מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 11 מעל רמת בגרות

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$:

לכן:

טעות נפוצה: לכתוב $a_4=a_1+4d$ ו-$a_5=a_1+5d$ (הפרש אחד יותר מדי בכל איבר), ולקבל $a_1=d$ במקום $a_1=2d$; כל ההמשך יוצא שגוי.

מסעיף א: $a_8=9d$ ו-$a_3=4d$. לכן $b_1=9d$ ו-$b_3=4d$.

$d\ne0$, ולכן מותר לחלק בו:

המנה אינה תלויה ב-$d$: שני האיברים פרופורציונליים ל-$d$, והוא מצטמצם.

טעות נפוצה: לכתוב $b_3=b_1q^3$ (המעריך כמספר האיבר) ולקבל $q=\sqrt[3]{\frac49}\approx0.76$. מ-$b_1$ ל-$b_3$ יש שתי הכפלות במנה, ולכן $q^2$.

סדרה שאינה עולה ואינה יורדת עם $b_1\ne0$ היא סדרה שסימני איבריה מתחלפים, ולכן $q=-\frac23$ (עם $q=\frac23$ כל האיברים באותו סימן והסדרה מונוטונית).

שתי תת-הסדרות הן הנדסיות עם מנה $q^2=\frac49$ (בין שני איברים סמוכים בכל אחת מהן יש שני צעדים בסדרה B), ו-$\frac49<1$:

•במקומות האי-זוגיים: איבר ראשון $b_1=9d$:

•במקומות הזוגיים: איבר ראשון $b_2=b_1q=9d\cdot\left(-\frac23\right)=-6d$:

הנתון: $S_{\text{odd}}-S_{\text{even}}=54$:

ומסעיף א: $a_1=2d=4$.

בדיקה: $b_1=18$, $S_{\text{odd}}=32.4$, $S_{\text{even}}=-21.6$, וההפרש 54.

טעות נפוצה: לחשב $S_{\text{odd}}-S_{\text{even}}$ כאילו שני הסכומים חיוביים ($16.2d-10.8d=5.4d$) ולקבל $d=10$ - סכום האיברים במקומות הזוגיים שלילי.

קודם מתרגמים את מיקום הנקודות לחלקים של וקטורי הבסיס.

$\overrightarrow{CP}=\frac23\underline w$, ולכן מ-$P$ עד $C'$ נשאר שליש מהמקצוע: $\vec{PC'}=\frac13\underline w$.

$M$ אמצע $A'B'$, ו-$\vec{A'B'}=\overrightarrow{AB}=\underline u$. לכן $\vec{B'M}=-\frac12\underline u$.

מ-$B$ עולים ל-$B'$ וממשיכים לאורך המקצוע העליון ל-$M$:

מ-$P$ עולים ל-$C'$, הולכים לאורך $C'B'$ (שהוא $-\overrightarrow{AD}$) וממשיכים ל-$M$:

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{PC'}=\frac23\underline w$. היחס $\frac23$ נמדד מ-$C$ עד $P$, ומ-$P$ עד $C'$ נשאר רק שליש; עם הטעות מתקבל $\overrightarrow{PM}=-\frac12\underline u-\underline v+\frac23\underline w$.

הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline v$ היא הזווית $DAB$, ולכן לפי הגדרת המכפלה הסקלרית:

המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי $AA'$ מאונך למישור הבסיס, ובפרט ל-$AB$ ול-$AD$.

וקטורים מאונכים - המכפלה הסקלרית שלהם 0: $\underline v\cdot\underline w=0$ ו-$\underline u\cdot\underline w=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos120^\circ=\frac12$ ולקבל $\underline u\cdot\underline v=24$. הזווית קהה, ולכן הקוסינוס שלילי.

נפח מנסרה = שטח הבסיס כפול הגובה. במנסרה ישרה הגובה הוא המקצוע הצדדי, כלומר $|\underline w|$.

שטח המקבילית $ABCD$ לפי שתי צלעות והזווית ביניהן ($\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}2$):

טעות נפוצה: לחשב את שטח המקבילית כ-$\frac12\cdot6\cdot8\cdot\sin120^\circ=12\sqrt3$ (זה שטח של משולש, חצי מהמקבילית), ולקבל $|\underline w|=6$.

שני וקטורים (שאינם וקטור האפס) מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0. מחשבים לפי חוק הפילוג:

מציבים $\underline u^2=|\underline u|^2=36$, $\underline w^2=9$, $\underline u\cdot\underline v=-24$ ו-$\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$:

המכפלה הסקלרית 0, ולכן $\overrightarrow{PM}\perp\overrightarrow{BM}$.

טעות נפוצה: לאפס גם את האיבר $\frac12\underline u\cdot\underline v$, כאילו כל המכפלות המעורבות הן 0, ולקבל $9+3=12\ne0$. רק המכפלות עם $\underline w$ מתאפסות.

