזנב השמאלי כלפי הממוצע עד שמגיעים ל-16%:

ארבע הרצועות האלה מסתיימות בשנתה $\bar x-S$, ולכן 28 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע:

סטיית התקן היא 12 דקות.

טעות נפוצה: לסכם נכון את ארבע הרצועות אבל לסמן את הגבול שלהן בשנתה $\bar x-1.5S$ (שם מסתיימות רק שלוש רצועות, $7\%$). אז $40-1.5S=28$ ומקבלים $S=8$.

ממקמים את שני הערכים על השנתות (סטיית התקן 12, חצי סטיית תקן 6):

בין $\bar x-S$ ל-$\bar x$ יש $15\%+19\%=34\%$, ובין $\bar x$ ל-$\bar x+0.5S$ יש $19\%$:

טעות נפוצה: להתייחס להפרש של 6 דקות כאל סטיית תקן שלמה ולמקם את 46 ב-$\bar x+S$. מקבלים $15\%+19\%+19\%+15\%=68\%$.

מצטברים מהזנב הימני כלפי הממוצע עד 7%:

שלוש הרצועות האלה נמצאות מעל השנתה $\bar x+1.5S$, ולכן:

רק 7% מהנבדקים ממתינים יותר מ-58 דקות.

טעות נפוצה: לחפש בזנב השמאלי ולקבל $40-1.5\cdot12=22$ דקות. זה הזמן ש-7% ממתינים פחות ממנו, לא יותר ממנו.

לפי סעיף ב, 53% מהנבדקים ממתינים בין 28 ל-46 דקות. מחשבים 53% מ-1,200:

טעות נפוצה: לחשב את האחוז המשלים, $0.47\cdot1200=564$. אלה הנבדקים שהמתינו פחות מ-28 דקות או יותר מ-46 דקות.

ציון התקן אומר בכמה סטיות תקן הערך רחוק מהממוצע:

נדב המתין 55 דקות.

טעות נפוצה: לחשב רק $1.25\cdot12=15$ ולענות 15 דקות. 15 הוא המרחק מהממוצע, וצריך להוסיף אותו לממוצע.

$M$ נמצאת על שני האלכסונים, ולכן היא נקודת החיתוך של הישרים $y=-x+6$ ו-$x=4$.

מציבים $x=4$ במשוואת $AC$:

$M(4,2)$.

טעות נפוצה: להציב את 4 במקום $y$: $4=-x+6$, $x=2$, ולקבל $M(2,4)$ - נקודה שאינה על הישר $x=4$.

$D$ נמצא על האלכסון $BD$ (הישר $x=4$) וגם על הצלע $CD$ (הישר $y=-4$).

לכן $x_D=4$ ו-$y_D=-4$: $D(4,-4)$.

טעות נפוצה: להחליף בין השיעורים ולכתוב $D(-4,4)$. הישר $x=4$ קובע את שיעור ה-$x$, והישר $y=-4$ את שיעור ה-$y$.

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $M$ היא אמצע $BD$ וגם אמצע $AC$.

$B$: נמצא על $x=4$, ו-$M$ היא אמצע $BD$:

$C$: נמצא על הצלע $y=-4$ ועל האלכסון $y=-x+6$:

$A$: $M$ היא אמצע $AC$:

בדיקה: $A$ על $AC$ ($-(-2)+6=8$), ו-$AB$ אופקית כמו $CD$, כמו שצריך במקבילית.

טעות נפוצה: לחשב את $B$ כאמצע הקטע $MD$: $y_B=\frac{2+(-4)}{2}=-1$, ולקבל $B(4,-1)$. $M$ היא האמצע, ו-$B$ הוא קצה הקטע.

הצלע $DC$ מונחת על $y=-4$, כלומר מקבילה לציר ה-$x$. בוחרים אותה כבסיס:

הגובה לבסיס הוא המרחק האנכי של $A(-2,8)$ מהישר $y=-4$: $8-(-4)=12$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולקבל 72 - זה שטח המקבילית כולה, והאלכסון $AC$ מחלק אותה לשני משולשים שווי שטח.

מחשבים את שלוש הצלעות. $B(4,8)$, $M(4,2)$, $C(10,-4)$.

