בגרות במתמטיקה 372 - חורף 2022

צוברים את הרצועות של הגרף מהזנב השמאלי פנימה, עד שמגיעים ל-16%:

ארבע הרצועות האלה מגיעות עד השנתה $\bar x-S$ (סטיית תקן אחת מתחת לממוצע). לכן 162 נמצא בשנתה הזאת:

ממוצע הגבהים הוא 168 ס"מ.

טעות נפוצה: לחסר את סטיית התקן במקום להוסיף אותה, $\bar x=162-6$, ולקבל ממוצע של 156 ס"מ. רק 16% מהתלמידים נמוכים מ-162, ולכן 162 נמצא מתחת לממוצע, והממוצע גדול ממנו.

ממקמים את שני הערכים על שנתות הגרף:

בין $\bar x-S$ ל-$\bar x$ יש שתי רצועות של חצי סטיית תקן, ובין $\bar x$ ל-$\bar x+2S$ יש ארבע רצועות. סוכמים את כולן:

82% מהתלמידים גובהם בין 162 ל-180 ס"מ.

טעות נפוצה: לחשוב שכל רצועה בגרף היא סטיית תקן שלמה - לקחת רצועה אחת (19%) מ-162 עד 168 ושתי רצועות (19%+15%) מ-168 עד 180, ולקבל 53%. הרצועות בגרף הן של חצי סטיית תקן.

$177-168=9$, ו-9 הם $1.5\cdot6$, כלומר סטיית תקן וחצי:

מעל השנתה $\bar x+1.5S$ נמצאות הרצועות:

מספר התלמידים:

84 תלמידים יוכלו להירשם.

טעות נפוצה: לקחת רק את הרצועה הצמודה לשנתה (5%) ולשכוח את הזנב ($1.5\%+0.5\%$), ולקבל $0.05\cdot1200=60$ תלמידים.

ציון התקן הוא 0, כי הגובה 168 ס"מ שווה בדיוק לממוצע.

טעות נפוצה: להציב בנוסחה את 162 (הערך שבנתון) במקום הממוצע: $\frac{168-162}{6}$, ולקבל ציון תקן 1.

בנוסחה $z=\frac{x-\bar x}{S}$ המכנה חיובי, ולכן $z$ שלילי בדיוק כאשר $x-\bar x<0$, כלומר כשהגובה קטן מהממוצע 168.

דוגמה: 165 ס"מ.

טעות נפוצה: להפוך את סדר החיסור בנוסחה ($\frac{\bar x-x}{S}$) ולכן לבחור גובה גדול מהממוצע, למשל 174 ס"מ - אבל ציון התקן שלו $\frac{174-168}{6}=1$, חיובי.

נסמן: $x$ - מספר כוסות המשקה הירוק ביום, $y$ - מספר כוסות המשקה הכתום ביום.

פחמימות: בכל כוס ירוקה 10 גרם ובכל כוס כתומה 15 גרם. "לכל היותר 120" פירושו קטן או שווה:

חלבונים: "לפחות 54" פירושו גדול או שווה:

מספר כוסות אינו שלילי: $x\ge0$, $y\ge0$.

טעות נפוצה: להפוך את כיוון אילוץ החלבונים ולכתוב $3x+9y\le54$ - "לפחות" פירושו גדול או שווה.

מצמצמים את האילוצים: $10x+15y\le120$ שקול ל-$2x+3y\le24$, ו-$3x+9y\ge54$ שקול ל-$x+3y\ge18$.

הישר $2x+3y=24$ חותך את הצירים ב-$(12,0)$ וב-$(0,8)$. הישר $x+3y=18$ חותך אותם ב-$(18,0)$ וב-$(0,6)$.

בודקים בנקודה $(0,0)$: $0\le24$ נכון, ולכן האילוץ הראשון הוא הצד של הראשית (מתחת לישר). $0\ge18$ לא נכון, ולכן האילוץ השני הוא הצד הרחוק מהראשית (מעל הישר).

