מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך - שאלון 471

בסקר השתתפו $100+200+100+200+150+50=800$ תלמידים.

באבי תומכים $200+150=350$ תלמידים (בנים ובנות).

ההסתברות:

טעות נפוצה: לספור רק את הבנים התומכים באבי ולקבל $\frac{200}{800}=0.25$.

התנאי הוא "תומך בענת", ולכן מרחב המדגם מצטמצם לתומכי ענת: $100+200=300$ תלמידים.

מתוכם 200 בנות, ולכן ההסתברות שהתומך בת:

טעות נפוצה: להפוך את כיוון ההתניה ולחשב את ההסתברות שבת תומכת בענת: $\frac{200}{400}=\frac12$.

מי שאינו תומך בענת תומך באבי או בדוד: $800-300=500$ תלמידים.

בדוד תומכים $100+50=150$ תלמידים, וכולם בתוך הקבוצה הזו:

טעות נפוצה: לחלק בכל המשתתפים בסקר במקום בקבוצת התנאי ולקבל $\frac{150}{800}=0.1875$.

בוחרים מתוך 500 התלמידים שאינם תומכים בענת: 150 תומכים בדוד ו-350 באבי.

המאורע המשלים ל"לפחות אחד תומך בדוד" הוא "שניהם תומכים באבי". בוחרים שני תלמידים שונים (בלי החזרה), ולכן בבחירה השנייה נשארו 349 תומכי אבי מתוך 499:

ההסתברות ששניהם תומכים באבי:

טעות נפוצה: לחשב רק את המקרה "בדיוק אחד תומך בדוד", $2\cdot\frac{150}{500}\cdot\frac{350}{499}\approx0.421$, ולשכוח את המקרה ששניהם תומכים בדוד.

המשולש $BOC$ ישר זווית ב-$O$ (הצירים מאונכים), והניצב $OB=6$.

במשולש $BOC$: $\tan\alpha=\frac{OC}{OB}$, ולכן $OC=6\tan\alpha$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\alpha=\frac{OB}{OC}$, ולקבל $OC=\frac{6}{\tan\alpha}$ ושטח $\frac{18}{\tan\alpha}$.

לפי א(1): $18\tan\alpha=18\sqrt3$, ולכן $\tan\alpha=\sqrt3$.

$\alpha$ זווית חדה במשולש ישר זווית, ולכן $\alpha=60^\circ$.

טעות נפוצה: להתבלבל בערכים המיוחדים ולענות $\alpha=30^\circ$ - אבל $\tan30^\circ=\frac{1}{\sqrt3}$, לא $\sqrt3$.

$DC\parallel AB$ (צלעות נגדיות במקבילית), ו-$AB$ על ציר ה-$x$. $CO$ על ציר ה-$y$, ולכן $CO\perp AB$ וגם $CO\perp DC$.

לכן $\angle EOB=90^\circ=\angle ECD$.

$\angle OEB=\angle CED$ (זוויות קודקודיות).

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\triangle OEB\sim\triangle CED$, כאשר $O\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים לפי סדר האותיות בשם "$DEC$" ($O\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$) ולכתוב $\frac{OB}{DE}=\frac{OE}{EC}$ - יחס שאינו נכון. הזוויות הישרות הן ב-$O$ וב-$C$, ולכן $O$ מתאים ל-$C$.

הצלעות המתאימות $OB$ ו-$CD$ (מול הזוויות הקודקודיות ב-$E$).

$OB=6$, ו-$CD=AB=6-(-12)=18$ (צלעות נגדיות במקבילית).

טעות נפוצה: לקחת את $OA=12$ במקום $CD$ ולקבל יחס $\frac{6}{12}=\frac12$. $OA$ אינה צלע במשולש $DEC$.

$OC=6\tan60^\circ=6\sqrt3$, ולכן $C(0,6\sqrt3)\approx(0,10.39)$.

מהדמיון: $\frac{OE}{CE}=\frac13$, כלומר $OC$ מחולק ב-$E$ ביחס $1:3$, ו-$OE$ הוא רבע מ-$OC$:

$E\left(0,\frac{3\sqrt3}{2}\right)$.

טעות נפוצה: לקחת את $OE$ כשליש מ-$OC$ (לבלבל בין היחס $1:3$ לבין החלק $\frac13$) ולקבל $E(0,2\sqrt3)\approx(0,3.46)$.

לשני המשולשים $BEO$ ו-$BEC$ יש בסיסים $OE$ ו-$EC$ על אותו ישר (ציר ה-$y$), והגובה מ-$B$ לישר הזה משותף: $OB=6$.

וזה יחס הדמיון מסעיף ב(2).

טעות נפוצה: להשתמש בכלל של משולשים דומים (יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון) ולקבל $\frac19$. המשולשים $BEO$ ו-$BEC$ אינם דומים - יש להם גובה משותף.

אמצע $AC$: $\left(\frac{7+0}{2},\frac{-5+2}{2}\right)=(3.5,-1.5)$.

