מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 4 מעל רמת בגרות

שלב הבסיס, $n=1$: אגף שמאל $1\cdot3=3$; אגף ימין $\frac{1\cdot(4+6-1)}{3}=3$. נכון.

שלב הצעד: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $1\cdot3+\ldots+(2k-1)(2k+1)=\frac{k(4k^2+6k-1)}{3}$.

האיבר הבא (עבור $n=k+1$) הוא $(2(k+1)-1)(2(k+1)+1)=(2k+1)(2k+3)=4k^2+8k+3$. לפי ההנחה:

אגף ימין עבור $n=k+1$: $\frac{(k+1)\left(4(k+1)^2+6(k+1)-1\right)}{3}=\frac{(k+1)(4k^2+14k+9)}{3}=\frac{4k^3+18k^2+23k+9}{3}$.

שני הביטויים שווים, ולפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף בצעד שוב את האיבר $(2k-1)(2k+1)$ (האיבר האחרון של $k$) במקום $(2k+1)(2k+3)$ - ואז אגפים לא מתלכדים.

האיבר האחרון $39\cdot41=(2n-1)(2n+1)$ עבור $n=20$. לפי א(1):

בסכום המבוקש חסרים שני האיברים הראשונים: $1\cdot3+3\cdot5=18$.

טעות נפוצה: להחסיר רק את $1\cdot3$ ולקבל $11{,}457$ - גם $3\cdot5$ אינו בסכום.

$\angle DAO=\angle DAC$ ו-$\angle CBO=\angle CBD$. שתי הזוויות נשענות על הקטע DC, והנקודות A ו-B נמצאות באותו צד של הישר DC.

לפי הנתון הן שוות, ולכן הנקודות A, B, C, D נמצאות על מעגל אחד: המרובע ABCD בר-חסימה.

במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות: $\angle ADC+\angle ABC=180^\circ$.

$AB\parallel CD$, ולכן $\angle ABC+\angle BCD=180^\circ$ (זוויות חד-צדדיות).

מכאן $\angle ADC=\angle BCD$: זוויות הבסיס שוות, והטרפז שווה שוקיים.

טעות נפוצה: להסיק מהנתון ש-$OA=OB$ ("מול זוויות שוות") - $\angle DAO$ ו-$\angle CBO$ אינן זוויות של המשולש AOB.

הטרפז שווה שוקיים (ב(1)), ולכן $\triangle ABD\cong\triangle BAC$ (צ.ז.צ: AB משותפת, $AD=BC$, $\angle DAB=\angle CBA$). מכאן $\angle ABD=\angle BAC$, כלומר $OA=OB$.

המשולש AOB ישר זווית ושווה שוקיים: $AO=\frac{AB}{\sqrt2}=\frac{8\sqrt2}{\sqrt2}=8$, ו-$OC=AC-AO=12$.

גם המשולש DOC ישר זווית ושווה שוקיים ($OD=BD-OB=AC-OA=12$), ולכן $DC=12\sqrt2$.

במשולש CAB: $OF\parallel AB$, ולכן $\frac{OF}{AB}=\frac{CO}{CA}=\frac{12}{20}$, ו-$OF=\frac35\cdot8\sqrt2=\frac{24\sqrt2}{5}$.

במשולש ACD: $EO\parallel DC$, ולכן $\frac{EO}{DC}=\frac{AO}{AC}=\frac{8}{20}$, ו-$EO=\frac25\cdot12\sqrt2=\frac{24\sqrt2}{5}$.

טעות נפוצה: לחשב את OF עם היחס $\frac{AO}{AC}=\frac8{20}$ (מהקדקוד הלא נכון), לקבל $OF=\frac{16\sqrt2}{5}$, ולהכפיל: $EF=\frac{32\sqrt2}{5}\approx9.05$.

נקודות מיוחדות:

גרף III: יורד, עם נקודת פיתול שבה המשיק אופקי (בצד השלילי), ונקודת מינימום אחת (בצד החיובי).

גרף I: נוגע בציר ה-$x$ מלמטה בצד השלילי (מקסימום שערכו 0), יש לו מינימום, והוא חותך את ציר ה-$x$ מלמטה למעלה בצד החיובי.

גרף II: פרבולה שחותכת את ציר ה-$x$ פעמיים, בשני צדי המינימום שלה.