אורך וקטור מחשבים דרך הריבוע הסקלרי שלו: $|\overrightarrow{PM}|^2=\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PM}$.

(המכפלה המעורבת של $-\frac12\underline u$ ו-$-\underline v$ חיובית: מינוס כפול מינוס.)

ולכן $|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{50}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הכפל ב-2 במכפלה המעורבת ולכתוב $-12$ במקום $-24$, ולקבל $|\overrightarrow{PM}|^2=62$.

לפי סעיף ד הזווית $PMB$ ישרה, ולכן המשולש $PMB$ ישר-זווית ב-$M$ והניצבים שלו הם $PM$ ו-$BM$.

אורך $BM$:

שטח משולש ישר-זווית הוא חצי מכפלת הניצבים ($\sqrt{50}=5\sqrt2$):

טעות נפוצה: לקחת את $PB$ כאחד הניצבים. הזווית הישרה היא ב-$M$, ולכן $PB$ ($\sqrt{68}$) הוא היתר; החישוב $\frac12\cdot\sqrt{68}\cdot3\sqrt2$ נותן $3\sqrt{34}\approx17.49$.

נסמן ב-$p$ את האחוז היומי של הכדור (כשבר עשרוני). אז מנת הכדור $1-p$ ומנת הסירה $1-3p$.

שני הבסיסים חיוביים, ולכן מוציאים שורש שמיני:

הכדור קטן בכ-7.37% ביום, והסירה בכ-$3\cdot7.37\%\approx22.11\%$ ביום. (מנות: $0.9263$ ו-$0.7789$.)

טעות נפוצה: לכתוב את מנת הסירה כ-$3(1-p)$ או כ-$(1-p)^3$. פי 3 חל על האחוז, ולכן המנה היא $1-3p$.

מחפשים את ה-$t$ הטבעי הקטן ביותר שבעבורו:

לפי סעיף א, $\frac{1-3p}{1-p}=2^{-\frac14}$:

ה-$t$ השלם הקטן ביותר הוא 15. בדיקה: ביום 14 הסירה כ-303 סמ"ק והכדור כ-856 (שליש: כ-285) - עוד לא; ביום 15 הסירה כ-236 והשליש של הכדור כ-264.

טעות נפוצה: לעגל את 14.34 ל-14. ביום 14 התנאי עוד לא מתקיים, והתשובה היא היום השלם הראשון שאחריו.

שלב 1 - הנפח בתחילת הניפוח (אחרי 21 ימים של דעיכה):

שלב 2 - ניפוח במנה $1.25$ עד 10,000 סמ"ק:

טעות נפוצה: לפתור $1.25^n=\frac{10{,}000}{2500}$, כאילו הניפוח מתחיל מנפח הכדור או מנקודת ההשוואה. הניפוח מתחיל מהנפח של הסירה אחרי 21 ימים.

ציר ה-$y$: $f(0)=1\cdot(1-4)^2=9$. הנקודה $(0,9)$.

ציר ה-$x$: $e^x>0$, ולכן $(e^x-4)^2=0$, $e^x=4$, $x=\ln4$. הנקודה $(\ln4,0)$.

טעות נפוצה: לחשב $f(0)=0\cdot(0-4)^2=0$ - להציב $e^0=0$. $e^0=1$.

טעות נפוצה: לפתוח $(e^x-4)^2=e^{2x}-16$ - לשכוח את האיבר האמצעי $-2\cdot4e^x$.

$e^x>0$, ולכן $3t^2-16t+16=0$ עם $t=e^x$:

$x=\ln4$ או $x=\ln\frac43$.

$f'(x)=e^x(3e^x-4)(e^x-4)$: חיובית משמאל ל-$\ln\frac43$, שלילית בין $\ln\frac43$ ל-$\ln4$, חיובית מימין ל-$\ln4$.

מקסימום ב-$x=\ln\frac43$: $f=\frac43\left(\frac43-4\right)^2=\frac43\cdot\frac{64}9=\frac{256}{27}\approx9.48$. מינימום ב-$(\ln4,0)$.

טעות נפוצה: לגזור $e^{2x}$ כ-$e^{2x}$ (בלי הכפל ב-2 מכלל השרשרת): מתקבל $f'(x)=e^x\left(3e^{2x}-8e^x+16\right)$, למשוואה $3t^2-8t+16=0$ אין פתרון ($64-192<0$), והמסקנה השגויה היא שאין לפונקציה נקודות קיצון.

$f(x)\ge0$ לכל $x$. כש-$x\to-\infty$: $f(x)\to0\cdot16=0$ - אסימפטוטה $y=0$, הגרף מעליה.

הגרף עולה, עובר ב-$(0,9)$, מגיע למקסימום ב-$x\approx0.29$ (מעט מעל 9), יורד עד $(\ln4,0)$, נוגע בציר ועולה לאינסוף.