$BM$ אנכית: $BM=8-2=6$.

אין שתי צלעות שוות, ולכן המשולש $BMC$ אינו שווה שוקיים.

טעות נפוצה: לענות "כן, $MB=MC$, כי $M$ היא אמצע האלכסונים". $M$ היא אמצע של כל אלכסון בנפרד: $MB=MD=6$ ו-$MA=MC=\sqrt{72}$. האלכסונים של מקבילית שאינה מלבן אינם שווים.

כל עמודה בטבלה היא משאב, וכל שורה היא סוג זר.

ורדים: $x$ זרים גדולים צורכים $3x$ ורדים ו-$y$ זרים קטנים צורכים $6y$. "לפחות 48" - סימן $\ge$:

חרציות: $10x+4y$, "לכל היותר 80" - סימן $\le$:

ומספר הזרים אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: לקרוא את הטבלה לפי שורות במקום לפי עמודות ולכתוב $3x+10y\ge48$, $6x+4y\le80$ - כאן כל אילוץ מערבב שני סוגי פרחים.

מסרטטים כל ישר לפי נקודות החיתוך שלו עם הצירים:

$3x+6y=48$: $(16,0)$ ו-$(0,8)$. $10x+4y=80$: $(8,0)$ ו-$(0,20)$.

בודקים את הצד בעזרת הראשית $(0,0)$: $0\ge48$ לא נכון, ולכן התחום של האילוץ הראשון הוא בצד הרחוק מהראשית; $0\le80$ נכון, ולכן התחום של השני הוא בצד של הראשית.

קודקוד החיתוך של שני הישרים:

התחום הוא המשולש שקודקודיו $(0,8)$, $(0,20)$, $(6,5)$ (על ציר ה-$x$ אין נקודות אפשריות: $3x\ge48$ דורש $x\ge16$, ו-$10x\le80$ דורש $x\le8$).

טעות נפוצה: לצבוע את הצד של הראשית גם עבור האילוץ $3x+6y\ge48$, ולקבל מרובע שקודקודיו $(0,0)$, $(8,0)$, $(6,5)$, $(0,8)$.

ההכנסה מ-$x$ זרים גדולים היא $45x$ ומ-$y$ זרים קטנים $30y$.

מחפשים הכנסה מקסימלית.

טעות נפוצה: להצמיד את המחירים לסוג הלא נכון ולכתוב $P=30x+45y$.

התחום סגור, ולכן המקסימום מתקבל באחד הקודקודים. מציבים בפונקציית המטרה:

ההכנסה המקסימלית, 600 שקלים, מתקבלת כשמוכרים 0 זרים גדולים ו-20 זרים קטנים.

טעות נפוצה: לבחור את קודקוד החיתוך $(6,5)$ בלי להציב את כל הקודקודים, כי "יש בו משני הסוגים", ולקבל הכנסה של 420 שקלים.

מציבים $x=8$, $y=6$ בכל האילוצים:

ורדים: $3\cdot8+6\cdot6=60\ge48$ - מתקיים.

חרציות: $10\cdot8+4\cdot6=104$, אבל מותר לכל היותר 80 - לא מתקיים.

הנקודה $(8,6)$ מחוץ לתחום האפשרי: יוסי לא יכול לספק את ההזמנה, כי אין לו מספיק חרציות.

טעות נפוצה: לבדוק רק את אילוץ הוורדים, לענות שאפשר ולחשב הכנסה של $45\cdot8+30\cdot6=540$ שקלים. נקודה אפשרית צריכה לקיים את כל האילוצים.

כל המקצועות בקובייה שווים, ולכן מקצוע הקובייה הוא 4 ס"מ (הגובה שלה).

דרושים 64 סמ"ק שעווה.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הפנים של הקובייה, $6\cdot4^2=96$, במקום את הנפח. כמות השעווה שממלאת את התבנית היא נפח.

נפח פירמידה: שליש משטח הבסיס כפול הגובה. שטח הבסיס: $6^2=36$.

טעות נפוצה: לשכוח את השליש ולקבל $36\cdot4=144$ סמ"ק - זה הנפח של תיבה עם אותו בסיס ואותו גובה.