גרף I מתאפס בדיוק בנקודות שבהן לגרף III משיק אופקי: נגיעה בלי החלפת סימן (I שלילי משני הצדדים - III יורד משני צדי הפיתול האופקי), וחיתוך משלילי לחיובי (שם ל-III מינימום). לכן III היא $f$ ו-I היא $f'$.

גרף II מתאפס ומחליף סימן בשתי נקודות הקיצון של I (המקסימום שעל הציר והמינימום), חיובי כש-I עולה ושלילי כש-I יורד. לכן II היא $f''$.

טעות נפוצה: לזהות את הפרבולה (II) כגרף של $f$ כי "היא הפשוטה ביותר" - פרבולה שחותכת את הציר פעמיים מתאימה לשתי נקודות קיצון של הפונקציה שהיא הנגזרת שלה, כלומר של גרף I.

נקודות הפיתול של $f$ הן נקודות הקיצון של $f'$ - שם $f''$ מחליפה סימן.

לגרף I ($f'$) שתי נקודות קיצון: המקסימום שנוגע בציר ה-$x$ והמינימום. בהתאם, גרף II ($f''$) חותך את ציר ה-$x$ פעמיים ומחליף שם סימן.

לכן ל-$f$ יש 2 נקודות פיתול: הפיתול האופקי, ועוד נקודת פיתול בין הפיתול האופקי למינימום.

טעות נפוצה: לספור רק את נקודת הפיתול האופקית שרואים בגרף III ולענות 1 - נקודת הפיתול השנייה אינה אופקית, ומגלים אותה לפי המינימום של $f'$ (גרף I).

בתחום $0\le x\le a$: $f$ יורדת אל המינימום, ולכן $f'\le0$ (גרף I שלילי עד נקודת החיתוך $x=a$).

$f'$ עולה בתחום (מהמינימום שלה, שמשמאל לציר ה-$y$, ועד $x=a$ ואחריו), ולכן $f''>0$.

לכן גרף $f''$ מעל גרף $f'$:

$f'(a)=0$ (מינימום), $f(a)=-3$, $f'(0)=-8$ (גרף I), $f(0)=1$ (גרף III):

טעות נפוצה: להציב $-3$ גם במקום $f'(a)$ (לקחת את שיעור ה-$y$ של נקודת המינימום כערך הנגזרת), ולקבל $(-3+3)-(-8-1)=9$ - בנקודת קיצון $f'(a)=0$.

המכנה הוא ריבוע, ובתחום ההגדרה הוא חיובי. לכן הסימן של $f$ הוא הסימן של המונה $3(x^2-1)=3(x-1)(x+1)$.

$x^2-1>0$ כאשר $x<-1$ או $x>1$. מוציאים את $x=-2$, שאינו בתחום:

תחומי החיוביות: $x<-2$, $-2<x<-1$, $x>1$.

טעות נפוצה: לענות $x<-1$, $x>1$ בלי להוציא את $x=-2$, שבה הפונקציה לא מוגדרת.

לפי ד(1): הפונקציה חיובית משמאל ל-$x=-2$; בין $-2$ ל-$1$ היא חיובית עד $x=-1$, מתאפסת שם ושלילית אחריו; ומימין ל-$x=1$ היא חיובית.

גרף III נפסל: הענף השמאלי שלו שלילי.

גרף IV נפסל: הענף האמצעי שלו שלילי משמאל לנקודת החיתוך וחיובי מימינה.

גרף I נפסל: הענף הימני שלו שלילי.

גרף II: ענף שמאלי חיובי, ענף אמצעי יורד מ-$+\infty$ דרך $x=-1$ אל $-\infty$, וענף ימני חיובי - מתאים.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I מתוך מחשבה שליד $x=1$ המכנה בחזקה זוגית ולכן הסימן לא משתנה - גם המונה מתאפס ב-$x=1$, והסימן כן מתחלף שם.

בתחום $2\le x\le3$ הפונקציה חיובית, ולכן השטח הוא האינטגרל.

המונה $3x^2-3$ הוא הנגזרת של הביטוי הפנימי $x^3-3x+2$, ולכן $f=\frac{u'}{u^2}$ עם $u=x^3-3x+2$, ופונקציה קדומה שלה $-\frac1u$:

טעות נפוצה: לכתוב קדומה $-\frac{1}{(x^3-3x+2)^2}$ (בלי להוריד את החזקה), ולקבל $-\frac1{400}+\frac1{16}=\frac{3}{50}$.

