מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 10 מעל רמת בגרות

האיברים במקומות האי-זוגיים $a_1,a_3,\dots,a_{25}$ הם 13 איברים, והם יוצרים סדרה חשבונית שהפרשה $2\cdot6=12$ ואיברה הראשון $a_1$.

נציב בנוסחת הסכום עם $n=13$:

טעות נפוצה: להציב בנוסחה את ההפרש 6 של הסדרה המקורית - בתת-הסדרה ההפרש הוא 12.

האיברים במקומות הזוגיים $a_2,a_4,\dots,a_{24}$ הם 12 איברים עם הפרש 12.

$a_2=-52+6=-46$, $a_{24}=-52+23\cdot6=86$.

דרך אחרת: סכום כל 25 האיברים הוא $\frac{25}{2}(2\cdot(-52)+24\cdot6)=500$, ומחסירים את 260.

טעות נפוצה: לספור 13 איברים גם במקומות הזוגיים - בסדרה בת 25 איברים יש 12 מקומות זוגיים בלבד.

האיבר הראשון: $c_1=-52+2=-50$.

ההפרש: $(a_{n+1}+b_{n+1})-(a_n+b_n)=6+d$.

טעות נפוצה: לכתוב $c_n=-50+n(6+d)$ - האיבר הראשון מתקבל ב-$n=1$, ולכן מכפילים ב-$n-1$.

האיבר הראשון שלילי. אם ההפרש $6+d\le0$, כל האיברים שליליים (25 איברים) - לא מתאים. לכן $6+d>0$, והסדרה עולה.

בסדרה עולה, "בדיוק 10 איברים שליליים" פירושו: $c_{10}$ עדיין שלילי, ו-$c_{11}$ כבר לא שלילי (ומשם הכול גדול ממנו).

שני התנאים יחד (ובהם גם $6+d>0$ מתקיים):

בדיקה: ב-$d=-1$ ההפרש 5, $c_{10}=-5$, $c_{11}=0$ - עשרה איברים שליליים ($c_{11}=0$ אינו שלילי).

טעות נפוצה: לכתוב $c_{11}>0$ במקום $c_{11}\ge0$ ולפסול את $d=-1$, או לפתור רק את $c_{10}<0$ ולשכוח שגם $c_{11}$ חייב לא להיות שלילי.

$\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AB}=-\underline{w}+\underline{u}$, ולכן $\overrightarrow{SE}=k\overrightarrow{SB}=k\underline{u}-k\underline{w}$.

$\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{w}+\underline{v}$, ולכן $\overrightarrow{SF}=k\overrightarrow{SC}=k\underline{v}-k\underline{w}$.

$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{SF}-\overrightarrow{SE}=(k\underline{v}-k\underline{w})-(k\underline{u}-k\underline{w})=-k\underline{u}+k\underline{v}$.

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\underline{u}+\underline{v}$.

מסעיף א: $\overrightarrow{EF}=-k\underline{u}+k\underline{v}=k(-\underline{u}+\underline{v})=k\cdot\overrightarrow{BC}$.

הווקטור $\overrightarrow{EF}$ הוא כפולה בסקלר של $\overrightarrow{BC}$, ולכן הם קולינאריים. הנקודה E אינה על הישר BC (היא על המקצוע SB ושונה מ-B), ולכן EF מקביל ל-BC.

$\overrightarrow{BC}=(7-(-1),\,6-2,\,9-1)=(8,4,8)$, ולכן $|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{64+16+64}=\sqrt{144}=12$.

מסעיף ב: $|\overrightarrow{EF}|=k\cdot|\overrightarrow{BC}|$ (כי $k>0$), כלומר $3=12k$, ומכאן $k=\frac14$.

$\overrightarrow{SB}=(-1-3,\,2-6,\,1-13)=(-4,-4,-12)$, ולכן $\overrightarrow{SE}=\frac14\overrightarrow{SB}=(-1,-1,-3)$ ו-$E=(3-1,\,6-1,\,13-3)=(2,5,10)$.

$\overrightarrow{SC}=(7-3,\,6-6,\,9-13)=(4,0,-4)$, ולכן $\overrightarrow{SF}=\frac14\overrightarrow{SC}=(1,0,-1)$ ו-$F=(3+1,\,6+0,\,13-1)=(4,6,12)$.

בדיקה: $\overrightarrow{EF}=(2,1,2)=\frac14(8,4,8)$, ואורכו 3.

$\overrightarrow{AE}=(2-3,\,5+1,\,10-3)=(-1,6,7)$, $\overrightarrow{AF}=(4-3,\,6+1,\,12-3)=(1,7,9)$.

$\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AF}=-1+42+63=104$, $|\overrightarrow{AE}|^2=1+36+49=86$, $|\overrightarrow{AF}|^2=1+49+81=131$.

