מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 5 מעל רמת בגרות

הטענה על אי-זוגיים: בסיס $n=1$, צעד מ-$n$ ל-$n+2$.

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $6\cdot1^2=6$, אגף ימין $1\cdot2\cdot3=6$. שווים.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n$ אי-זוגי מסוים $6+54+\dots+6n^2=n(n+1)(n+2)$.

שלב הצעד: האיבר הבא בטור (האי-זוגי הבא, $n+2$) הוא $6(n+2)^2$:

מוציאים גורם משותף $(n+2)$:

זה אגף ימין עבור $n+2$: $(n+2)\big((n+2)+1\big)\big((n+2)+2\big)$. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ אי-זוגי.

טעות נפוצה: להוסיף בצעד את $6(n+1)^2$ (המספר שאחרי $n$, שהוא זוגי ואינו בטור), ולקבל $n(n+1)(n+2)+6(n+1)^2=(n+1)(n^2+8n+6)$, שאינו מתפרק לצורה המבוקשת.

$\angle EAD=\angle BAC$ - זוויות קודקודיות (המיתרים נחתכים ב-A).

$\angle AED=\angle CED$ ו-$\angle ABC=\angle DBC$ (A על EC ועל BD). שתיהן זוויות היקפיות הנשענות על הקשת CD, ו-E ו-B באותו צד של המיתר CD, ולכן $\angle AED=\angle ABC$.

לכן $\triangle AED\sim\triangle ABC$ לפי ז.ז., בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $E\leftrightarrow B$, $D\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: להתאים את E ל-C (כי "שניהם על אותו מיתר") ולכתוב $\triangle AED\sim\triangle ACB$ - הזווית ב-E שווה לזווית ב-B, ולא לזווית ב-C.

מהדמיון: $\frac{AE}{AB}=\frac{AD}{AC}$, כלומר $AE\cdot AC=AB\cdot AD$ (משפט המיתרים הנחתכים).

מציבים את הנתונים:

טעות נפוצה: לעצור ב-$\frac{AB^2}{AC^2}=\frac14$ ולענות $\frac{AB}{AC}=\frac14$ - צריך להוציא שורש.

A על הקטע EC, ולכן $\angle AED=\angle DEC=30^\circ$, ומהדמיון $\angle ABC=30^\circ$.

משפט הסינוסים במשולש ABC:

$\angle ACB\approx14.5^\circ$ (הזווית הקהה $165.5^\circ$ אינה אפשרית, כי יחד עם $30^\circ$ היא עוברת את $180^\circ$). E על הישר CA, ולכן הזווית ההיקפית $\angle BCE=\angle ACB\neq90^\circ$.

אילו BE היה קוטר, הזווית ההיקפית $\angle BCE$ הנשענת עליו הייתה ישרה. לכן BE אינו קוטר: לא.

טעות נפוצה: להצמיד לכל צלע את הזווית הלא נכונה, $\frac{AC}{\sin\angle ACB}=\frac{AB}{\sin\angle ABC}$, לקבל $\sin\angle ACB=\frac{AC}{AB}\cdot\frac12=1$ ולענות "כן".

אסימפטוטות אנכיות: ב-II וב-IV המכנה $\sqrt{x^2+4}$ חיובי תמיד - אין אסימפטוטות אנכיות. נפסלים.

ב-I וב-III התחום $|x|>2$, והמכנה מתאפס ב-$x=\pm2$ כשהמונה שונה מ-0 (ב-III המונה $1$ ו-$-3$; ב-I $1$ ו-$9$): שתי אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות: $\sqrt{x^2-4}=|x|\sqrt{1-\frac4{x^2}}$.

I: $\frac{(x-1)^2}{|x|\sqrt{1-\frac4{x^2}}}\to\infty$ בשני הכיוונים (מונה ממעלה 2) - אין אסימפטוטה אופקית. נפסל.

III: $\frac{x-1}{|x|\sqrt{1-\frac4{x^2}}}$: כאשר $x\to\infty$ הגבול 1, וכאשר $x\to-\infty$, $|x|=-x$ והגבול $-1$. שתי אסימפטוטות, $y=\pm1$, כמו בסרטוט (והענף השמאלי שלילי, כי $x-1<0$).

התשובה: ביטוי III.

טעות נפוצה: לקבוע אסימפטוטה אופקית לפי השוואת חזקות כמו בפונקציה רציונלית ולהתעלם מהשורש ("$x^2$ במכנה"): ל-III יוצא "מונה ממעלה 1, מכנה ממעלה 2", כלומר $y=0$, שאינו מתאים לסרטוט; ל-I יוצא "מעלות שוות", כלומר $y=1$ - ובוחרים בביטוי I. אבל $\sqrt{x^2-4}$ מתנהג כמו $|x|$ (מעלה 1), ולכן ל-I אין אסימפטוטה אופקית כלל.

$g$ עולה היכן ש-$f(x)>-\frac73$. התחום: $|x|>2$.