בסדרה $2m$ איברים: $m$ במקומות האי-זוגיים ו-$m$ במקומות הזוגיים. כל איבר זוגי הוא האיבר שלפניו כפול $q$: $a_2=a_1q$, $a_4=a_3q$, ..., $a_{2m}=a_{2m-1}q$. לכן

סכום האי-זוגיים הוא $3\left(1+q^2+q^4+\ldots\right)>0$, ולכן אפשר לחלק בו. לפי הנתון היחס הוא $-2$, ולכן $q=-2$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב "סכום האי-זוגיים = $q$ כפול סכום הזוגיים", ולקבל $q=-\frac12$.

המנה אינה תלויה ב-$n$, ולכן B הנדסית. שימו לב: המנה שלילית לכל $k\ne0$, ולכן הסימנים ב-B תמיד מתחלפים.

טעות נפוצה: לכפול ב-$q$ במקום לחלק, ולקבל $q_B=-2k^2$.

ועם $k\ne0$: $-\sqrt2<k<\sqrt2$, $k\ne0$.

טעות נפוצה: לפתור $k^2<2$ כאילו הוא $k<\sqrt2$, ולאבד את החסם התחתון $k>-\sqrt2$.

$b_1=\frac{k^2}{a_1}=\frac{k^2}{3}$.

נסמן $u=k^2$. לפי סעיף ג, $u$ מקבל כל ערך בתחום $0<u<2$.

כאשר $u$ גדל, $\frac{2}{u+2}$ קטן, ולכן $S_B$ עולה ורציף ב-$u$. ב-$u\to0$ מקבלים $S_B\to0$, וב-$u\to2$ מקבלים $S_B\to\frac23\cdot\frac12=\frac13$. הקצוות אינם מתקבלים ($u\ne0$, $u<2$).

לכן $S_B$ מקבל כל ערך בתחום $0<S_B<\frac13$.

טעות נפוצה: להציב את הקצה $k=\pm\sqrt2$ ולכלול את $\frac13$, כלומר לענות $0<S_B\le\frac13$ - אבל בעבור $k=\pm\sqrt2$ המנה היא $-1$ והסכום אינו מתכנס.

נסמן $q=q_B=-\frac{k^2}{2}$. האיברים שנמחקו, $b_3,b_6,\ldots$, הם סדרה הנדסית עם איבר ראשון $b_1q^2$ ומנה $q^3$:

דורשים שהיחס יהיה $\frac13$:

$q=1$ נפסל: המנה של B שלילית (סעיף ב), ובעבור $q=1$ הסכום אינו מתכנס. לכן $-\frac{k^2}{2}=-\frac12$, כלומר $k^2=1$: $k=1$ או $k=-1$ (שניהם בתחום מסעיף ג).

בדיקה בעבור $k=1$: $b_1=\frac13$, $q=-\frac12$, $S_B=\frac29$; $S_{\text{נמחקו}}=\frac{1/12}{9/8}=\frac2{27}=\frac13\cdot\frac29$.

טעות נפוצה: לחשוב שכשמוחקים כל איבר שלישי נמחק תמיד שליש מהסכום, ולענות "לכל $k$ בתחום" - האיברים אינם שווים, ולכן החלק שנמחק תלוי במנה.

המשלים: מאיה אינה יודעת אף אחד משני הקטעים הראשונים. יש $n-16$ קטעים שהיא אינה יודעת:

$n=51$ או $n=10$. במאגר יש לפחות 16 קטעים (את 16 הקטעים שמאיה יודעת), ולכן $n=10$ נפסל: $n=51$.

טעות נפוצה: להשוות את ההסתברות שמאיה אינה יודעת אף קטע ל-$\frac{8}{15}$ עצמו (בלי המשלים) - מתקבלת משוואה שאין לה פתרון שלם ($n\approx59.8$).

מאיה מתקבלת אם היא יודעת 2 או 3 מהקטעים.

בדיוק שניים: 3 סידורים (הקטע שאינה יודעת ראשון, שני או שלישי), לכל אחד אותה הסתברות:

טעות נפוצה: לשכוח את 3 הסידורים של "בדיוק שניים" ולקבל $\frac{3360+8400}{124950}=\frac{8}{85}$.