שיפוע $AC$: $m_{AC}=\frac{2-(-5)}{0-7}=-1$.

האנך האמצעי מאונך ל-$AC$, ולכן שיפועו $1$ (מכפלת השיפועים $-1$), והוא עובר דרך האמצע:

טעות נפוצה: להעביר דרך האמצע ישר עם השיפוע של $AC$ עצמו ולקבל $y=-x+2$ - זה הישר $AC$, לא האנך האמצעי.

ל-$A$ ול-$B$ אותו שיעור $x$, ולכן $AB$ מונח על הישר האנכי $x=7$.

אמצע $AB$: $\left(7,\frac{-5+3}{2}\right)=(7,-1)$.

ישר המאונך לישר אנכי הוא ישר אופקי, והישר האופקי דרך $(7,-1)$ הוא $y=-1$. לכן $y=-1$ הוא האנך האמצעי ל-$AB$.

טעות נפוצה: לחשוב שהאנך האמצעי לקטע אנכי הוא אנכי בעצמו ולכתוב $x=7$ - זה הישר $AB$.

המרכז $M$ נמצא על האנכים האמצעיים של כל המיתרים. חיתוך $y=x-5$ עם $y=-1$: $x-5=-1$, $x=4$. לכן $M(4,-1)$.

הרדיוס: $R^2=MB^2=(7-4)^2+(3+1)^2=9+16=25$.

טעות נפוצה: לטעות בסימנים במשוואה ולכתוב $(x+4)^2+(y-1)^2=25$ - מעגל שמרכזו $(-4,1)$.

$BA$ מונח על הישר האנכי $x=7$ ופונה מ-$B$ כלפי מטה.

שיפוע $BC$: $m_{BC}=\frac{3-2}{7-0}=\frac17$, ולכן הזווית בין $BC$ לכיוון האופקי היא $\theta$ שבה $\tan\theta=\frac17$, $\theta\approx8.13^\circ$.

מ-$B$ הקרן $BC$ יורדת שמאלה בזווית $8.13^\circ$ מתחת לאופק, והקרן $BA$ יורדת אנכית. הזווית ביניהן:

טעות נפוצה: לעצור ב-$8.13^\circ$ - זו הזווית בין $BC$ לישר אופקי, לא בין $BC$ ל-$BA$.

$M$ נמצא על האנך האמצעי של $AC$ (סעיף א(1)), ולכן הגובה מ-$M$ לצלע $AC$ יורד לאמצע $AC$, $N(3.5,-1.5)$.

(דרך אחרת: $\angle AMC$ היא זווית מרכזית הנשענת על אותה קשת כמו הזווית ההיקפית $ABC$, ולכן $\angle AMC=2\cdot81.87^\circ$, ו-$S=\frac12\cdot5\cdot5\cdot\sin163.74^\circ=3.5$.)

טעות נפוצה: להציב בנוסחת השטח את הזווית ההיקפית במקום המרכזית: $\frac12\cdot25\cdot\sin81.87^\circ\approx12.37$.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: להפוך את כיוון אי-השוויון ולכתוב $x\le-2$ או $x\ge2$ - שם $4-x^2<0$ (חוץ מהקצוות).

תחום ההגדרה $-2\le x\le2$ סימטרי סביב 0.

לכן $f$ אי-זוגית.

טעות נפוצה: לראות $x^2$ בתוך השורש ולהסיק שהפונקציה זוגית ($f(-x)=f(x)$), בלי לשים לב לגורם $x$ שמחוץ לשורש שמחליף סימן.

חיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=0$, הנקודה $(0,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $x\sqrt{4-x^2}=0$, כלומר $x=0$ או $4-x^2=0$: $x=0$, $x=2$, $x=-2$ (כולן בתחום).

הנקודות: $(0,0)$, $(2,0)$, $(-2,0)$.

טעות נפוצה: מ-$x^2=4$ לקחת רק $x=2$ ולשכוח את $(-2,0)$.

גוזרים לפי כלל המכפלה וכלל השרשרת:

$f'(x)=0$: $4-2x^2=0$, $x=\pm\sqrt2$.

המכנה חיובי בתוך התחום, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $4-2x^2$: שלילי ב-$-2<x<-\sqrt2$, חיובי ב-$-\sqrt2<x<\sqrt2$, שלילי ב-$\sqrt2<x<2$.

$f(\sqrt2)=\sqrt2\cdot\sqrt2=2$: מקסימום $(\sqrt2,2)$. $f(-\sqrt2)=-2$: מינימום $(-\sqrt2,-2)$.

קצוות התחום: מימין ל-$x=-2$ הפונקציה יורדת, ולכן $(-2,0)$ מקסימום (קצה); משמאל ל-$x=2$ הפונקציה יורדת, ולכן $(2,0)$ מינימום (קצה).

טעות נפוצה: למצוא רק את הקיצון שבו $f'=0$ ולשכוח את נקודות הקצה $(-2,0)$ ו-$(2,0)$, שגם הן נקודות קיצון.

