מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך - שאלון 472

נחשב את $\overrightarrow{AN}$ ואת $\overrightarrow{AM}$ (שניהם יוצאים מ-$A$) ונחסר: $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}$.

$M$ היא אמצע $AD$, ולכן $\overrightarrow{AM}=\frac12\underline w$.

כל וקטור בין שתי נקודות הוא הפרש של וקטורים מ-$A$: $\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\underline u-\underline w$, $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AD}=\underline v-\underline w$.

כדי להגיע מ-$A$ ל-$N$ הולכים מ-$A$ ל-$D$ ומשם ל-$N$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{DB}=\underline w-\underline u$ ו-$\overrightarrow{DC}=\underline w-\underline v$ (אלה $\overrightarrow{BD}$ ו-$\overrightarrow{CD}$). אז $\overrightarrow{DN}=-\frac14\underline u-\frac14\underline v+\frac12\underline w$, ומקבלים $\overrightarrow{MN}=-\frac14\underline u-\frac14\underline v+\underline w$.

לפי א(1), $\overrightarrow{MN}=\frac14\underline u+\frac14\underline v$: אין בו רכיב של $\underline w$.

$\underline u=\overrightarrow{AB}$ ו-$\underline v=\overrightarrow{AC}$ הם שני וקטורים לא קולינאריים שנמצאים במישור $ABC$, ולכן כל צירוף לינארי שלהם מקביל למישור $ABC$.

הנקודה $M$ היא אמצע $AD$, ו-$D$ אינה במישור $ABC$ (זו פירמידה), ולכן גם $M$ אינה במישור. לכן הישר $MN$ מקביל למישור $ABC$ ואינו מוכל בו.

טעות נפוצה: להסיק מכך שאין ב-$\overrightarrow{MN}$ רכיב של $\underline w$ ש-$MN$ מוכל במישור $ABC$. הווקטור קובע רק כיוון; $M$ נמצאת באמצע הגובה של הפירמידה, מחוץ למישור, ולכן $MN$ מקביל למישור ולא מוכל בו.

אילו $MN\parallel AB$, היה מספר $k$ כך ש-$\overrightarrow{MN}=k\underline u$:

כלומר $\underline v$ היה כפולה של $\underline u$ - אבל $\underline u$ ו-$\underline v$ אינם קולינאריים ($A$, $B$, $C$ קודקודים של משולש). סתירה.

לכן $MN$ אינו מקביל ל-$AB$. (הוא מקביל לכיוון $\underline u+\underline v$, כלומר לתיכון מ-$A$ במשולש $ABC$.)

טעות נפוצה: לענות "כן, כי $MN$ מקביל למישור $ABC$ ו-$AB$ נמצא במישור". ישר שמקביל למישור אינו מקביל לכל ישר שבמישור - רק לכיוון אחד בו.

$E$ היא אמצע $BC$. הולכים מ-$A$ ל-$B$ ומשם חצי מ-$\overrightarrow{BC}=\underline v-\underline u$:

לפי א(1), $\overrightarrow{MN}=\frac14\underline u+\frac14\underline v$, ולכן

וקטור אחד הוא כפולה בסקלר של השני, ולכן $AE\parallel MN$ (הם לא על אותו ישר, כי $M$ אינה במישור $ABC$).

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{BC}=\underline v$ ולקבל $\overrightarrow{AE}=\underline u+\frac12\underline v$, שאינו כפולה של $\overrightarrow{MN}$, ולהסיק בטעות ש-$AE$ ו-$MN$ אינם מקבילים.

לפי ב(1), $\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{MN}$, ולכן גם האורכים מקיימים $AE=2\cdot MN$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולענות $\frac{AE}{MN}=\frac12$ מתוך $\overrightarrow{MN}=\frac12\overrightarrow{AE}$. במונה נמצא $AE$, הארוך מבין השניים.

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\underline v-\underline u$.

פותחים את המכפלה הסקלרית (כפל מקוצר: $(\underline v+\underline u)\cdot(\underline v-\underline u)=\underline v^2-\underline u^2$):

שני הווקטורים אינם וקטור האפס, והמכפלה הסקלרית שלהם 0, ולכן $\overrightarrow{BC}\perp\overrightarrow{MN}$.