נקודת החיתוך של הישרים: מחסרים את המשוואות, $(2x+3y)-(x+3y)=24-18$, ומקבלים $x=6$, ואז $y=4$.

התחום האפשרי הוא המשולש שקדקודיו $(0,6)$, $(0,8)$, $(6,4)$:

טעות נפוצה: לסמן גם בישר $x+3y=18$ את הצד של הראשית, ולקבל את המרובע שקדקודיו $(0,0)$, $(0,6)$, $(6,4)$, $(12,0)$.

המטרה היא ההוצאה היומית: $x$ כוסות ב-20 שקלים ו-$y$ כוסות ב-15 שקלים.

מחפשים את הערך המינימלי (הוצאה מינימלית).

טעות נפוצה: להחליף בין המחירים ולכתוב $P=15x+20y$.

התחום סגור, ולכן ההוצאה המינימלית מתקבלת באחד מקדקודי התחום. מציבים כל קדקוד בפונקציית המטרה:

ההוצאה הקטנה ביותר, 90 שקלים, מתקבלת ב-$(0,6)$: 0 כוסות משקה ירוק ו-6 כוסות משקה כתום.

טעות נפוצה: לבחור את נקודת החיתוך של הישרים, $(6,4)$, בלי להשוות לקדקודים האחרים - שם ההוצאה היא דווקא הגדולה ביותר, 180 שקלים.

הקודקוד $A$ נמצא על הישר $AC$, ולכן מציבים $x=7$ במשוואת הישר:

$A(7,21)$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולחשב $3\cdot7+42=63$, כלומר $A(7,63)$.

שיפוע הישר $AC$ הוא $-3$. $BD\perp AC$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

הישר $BD$ עובר דרך $E(12,6)$:

טעות נפוצה: לקחת רק את ההופכי בלי להחליף סימן, $m_{BD}=-\frac13$, ולקבל $y=-\frac13x+10$.

$B$ נמצא גם על $AB$ וגם על $BD$, ולכן משווים את המשוואות:

כופלים ב-6: $27x-63=2x+12$, ולכן $25x=75$, $x=3$.

$B(3,3)$.

טעות נפוצה: להעביר את $-10.5$ לאגף השני בלי להחליף סימן: $4.5x-\frac13x=2-10.5$, ולקבל $x\approx-2.04$, $B(-2.04,\,1.32)$.

$E$ היא אמצע הקטע $BD$, ולכן כל שיעור של $E$ הוא ממוצע השיעורים של $B$ ו-$D$:

$D(21,9)$.

טעות נפוצה: לחשב את האמצע של $B$ ו-$E$, $\left(\frac{3+12}{2},\frac{3+6}{2}\right)=(7.5,\,4.5)$, במקום את הקצה השני של הקטע.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן ל-$C$ אותו שיעור $y$ כמו ל-$B$: $y_C=3$ (הישר $BC$ הוא $y=3$).

$C$ נמצא על $AC$:

$C(13,3)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$C$ נמצא על ציר ה-$x$, להציב $y=0$ ולקבל $C(14,0)$.

$BC$ מקבילה לציר ה-$x$: $BC=13-3=10$.

$BC=DC$, ולכן המשולש $DBC$ שווה שוקיים (הקודקוד שבין השוקיים הוא $C$).

זה לא מקרי: $AC$ מאונך ל-$BD$ ועובר באמצע שלו, כלומר $AC$ הוא האנך האמצעי של $BD$, וכל נקודה עליו נמצאת במרחק שווה מ-$B$ ומ-$D$.

טעות נפוצה: להשוות רק את $DB\approx18.97$ ל-$BC=10$ ולהסיק שהמשולש אינו שווה שוקיים - צריך לבדוק את כל זוגות הצלעות.

נפח תיבה הוא שטח הבסיס כפול הגובה. הבסיס (הפתח) הוא ריבוע שצלעו 12 ס"מ:

נפח הקופסה: 2,304 סמ"ק.

טעות נפוצה: להשתמש ב-12 גם בתור הגובה, כאילו זו קובייה: $12^3=1728$ סמ"ק.