טעות נפוצה: לשים את המקסימום משמאל לציר ה-$y$. $\ln\frac43>0$ כי $\frac43>1$, ולכן המקסימום מימין לציר.

$e^{3x}-8e^{2x}+16e^x=e^{3x}\ \Rightarrow\ -8e^{2x}+16e^x=0\ \Rightarrow\ 8e^x(2-e^x)=0$.

$e^x=2$, $x=\ln2$, ו-$g(\ln2)=e^{3\ln2}=2^3=8$.

טעות נפוצה: לחשב $g(\ln2)=e^{3\ln2}=3\cdot2=6$. $e^{3\ln2}=\left(e^{\ln2}\right)^3=8$.

$g(x)=e^{3x}$ חיובית ועולה, $g(0)=1$, ומתקרבת ל-0 כש-$x\to-\infty$.

$f-g=8e^x(2-e^x)$: חיובי עבור $x<\ln2$ ושלילי אחריו. לכן $g$ מתחת ל-$f$ עד $(\ln2,8)$, ואחר כך מעליה.

טעות נפוצה: לצייר את $g$ מעל $f$ כבר מ-$x=0$, כי "$e^{3x}$ גדלה מהר". ב-$x=0$: $g(0)=1<f(0)=9$.

בין $x=0$ ל-$x=\ln2$ הגרף של $f$ מעל הגרף של $g$:

טעות נפוצה: להציב רק את הגבול העליון ולשכוח לחסר את הערך ב-$x=0$ ($e^0=1$, לא 0), ולקבל 16.

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת. גוזרים לפי כלל המנה ($k$ קבוע, $(k-2\ln x)'=-\frac2x$):

מציבים $x=e$ ($\ln e=1$) ודורשים $f'(e)=0$:

בדיקה: עבור $k=1$ המכנה ב-$x=e$ הוא $1-2=-1\neq0$, כלומר $x=e$ בתחום.

טעות נפוצה: לגזור את $-2\ln x$ כ-$+\frac2x$, ואז המונה יוצא $2x(k-2\ln x)-2x$ ומתקבל $k=3$.

$f(x)=\frac{x^2}{1-2\ln x}$. תחום: $x>0$, ו-$1-2\ln x\neq0$, כלומר $x\neq\sqrt e$.

ב-$x=\sqrt e$ המכנה מתאפס והמונה $e\neq0$: אסימפטוטה $x=\sqrt e$. ליד $x=0$ $f(x)\to0$, ואין שם אסימפטוטה.

מסעיף א עם $k=1$:

הסימן נקבע לפי $1-\ln x$:

נקודת הקיצון: $\max\left(e,-e^2\right)$.

טעות נפוצה: להניח שזו נקודת מינימום כי "בפונקציה הזאת היה מינימום". כאן סימן המכנה הפוך, והנגזרת עוברת מחיובית לשלילית ב-$x=e$.

בקטע $0<x<\sqrt e$ המכנה $1-2\ln x$ חיובי, ולכן $f(x)>0$; מימין לאסימפטוטה המכנה שלילי ו-$f(x)<0$.

גרפים III ו-IV שליליים משמאל לאסימפטוטה - נפסלים.

מימין לאסימפטוטה יש מקסימום $(e,-e^2)$ מתחת לציר ה-$x$. בגרף I הענף הימני חיובי עם מינימום - נפסל.

גרף II: חיובי ועולה משמאל, ומימין מקסימום מתחת לציר - זה גרף הפונקציה.

טעות נפוצה: לבחור לפי הענף השמאלי בלבד; גם בגרף I הוא חיובי ועולה.

בודקים את טווח הערכים של כל ענף.

ענף שמאלי ($0<x<\sqrt e$): הפונקציה עולה, מערכים קרובים ל-0 (ליד $x=0$, אבל 0 עצמו לא מתקבל) עד $+\infty$ (ליד האסימפטוטה). כל ערך $m>0$ מתקבל בו פעם אחת בדיוק.

ענף ימני ($x>\sqrt e$): הפונקציה עולה מ-$-\infty$ עד המקסימום $-e^2$, ואחר כך יורדת ל-$-\infty$ (המונה גדל והמכנה שלילי וגדל בערכו המוחלט).

לכן בענף הימני: $m<-e^2$ מתקבל פעמיים, $m=-e^2$ פעם אחת (בנקודת המקסימום), ו-$m>-e^2$ לא מתקבל.

מסכמים: $m>0$ - נקודה אחת; $-e^2<m\leq0$ - אף נקודה; $m=-e^2$ - נקודה אחת; $m<-e^2$ - שתי נקודות.

נקודה אחת בדיוק: $m>0$ או $m=-e^2$.

טעות נפוצה: לכלול את $m=0$ בתשובה. הגרף מתקרב לראשית אבל $x=0$ לא בתחום, ולכן הערך 0 לא מתקבל.