שימו לב: לא צריך לדעת את הזווית $BAC$ - האיברים $\underline u\cdot\underline v$ ו-$-\underline u\cdot\underline v$ מתבטלים.

טעות נפוצה: לעצור אחרי הפתיחה $\frac14\left(\underline u\cdot\underline v-\underline u^2+\underline v^2-\underline v\cdot\underline u\right)$ ולטעון שחסר נתון על הזווית $BAC$, ולכן "אי אפשר לדעת אם הם מאונכים". המכפלה הסקלרית חילופית, ושני האיברים המעורבים מבטלים זה את זה.

במקבילית $ABCD$ הצלעות הנגדיות שוות ומקבילות, ולכן $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (בכיוון ההפוך) ולקבל $B=A+(D-C)=(-2,3,1)$. בשמות $ABCD$ הווקטור $\overrightarrow{AB}$ שווה ל-$\overrightarrow{DC}$, לא ל-$\overrightarrow{CD}$.

מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן. נבדוק את הזווית $A$:

לכן $AB\perp AD$, ו-$ABCD$ מלבן.

טעות נפוצה: לבדוק אם האלכסונים מאונכים: $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD}=(3,-2,-1)\cdot(-1,2,3)=-10\neq0$, ולהסיק בטעות שהבסיס אינו מלבן. אלכסונים מאונכים מאפיינים מעוין, לא מלבן.

תיבה היא מנסרה ישרה שבסיסה מלבן. הבסיס מלבן (ב(1)), ונשאר להראות שהמקצוע הצדדי מאונך למישור הבסיס - כלומר מאונך לשני ישרים נחתכים בבסיס.

$\overrightarrow{AB}$ ו-$\overrightarrow{AD}$ אינם קולינאריים ונמצאים במישור הבסיס, ולכן $BB'$ מאונך למישור הבסיס. המנסרה ישרה ובסיסה מלבן - היא תיבה.

טעות נפוצה: לבדוק את $\vec{AB'}$ במקום את המקצוע $\vec{BB'}$: $\vec{AB'}\cdot\overrightarrow{AB}=(8,10,-8)\cdot(2,-2,-2)=12\neq0$, ולהסיק בטעות שהמנסרה אינה תיבה. $AB'$ הוא אלכסון של פאה, לא מקצוע צדדי.

נפח תיבה: אורך כפול רוחב כפול גובה.

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כמו שטח משולש, $\frac12\cdot2\sqrt3\cdot\sqrt2$, ולקבל $V=36$. הבסיס מלבן, ושטחו מכפלת הצלעות.

שני הווקטורים יוצאים מ-$D$:

בדיקה: במשולש $DBB'$ הזווית $B$ ישרה, ו-$\tan\alpha=\frac{BB'}{DB}=\frac{\sqrt{216}}{\sqrt{14}}\approx3.93$, $\alpha\approx75.72^\circ$.

טעות נפוצה: לקחת את $\overrightarrow{BD}=(-1,2,3)$ במקום $\overrightarrow{DB}$. המכפלה יוצאת $-14$ ומתקבלת זווית $\approx104.28^\circ$ - הזווית בין וקטורים שאינם יוצאים מאותה נקודה.

נסמן ב-$M_0$ את הכמות ההתחלתית וב-$q$ את מנת הדעיכה היומית. אחרי $t$ ימים הכמות היא $M_0\cdot q^t$.

אחרי 10 ימים נותרו 80%:

בכל יום נשארים כ-$97.79\%$ מהכמות, כלומר הכמות קטנה בכ-$100\%-97.79\%\approx2.21\%$.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה הכוללת במספר הימים, $\frac{20\%}{10}=2\%$. בתהליך מעריכי האחוז נלקח בכל יום מהכמות שנשארה, ולכן מוצאים את $q$ משורש עשירי.

ירידה של 40% פירושה שנשארו 60% מהכמות ההתחלתית:

מוציאים $\ln$ משני האגפים:

הכמות תרד ב-40% כ-22.89 ימים מתחילת המחקר (במהלך היום ה-23).