במארז נר מכל סוג, ולכן מארז אחד דורש $64+48=112$ סמ"ק.

אי אפשר להכין חלק ממארז, ולכן מעגלים כלפי מטה: 5 מארזים.

טעות נפוצה: לחלק את 590 בנפח של נר מסוג א' בלבד, $590:64\approx9.2$, ולענות 9 מארזים - כל מארז צריך גם נר מסוג ב'.

ב-5 מארזים השתמשה ב-$5\cdot112=560$ סמ"ק.

נשארו 30 סמ"ק.

טעות נפוצה: לקרוא את השארית מהמחשבון ($5.27$) ולענות שנשארו 27 סמ"ק. ה-$0.27$ הוא חלק ממארז, לא סמ"ק - צריך לחסר את מה שנוצל מהכמות הכוללת.

נפח הנר הקטן הוא השארית, 30 סמ"ק. מסמנים ב-$a$ את צלע הבסיס:

$a=5$ (הפתרון $a=-5$ נפסל, כי אורך הוא חיובי).

טעות נפוצה: לשכוח את השליש: $3.6a^2=30$, $a^2\approx8.33$, ולקבל $a\approx2.89$ ס"מ.

נעזרים בתרשים המספרי של המבנה (סעיף ב):

(1) מבט מלפנים: בכל עמודה (משמאל לימין) רואים את הגובה המרבי לאורך כל העומק: שמאלית $\max(1,0,3)=3$, אמצעית $\max(1,1,1)=1$, ימנית $\max(0,1,2)=2$.

(2) מבט מימין: עומדים מימין למבנה ומסתכלים שמאלה. השורה הקדמית נראית בצד שמאל של התרשים והשורה האחורית בצד ימין. בכל שורה רואים את הגובה המרבי: קדמית 1, אמצעית 1, אחורית 3.

(3) מבט מלמעלה: מסמנים כל משבצת שיש עליה לפחות קובייה אחת (בלי גבהים):

טעות נפוצה: במבט מימין לשים את השורה האחורית בצד שמאל ולסרטט עמודות בגובה 3, 1, 1 - זה המבט משמאל.

בתרשים מספרי רושמים בכל משבצת של הבסיס את מספר הקוביות שמעליה. הבסיס $3\times3$, והשורה הקדמית היא זו שהחץ מצביע עליה.

שורה קדמית (משמאל לימין): קובייה אחת, קובייה אחת, משבצת ריקה.

שורה אמצעית: משבצת ריקה (רואים את הרצפה מאחורי הקובייה הקדמית-שמאלית), קובייה אחת, קובייה אחת.

שורה אחורית: עמודה של 3 קוביות, קובייה אחת, עמודה של 2 קוביות.

בסך הכול $3+1+2+0+1+1+1+1+0=10$ קוביות.

טעות נפוצה: לרשום את השורה הקדמית בראש התרשים (כמו שהיא נראית למי שעומד מול המבנה), ולקבל תרשים הפוך: למעלה 1, 1, 0 ולמטה 3, 1, 2. בתרשים מספרי השורה הקדמית נמצאת למטה, הקרובה לצופה.

המבט מלמעלה לא משתנה - לכן מוסיפים את הקובייה רק על משבצת שכבר יש עליה קובייה.

המבט מימין מראה את הגובה המרבי בכל שורה: קדמית 1, אמצעית 1, אחורית 3. כדי שלא ישתנה, אסור שעמודה כלשהי תעבור את הגובה המרבי של השורה שלה.

בשורה הקדמית ובשורה האמצעית כל העמודות כבר בגובה 1 - קובייה נוספת תיצור גובה 2 ותשנה את המבט מימין.

בשורה האחורית הגובה המרבי 3: אפשר להוסיף על העמודה האמצעית ($1\to2$) או על הימנית ($2\to3$), אבל לא על השמאלית ($3\to4$).

אפשרות אחת (שורה אחורית 3, 2, 2):

האפשרות השנייה: שורה אחורית 3, 1, 3.

טעות נפוצה: להוסיף את הקובייה במשבצת הריקה שבשורה האמצעית (שורה אמצעית 1, 1, 1). המבט מימין אכן לא משתנה, אבל במבט מלמעלה מופיעה משבצת חדשה.