לפי טבלת הסימנים של $f'$ מסעיף ג(2):

עולה כאשר $f'>0$: $-\sqrt2<x<\sqrt2$.

יורדת כאשר $f'<0$: $-2<x<-\sqrt2$ וגם $\sqrt2<x<2$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$4-2x^2$ חיובי מחוץ לשורשים (כמו פרבולה "צוחקת") ולהפוך: עולה ב-$-2<x<-\sqrt2$ וב-$\sqrt2<x<2$, יורדת ב-$-\sqrt2<x<\sqrt2$.

מרכזים את הנתונים: תחום $-2\le x\le2$, חיתוכים $(\pm2,0)$ ו-$(0,0)$, מינימום $(-\sqrt2,-2)$, מקסימום $(\sqrt2,2)$, ותחומי עלייה וירידה.

הפונקציה אי-זוגית, ולכן הגרף סימטרי ביחס לראשית.

טעות נפוצה: להמשיך את הגרף מעבר ל-$x=\pm2$ - הפונקציה לא מוגדרת שם, והגרף מתחיל ונגמר בנקודות הקצה.

$g(x)=f(x)-2$: הגרף של $g$ הוא הגרף של $f$ מוזז 2 יחידות למטה. שיעורי ה-$x$ וסוג הקיצון לא משתנים, ומכל שיעור $y$ מחסירים 2.

מקסימום: $(\sqrt2,2-2)=(\sqrt2,0)$ ו-$(-2,0-2)=(-2,-2)$.

מינימום: $(-\sqrt2,-2-2)=(-\sqrt2,-4)$ ו-$(2,-2)$.

טעות נפוצה: להזיז את שיעורי ה-$x$ במקום שיעורי ה-$y$ (כאילו $g(x)=f(x+2)$) ולקבל למשל מקסימום ב-$(\sqrt2-2,2)$.

המכנה לא יכול להתאפס: $2x+1=0$ כאשר $x=-\frac12$.

תחום ההגדרה: כל $x$, חוץ מ-$x=-\frac12$.

טעות נפוצה: לטעות בסימן בפתרון $2x+1=0$ ולכתוב $x\neq\frac12$.

אסימפטוטה אנכית: המכנה מתאפס ב-$x=-\frac12$ והמונה (4) לא מתאפס, ולכן $x=-\frac12$.

אסימפטוטה אופקית: מעלת המונה (0) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן כאשר $x\to\pm\infty$ השבר שואף ל-0: $y=0$.

טעות נפוצה: לקחת את המונה כאסימפטוטה האופקית ולכתוב $y=4$ - כלל "יחס המקדמים" מתאים רק כשהמעלות שוות.

נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{4}{1}=4$, ולכן הישר המקביל לציר ה-$x$ הוא $y=4$.

$x=0$ (נקודת החיתוך עם ציר ה-$y$) או $x=-1$. לכן $A(-1,4)$.

טעות נפוצה: לפתוח את הסוגריים כ-$4x^2+1$, לקבל $4x^2=0$ ו-$x=0$ בלבד, ולהסיק שאין נקודה נוספת.

האנך הוא הישר $x=-1$. בין $x=-1$ ל-$x=0$ הגרף נמצא מעל הישר $y=4$ (שם $|2x+1|\le1$), ולכן הגבול העליון של השטח הוא הישר $y=4$; בין $x=0$ ל-$x=\frac12$ הגרף מתחת לישר, והגבול העליון הוא הגרף.

החלק השמאלי - מלבן: $1\cdot4=4$.

החלק הימני - שטח מתחת לגרף. פונקציה קדומה של $\frac{4}{(2x+1)^2}$ היא $-\frac{2}{2x+1}$:

השטח המבוקש: $4+1=5$.

טעות נפוצה: לחשב רק את האינטגרל מ-0 עד $\frac12$ ולענות 1, בלי המלבן שבין $x=-1$ ל-$x=0$.

$AE=x$, ולכן $EB=6-x$. במשולש ישר הזווית $AEB$ (היתר $AB$), לפי משפט פיתגורס:

המשולש $ABC$ ישר זווית ושווה שוקיים: $BC=AB$, ושטחו מחצית מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לחבר את הניצבים במקום להשתמש בפיתגורס, $AB=x+(6-x)=6$, ולקבל שטח קבוע 18.

שטח המרובע הוא סכום שטחי המשולשים $ABC$ ו-$AEB$:

$S'<0$ ב-$0<x<3$ ו-$S'>0$ ב-$3<x<6$, ולכן ב-$x=3$ יש מינימום (השטח המינימלי $S(3)=13.5$ סמ"ר).

טעות נפוצה: לשכוח את החצי בשטח המשולש $AEB$ ולכתוב $x(6-x)$; אז $S(x)=x^2-6x+18+6x-x^2=18$ קבוע, ומסיקים בטעות שהשטח לא תלוי ב-$x$.