$\cos\angle EAF=\frac{104}{\sqrt{86}\cdot\sqrt{131}}$, ולכן $\sin\angle EAF=\sqrt{1-\frac{104^2}{86\cdot131}}=\sqrt{\frac{11266-10816}{11266}}=\sqrt{\frac{450}{11266}}$.

$S_{\triangle EAF}=\frac12|\overrightarrow{AE}|\cdot|\overrightarrow{AF}|\cdot\sin\angle EAF=\frac12\sqrt{11266}\cdot\sqrt{\frac{450}{11266}}=\frac{\sqrt{450}}{2}\approx10.61$.

בתהליך מעריכי $f(t)=f(0)\cdot q^t$. בונים משוואה מהמדידה ההתחלתית ומהמדידה אחרי 6 חודשים (באלפים):

מספר המשתמשים עלה בכל חודש פי $1.165$ בערך.

טעות נפוצה: לחלק את היחס ב-6 ($\frac{2.5}6\approx0.42$) במקום להוציא שורש שישי.

השלב השני מתחיל ב-300 אלף. אחרי 4 חודשים נשארו $30\%$ מהם:

בכל חודש נשארים $74.01\%$ מהמשתמשים, ולכן הירידה היא $(1-0.7401)\cdot100\%\approx25.99\%$.

טעות נפוצה: להבין "30% ממספרם" כירידה של 30%, כלומר לכתוב $q^4=0.7$ ולקבל ירידה של כ-$8.5\%$ בחודש.

45 אלף נמצא בשלב הירידה. נסמן ב-$t$ את מספר החודשים מהשקת המתחרה. לפי סעיף ב, $q^t=0.3^{\frac t4}$:

מוסיפים את 6 החודשים מיום ההשקה ועד השקת המתחרה:

טעות נפוצה: לענות $6.30$ - זה הזמן מהשקת המתחרה בלבד, והשאלה מודדת מיום ההשקה של האפליקציה.

בלי המתחרה, התהליך הראשון נמשך 12.30 חודשים מיום ההשקה, עם המנה מסעיף א.

משתמשים במנה המדויקת $q^6=2.5$, כלומר $q^t=2.5^{\frac t6}$:

היו בערך 786 אלף משתמשים.

טעות נפוצה: להציב את המנה המעוגלת $1.16$ בחזקה 12.30 ולקבל כ-745 אלף. בחזקה גבוהה עיגול קטן במנה גורם לסטייה גדולה.

גרף II עולה, יורד עד נקודה שבה הוא נוגע בציר ה-$x$, ואז עולה.

גרף I חותך את ציר ה-$x$ בדיוק מתחת לשתי נקודות הקיצון של גרף II, חיובי היכן שגרף II עולה ושלילי בקטע שבו גרף II יורד.

גרף II אינו שלילי בשום מקום, ולכן לא ייתכן שהוא הנגזרת של פונקציה שיש לה קטע ירידה.

לכן גרף I הוא $f'(x)$.

טעות נפוצה: להתאים בין נקודות הקיצון של שני הגרפים. נקודת קיצון של $f$ מתאימה לאפס של $f'$.

גוזרים לפי כלל המכפלה ($a$ קבוע):

$f'(x)=0$: $x=a$ או $x=a-2$ (תמיד $a-2<a$).

הסימן נקבע לפי $(x-a)(x-a+2)$: חיובי משמאל ל-$a-2$, שלילי בין $a-2$ ל-$a$, חיובי מימין ל-$a$. לכן $x=a-2$ מקסימום ו-$x=a$ מינימום.

נקודות הקיצון: $\max\left(a-2,\ 4e^{a-5}\right)$, $\min(a,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=a-2$ רק בגורם $(x-a)^2$ ולשכוח את המעריך: $e^{x-3}$ ב-$x=a-2$ הוא $e^{a-5}$, לא $e^{-3}$.

הנגזרת מתאפסת ב-$x=a-2$ וב-$x=a$. משמאל היא רק מתקרבת לציר ומימין היא עולה, ולכן השטח הסגור הוא בין שתי הנקודות, ושם $f'(x)<0$.

הקדומה של $f'(x)$ היא $f(x)$:

השטח: $S=4e^{a-5}$.

טעות נפוצה: לענות $-4e^{a-5}$: האינטגרל שלילי כי בקטע $f'(x)<0$, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

$f(x)=(x-a)^2e^{x-3}\ge0$ לכל $x$. כמו שרואים בגרף II, כש-$x$ שואף למינוס אינסוף הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה, וכש-$x$ גדל הוא עולה בלי הגבלה.

לפי סעיף ב יש שלושה קטעים:

משמאל ל-$x=a-2$ הפונקציה עולה מערכים קרובים ל-0 עד $4e^{a-5}$; בין $a-2$ ל-$a$ היא יורדת מ-$4e^{a-5}$ עד 0; מימין ל-$a$ היא עולה מ-0 בלי הגבלה.

הישר $y=4$ חותך את הענף הימני תמיד, פעם אחת. את שני הקטעים האחרים הוא חותך רק אם הוא נמוך מהמקסימום:

$a>5$: פתרון אחד בכל קטע - שלושה פתרונות.