אם מאיה התקבלה ולא ידעה את הקטע הראשון, היא ידעה את השני ואת השלישי - מסלול יחיד:

טעות נפוצה: לענות $\frac{8}{119}$ - זו ההסתברות של החיתוך; צריך לחלק בהסתברות שמאיה התקבלה.

המכנים שווים, ולכן:

היחס אינו 8 - ההסתברות של עומר גדולה פי $8.86$ בערך. (פי 8 היה מתקבל אילו ההוצאה הייתה עם החזרה: $\left(\frac{32}{16}\right)^3=8$. בלי החזרה הגורמים השני והשלישי יורדים לאט יותר אצל עומר: $\frac{31}{15}>2$, $\frac{30}{14}>2$.)

טעות נפוצה: לחשב $\left(\frac{32}{16}\right)^3=8$ כאילו הדגימה עם החזרה, ולענות "כן".

הזווית בין המשיק $AF$ למיתר $FG$ שווה לזווית ההיקפית $\angle FHG$, והיא גם שווה ל-$\angle FGH$ (מתחלפות, $GH\parallel AB$). לכן $\angle FGH=\angle FHG$ ו-$FG=FH$.

מיתרים שווים - זוויות היקפיות שוות: $\angle ACF=\angle FCB$, כלומר $CF$ חוצה את הזווית $ACB$.

לפי משפט חוצה הזווית במשולש $ABC$: $\frac{AF}{FB}=\frac{AC}{BC}=\frac ab$.

טעות נפוצה: להסיק מ-$FG=FH$ ש-$F$ היא אמצע $AB$ ולכן $\frac{AF}{FB}=1$ - $FG=FH$ נותן חוצה זווית, לא תיכון.

נסמן $c=AB$. לפי משפט הקוסינוסים: $c^2=a^2+b^2-2ab\cos60^\circ=a^2+b^2-ab$.

מסעיף א: $AF=\frac{a}{a+b}\cdot c=\frac{ac}{a+b}$.

$AF$ משיק ו-$AGC$ חותך מהנקודה $A$, ולכן $AF^2=AG\cdot AC$:

$GH\parallel AB$, ולכן $\Delta CGH\sim\Delta CAB$, ו-$\frac{GH}{AB}=\frac{CG}{CA}=\frac{3ab}{(a+b)^2}$.

טעות נפוצה: לחשב את $c^2$ לפי פיתגורס, $c^2=a^2+b^2$, ולקבל $\frac{2ab}{(a+b)^2}$ - המשולש אינו ישר זווית, וצריך את משפט הקוסינוסים.

לפי סעיף ב צריך להוכיח $\frac{3ab}{(a+b)^2}\le\frac34$, כלומר $4ab\le(a+b)^2$:

שוויון מתקבל רק כש-$a=b$. אז המשולש שווה שוקיים עם זווית ראש $60^\circ$ - משולש שווה צלעות.

טעות נפוצה: להעתיק את התשובה של המקרה הישר-זווית ולענות 'משולש ישר זווית ושווה שוקיים' - כאן הזווית בין $AC$ ל-$BC$ היא $60^\circ$, ולכן $a=b$ נותן משולש שווה צלעות. משולש ישר זווית עם $\angle C=60^\circ$ מתקבל רק כש-$b=2a$, ושם $\frac{GH}{AB}=\frac{3\cdot2a^2}{(3a)^2}=\frac23<\frac34$.

נסמן $s=a+b$, $p=ab$. לפי סעיף ב: $\frac{3p}{s^2}=\frac{120}{169}$, כלומר $p=\frac{40}{169}s^2$.

לפי משפט הקוסינוסים: $a^2+b^2-ab=s^2-3p=49$. מציבים: $s^2-\frac{120}{169}s^2=\frac{49}{169}s^2=49$, ולכן $s=13$ ו-$p=40$.

$a$ ו-$b$ הם פתרונות של $t^2-13t+40=0$: $t=8$ או $t=5$. נתון $AC>BC$, ולכן $AC=8$, $BC=5$.

$GH=\frac{120}{169}\cdot7=\frac{840}{169}$. המעגל חוסם את המשולש $CGH$, שבו $\angle GCH=60^\circ$. לפי משפט הסינוסים המורחב:

טעות נפוצה: להניח (כמו במשולש ישר זווית) ש-$GH$ קוטר ולענות $R=\frac{GH}{2}=\frac{420}{169}\approx2.49$ - הזווית ב-$C$ היא $60^\circ$, ולכן $GH$ אינו קוטר.