טעות נפוצה: לפתור $q^t=0.4$ - כאילו נשארו 40% - ולקבל $t\approx41.06$ ימים. "תרד ב-40%" פירושו שנשארו 60%.

40 ימים הם ארבע תקופות של 10 ימים, ובכל תקופה נשארים 80%: $q^{40}=\left(q^{10}\right)^4=0.8^4=0.4096$.

בתחילת המחקר היו כ-146.48 גרם.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $60\cdot0.8^4\approx24.58$ גרם - זו הכמות שתישאר 40 ימים אחרי היום שבו היו 60 גרם, לא הכמות ההתחלתית.

הפונקציה מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס. מוציאים גורם משותף:

$e^x>0$ לכל $x$ ולכן אינו מתאפס. נשאר $e^x=10$, כלומר $x=\ln10$.

תחום ההגדרה: $x\neq\ln10$.

טעות נפוצה: "לפתור" גם $e^x=0$ ולקבל $x=0$, ואז לפסול גם את $x=0$. $e^x$ חיובי תמיד ואינו מתאפס, ו-$f(0)$ מוגדרת.

ב-$x=\ln10$ המכנה מתאפס והמונה $a\neq0$, ולכן הפונקציה שואפת לאינסוף (בערך מוחלט) כש-$x$ מתקרב ל-$\ln10$.

האסימפטוטה האנכית: $x=\ln10\approx2.30$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=10$ - הערך של $e^x$ ולא של $x$.

מציבים $x=0$: $e^0=1$, ולכן

טעות נפוצה: להציב $e^{2\cdot0}=2$ ולקבל $\frac a{2-10}=-\frac a8=-\frac19$, כלומר $a=\frac89$. $e^{2\cdot0}=e^0=1$.

$f(x)=\frac1{e^{2x}-10e^x}$. גוזרים מנה שהמונה שלה קבוע (נגזרת המכנה: $2e^{2x}-10e^x$):

$f'(x)=0$: $e^x>0$, ולכן $e^x=5$, $x=\ln5$ (בתחום, כי $\ln5<\ln10$).

סימן $f'$: המכנה ריבוע (חיובי), $-2e^x<0$, ולכן הסימן הפוך לסימן $e^x-5$:

נקודת הקיצון: $\max\left(\ln5,-\frac1{25}\right)$.

טעות נפוצה: לשכוח את סימן המינוס בנגזרת $\left(\frac1{g}\right)'=-\frac{g'}{g^2}$. אז הסימנים בטבלה מתהפכים, ומסיקים בטעות שזו נקודת מינימום.

מטבלת הסימנים של ג(1):

עלייה: $x<\ln5$.

ירידה: $\ln5<x<\ln10$ וגם $x>\ln10$ (שני תחומים נפרדים - $x=\ln10$ אינו בתחום ההגדרה).

טעות נפוצה: לכתוב "ירידה: $x>\ln5$" כתחום אחד. התחום עובר דרך האסימפטוטה $x=\ln10$, שבה הפונקציה אינה מוגדרת.

חיתוך עם ציר ה-$x$ דורש $f(x)=0$. שבר מתאפס רק כשהמונה מתאפס, והמונה כאן הוא $1$.

לכן $f(x)\neq0$ לכל $x$, ואין נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: להשוות את המכנה לאפס ולענות שיש חיתוך ב-$x=\ln10$. שם הפונקציה אינה מוגדרת - זו אסימפטוטה, לא נקודת חיתוך.

מסכמים את החקירה:

•משמאל ל-$x=\ln10$ המכנה $e^x(e^x-10)$ שלילי, ולכן $f(x)<0$. כש-$x\to-\infty$ המכנה שואף ל-0 מצד שלילי ו-$f(x)\to-\infty$; הגרף עולה עד המקסימום $\left(\ln5,-\frac1{25}\right)$, ויורד ל-$-\infty$ ליד $x=\ln10$.

•מימין ל-$x=\ln10$ המכנה חיובי ו-$f(x)>0$: הגרף יורד מ-$+\infty$ ומתקרב לציר ה-$x$ ($y=0$) כש-$x\to\infty$.