$a=5$: המקסימום בגובה 4 בדיוק. פתרון אחד בנקודת המקסימום ($x=3$) ועוד אחד מימין ל-$a$ - שני פתרונות.

$a<5$: הישר מעל המקסימום, ורק הענף הימני מגיע לגובה 4 - פתרון אחד.

טעות נפוצה: לשכוח את הענף הימני (מימין למינימום) ולענות: $a>5$ - שני פתרונות, $a=5$ - פתרון אחד, $a<5$ - אין פתרון.

$g(x)$ הוא שיקוף של $f'(x)$ ביחס לציר ה-$x$. הגרפים נחתכים היכן ש-$f'(x)=0$, כלומר ב-$x=a-2$ וב-$x=a$.

השטח בין הגרף לשיקופו כפול מהשטח בין הגרף לציר ה-$x$ (סעיף ג):

$a=6>5$, ולכן לפי סעיף ד יש למשוואה $f(x)=4$ שלושה פתרונות. בדיקה: המקסימום הוא $4e^{1}=4e\approx10.9$, גבוה מ-4.

טעות נפוצה: להשוות את השטח מסעיף ג ל-$8e$ ($4e^{a-5}=8e$, $a=6+\ln2$) - זה השטח בין $f'$ לציר בלבד, בלי השיקוף.

בנקודת ההשקה $f'(x)=\frac34$:

$x=4$ או $x=\frac23$. התחום הוא $x>2$, ולכן $x=\frac23$ נפסל ו-$x=4$.

מהישר: $y=\frac34\cdot4-1=2$. נקודת ההשקה: $(4,\ 2)$.

טעות נפוצה: לא לבדוק את התחום ולהשאיר גם את $x=\frac23$, כלומר לענות שיש נקודת השקה נוספת $\left(\frac23,\ -\frac12\right)$. הפונקציה אינה מוגדרת שם.

בתחום $x>2$ שני הביטויים $x$ ו-$x-2$ חיוביים:

הגרף עובר ב-$(4,\ 2)$:

טעות נפוצה: לחבר את הארגומנטים במקום לכפול, $\ln4+\ln2=\ln6$, ולקבל $C=2-\ln6$, כלומר $f(x)=\ln x+\ln(x-2)+2-\ln6$.

כאשר $x\to2^{+}$, $x-2\to0^{+}$ ולכן $\ln(x-2)\to-\infty$, בעוד ש-$\ln x\to\ln2$. לכן $f(x)\to-\infty$.

האסימפטוטה: $x=2$.

טעות נפוצה: לענות שיש שתי אסימפטוטות, $x=0$ (בגלל $\ln x$) ו-$x=2$. התחום הוא $x>2$, ולכן הגרף כלל אינו מגיע לסביבת $x=0$.

בתחום $x>2$ שני המחוברים $\frac1x$ ו-$\frac1{x-2}$ חיוביים, ולכן $f'(x)>0$.

הפונקציה עולה בכל התחום, ואין לה תחום ירידה.

טעות נפוצה: לקבוע את המונוטוניות לפי הסימן של $f$ ולא של $f'$: לענות שהפונקציה יורדת ב-$2<x<2.44$ (שם $f<0$) ועולה ב-$x>2.44$.

רק $x\approx2.44$ בתחום $x>2$ (הפתרון השני שלילי). נקודת החיתוך: $(2.44,\ 0)$.

טעות נפוצה: להעביר אגף בלי להפוך סימן, $\ln\frac{x(x-2)}{8}=2$, ולקבל $x^2-2x-8e^2=0$, כלומר $x\approx8.75$.

מרכזים: תחום $x>2$; אסימפטוטה $x=2$ שהגרף יורד לאורכה ל-$-\infty$; עולה בכל התחום; חיתוך עם ציר ה-$x$ ב-$(2.44,\ 0)$; נקודת ההשקה $(4,\ 2)$.

הגרף כולו מימין לישר $x=2$ ואינו חותך את ציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לסרטט ענף נוסף ליד $x=0$ (בגלל $\ln x$). הפונקציה מוגדרת רק עבור $x>2$.

$g(x)=-3f(x)$ מוגדרת באותו תחום, וכאשר $x\to2^{+}$, $g(x)\to+\infty$.

האסימפטוטה: $x=2$. כפל בקבוע משנה רק את ערכי ה-$y$.

טעות נפוצה: לחשוב שהסימן השלילי משקף את הגרף ביחס לציר ה-$y$, ולענות $x=-2$. $-3f(x)$ משקף ביחס לציר ה-$x$.

$g'(x)=-3f'(x)<0$ לכל $x>2$, ולכן $g$ יורדת בכל התחום ואין לה תחום עלייה.

טעות נפוצה: לענות ש-$g$ עולה כמו $f$, כי "כפל במספר רק מותח". מספר שלילי גם משקף, ולכן עלייה הופכת לירידה.