נפח התיבה גדול פי 2, ולכן נפח הפירמידה הוא חצי מנפח התיבה:

נפח הפירמידה: 1,152 סמ"ק.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק ולקבל $2\cdot2304=4608$ סמ"ק - כך הפירמידה הייתה גדולה מהתיבה.

נפח פירמידה הוא שליש משטח הבסיס כפול הגובה: $V=\frac13Sh$. הבסיס הוא הפתח, ריבוע ששטחו $12^2=144$:

גובה הפירמידה 24 ס"מ.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-$\frac13$ בנוסחה: $144h=1152$, ולקבל $h=8$ ס"מ.

הנפח של 45 התיבות:

הנפח שנשאר לפירמידות:

מספר הפירמידות:

טעות נפוצה: לחלק את כל הנפח בנפח של פירמידה אחת, $\frac{144000}{1152}=125$, ולשכוח שחלק מהפופקורן כבר נמצא ב-45 התיבות.

בתרשים המספרי רושמים בכל משבצת של הבסיס את מספר הקוביות בעמודה שעליה. כל קובייה עומדת על קובייה אחרת או על המשטח, ולכן מתחת לכל קובייה נראית יש עמודה מלאה - גם קוביות שמוסתרות בסרטוט.

השורה האחורית: 2, 1, 2. השורה האמצעית: 3, 1, 1 (העמודה השמאלית היא המגדל הגבוה). השורה הקדמית: 1, 1, 0 (המשבצת הימנית ריקה - רואים בה את המשטח).

מבט מלפנים: בכל טור (שמאל, אמצע, ימין) רואים את העמודה הגבוהה ביותר בו: $\max(1,3,2)=3$, $\max(1,1,1)=1$, $\max(0,1,2)=2$.

מבט מלמעלה: משבצת מסומנת אם יש בה לפחות קובייה אחת - כל המשבצות חוץ מהימנית הקדמית.

מבט מימין: הצופה עומד מימין למבנה, ולכן השורה הקדמית נמצאת משמאלו והאחורית מימינו. בכל שורה רואים את העמודה הגבוהה ביותר: קדמית 1, אמצעית 3, אחורית 2.

טעות נפוצה: לסרטט את המבט מימין כתמונת ראי - עם השורה האחורית בצד שמאל - ולקבל עמודות בגובה 2, 3, 1.

מספר הקוביות הוא סכום המספרים בתרשים המספרי:

טעות נפוצה: לחבר את הגבהים שבמבט מלפנים, $3+1+2=6$ - המבט מראה רק את העמודה הגבוהה בכל טור, ולא את כל הקוביות.

מתרשים המבטים: מלמעלה - כל המשבצות חוץ מהאמצעית הקדמית; מלפנים - 3, 1, 3; מימין - 1, 3, 2 (קדמית, אמצעית, אחורית).

רושמים תרשים מספרי לכל מבנה ומפיקים ממנו את המבטים:

(1): השורה האחורית: 2, 1, 2; השורה האמצעית: 3, 1, 3; השורה הקדמית: 1, 0, 1. מלפנים: 3, 1, 3. מימין: 1, 3, 2. מלמעלה: חסרה רק האמצעית הקדמית. מתאים.

(2): השורה האחורית: 1, 1, 2; השורה האמצעית: 3, 1, 1; השורה הקדמית: 1, 0, 1. מלפנים: 3, 1, 2 - בטור הימני העמודה הגבוהה היא 2, ולא 3. המבט מלפנים אינו מתאים.

(3): השורה האחורית: 3, 1, 2; השורה האמצעית: 2, 1, 3; השורה הקדמית: 1, 0, 1. מימין: 1, 3, 3 - בשורה האחורית יש עמודה בגובה 3 (השמאלית), ולכן במבט מימין העמודה של השורה האחורית בגובה 3, ולא 2. המבט מימין אינו מתאים.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המבט מלפנים ואת המבט מלמעלה, שמתאימים למבנה (3), ולענות שרק מבנה (2) אינו מתאים.