•חיתוך עם ציר ה-$y$: $\left(0,-\frac19\right)$; אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף הימני מתחת לציר ה-$x$, כהמשך של הענף השמאלי. משני צידי $x=\ln10$ המכנה מחליף סימן, ולכן גם $f(x)$.

$f(x)<0$ כש-$x<\ln10$ (המכנה שלילי שם).

$f'(x)<0$ כש-$\ln5<x<\ln10$ או $x>\ln10$ (ג(2)).

החיתוך של שני התנאים: $\ln5<x<\ln10$.

טעות נפוצה: לקחת רק את תחום הירידה, $x>\ln5$, $x\neq\ln10$. מימין לאסימפטוטה הפונקציה יורדת אבל חיובית.

$\ln$ מוגדר רק לביטוי חיובי:

הפרבולה $y=x^2-7x+6$ פתוחה כלפי מעלה ושלילית בין השורשים: $1<x<6$.

טעות נפוצה: אחרי הכפל ב-$(-1)$ לשכוח להפוך את סימן אי-השוויון, ולקבל $x<1$ או $x>6$ - שם הביטוי שבתוך ה-$\ln$ שלילי.

בקצות התחום הביטוי $-x^2+7x-6$ שואף ל-0 מצד חיובי, ולכן $f(x)=\ln(\dots)\to-\infty$.

האסימפטוטות האנכיות: $x=1$ ו-$x=6$.

טעות נפוצה: לחפש את המקומות שבהם $-x^2+7x-6=1$ (כלומר $f=0$), $x=\frac{7\pm\sqrt{21}}2$ - אלה נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$, לא אסימפטוטות.

גרף $I$ עולה עד נקודת מקסימום ואחר כך יורד. גרף $II$ חיובי בקטע שבו $I$ עולה, חותך את ציר ה-$x$ בדיוק מתחת למקסימום של $I$, ושלילי בקטע שבו $I$ יורד - כמו שצריכה להתנהג הנגזרת של $I$.

הכיוון ההפוך לא מתאים: גרף $II$ יורד בכל התחום, ולכן אילו הוא היה $f$, הנגזרת הייתה שלילית בכל מקום - אבל גרף $I$ חיובי בחלק מהתחום.

אפשר גם לגזור: $f'(x)=\frac{-2x+7}{-x^2+7x-6}$ מתאפסת רק ב-$x=3.5$ ומחליפה שם סימן מ-$+$ ל-$-$.

לכן גרף $I$ הוא $f(x)$ וגרף $II$ הוא $f'(x)$.

טעות נפוצה: לבחור את גרף $II$ כ-$f(x)$ "כי הוא נראה כמו גרף של $\ln$" (שואף ל-$\pm\infty$ בקצוות). את ההתאמה קובעים לפי הקשר בין סימן הנגזרת לעלייה וירידה, לא לפי הצורה.

גרף $II$ הוא $f'(x)$. לפי כלל השרשרת, $\left(\ln g\right)'=\frac{g'}{g}$:

$f'(x)=0$ כשהמונה מתאפס: $-2x+7=0$, $x=3.5$ (בתחום, והמכנה שם $6.25\neq0$).

נקודת החיתוך: $(3.5,0)$.

טעות נפוצה: לגזור בלי נגזרת הפנים, $f'(x)=\frac1{-x^2+7x-6}$. ביטוי זה חיובי בכל התחום ואינו מתאפס, ומסיקים בטעות שלגרף $II$ אין נקודת חיתוך עם ציר ה-$x$.

$f$ יורדת היכן ש-$f'(x)<0$, כלומר היכן שגרף $II$ מתחת לציר ה-$x$: מימין ל-$x=3.5$ ועד סוף התחום.

(המכנה $-x^2+7x-6$ חיובי בכל התחום, ולכן סימן $f'$ הוא סימן $-2x+7$, שלילי כש-$x>3.5$.)

תחום הירידה: $3.5<x<6$.

טעות נפוצה: לבחור את הקטע שבו גרף $II$ מעל ציר ה-$x$ ולענות $1<x<3.5$ - זה תחום העלייה של $f$. $f$ יורדת היכן ש-$f'(x)<0$, כלומר היכן שגרף $II$ מתחת לציר.