עבור $x>2$: המונה $x-1>0$, ולכן $f>0>-\frac73$ ו-$g'>0$.

עבור $x<-2$: $f(x)<0$. $f(x)>-\frac73$ שקול ל-$\frac{1-x}{\sqrt{x^2-4}}<\frac73$, ושני האגפים חיוביים - מעלים בריבוע:

כלומר $x<-2.5$ או $x>2.05$; בתחום $x<-2$: $x<-2.5$.

לכן $g'>0$ עבור $x<-2.5$ ו-$g'<0$ עבור $-2.5<x<-2$.

עלייה: $x<-2.5$, $x>2$. ירידה: $-2.5<x<-2$.

טעות נפוצה: להעלות בריבוע את $\frac{x-1}{\sqrt{x^2-4}}>-\frac73$ כמו שהוא, כשהאגף השמאלי שלילי, ולקבל תחומים הפוכים: עלייה ב-$-2.5<x<-2$, ירידה ב-$x<-2.5$.

גרף II חותך את ציר ה-$x$ בדיוק בשיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון A, B, C של גרף I - שם הנגזרת מתאפסת.

גם הסימן מתאים: בין A ל-B גרף I עולה וגרף II חיובי; בין B ל-C גרף I יורד וגרף II שלילי; משמאל ל-A גרף I יורד וגרף II שלילי, ומימין ל-C גרף I עולה וגרף II חיובי.

בנקודות הקיצון של גרף II, גרף I אינו מתאפס. לכן I הוא $f(x)$ ו-II הוא $f'(x)$.

טעות נפוצה: לבחור בגרף II כי הוא "חותך את ציר ה-$x$ בשלוש נקודות כמו פונקציה ממעלה שלישית" - נקודות האפס שלו הן נקודות הקיצון של הגרף השני, ולכן הוא הנגזרת.

נקודות הפיתול של $f$ הן הנקודות שבהן $f'$ עוברת מעלייה לירידה או להפך - נקודות הקיצון של $f'$.

לגרף II ($f'$) יש שתי נקודות קיצון: מקסימום בין A ל-B ומינימום בין B ל-C (כל נקודות הקיצון מתוארות בסרטוט). לכן ל-$f$ יש 2 נקודות פיתול.

טעות נפוצה: לספור את נקודות החיתוך של גרף II עם ציר ה-$x$ (שלוש) - אלה נקודות הקיצון של $f$, לא נקודות הפיתול שלה.

גרף II הוא $f'$. בין $x_A$ ל-$x_B$ הוא מעל הציר ($f$ עולה מ-A ל-B):

בין $x_B$ ל-$x_C$ הוא מתחת לציר: $\int_{x_B}^{x_C}f'(x)\,dx=y_C-7<0$, והשטח שם $7-y_C$.

טעות נפוצה: לחשב את השטח כאינטגרל אחד, $y_C-y_A=9$, ולקבל $y_C=10$ - החלק שמתחת לציר נכנס לאינטגרל בסימן שלילי.

$a_{2n-1}=a_1q^{2n-2}$ ו-$a_{2n}=a_1q^{2n-1}$, ולכן:

$a_1\neq0$, $q\neq0$ ו-$q\neq1$, ולכן כל איברי $B$ שונים מ-0, והמנה בין איברים עוקבים קבועה:

$B$ היא סדרה הנדסית עם $b_1=a_1(1-q)$ ומנה $q^2$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמנה של $B$ היא $q$ (כמו של $A$), כי "כל איבר של $B$ בנוי משני איברים עוקבים של $A$". בפועל בין $b_n$ ל-$b_{n+1}$ מתקדמים שני מקומות ב-$A$, והמנה $q^2$.

$B$ מתכנסת פירושו שהמנה שלה מקיימת $0<q^2<1$.

$q^2<1$ שקול ל-$|q|<1$, כלומר $-1<q<1$ (ו-$q\neq0$). זה בדיוק תנאי ההתכנסות של $A$.

ההיגד נכון.

טעות נפוצה: לפתור את $q^2<1$ כ-$q<1$ (לשכוח את הצד השלילי), ואז "להפריך" בדוגמה $q=-3$, שבה $A$ לא מתכנסת - ולקבוע שההיגד לא נכון. אבל עבור $q=-3$ גם $B$ לא מתכנסת ($q^2=9$).

דוגמה נגדית: $a_1=1$, $q=-2$. הסדרה $A$: $1,-2,4,-8,16,\ldots$ מחליפה סימן, ולכן אינה עולה.

הסדרה $B$: $b_1=1-(-2)=3$, $b_2=4-(-8)=12$, $b_3=16-(-32)=48,\ldots$ - איבר ראשון חיובי ומנה $q^2=4>1$, ולכן $B$ עולה.

ההיגד לא נכון.

טעות נפוצה: לנמק "אם $B$ עולה אז $q^2>1$, ולכן $q>1$ ו-$A$ עולה" - ולקבוע שההיגד נכון. $q^2>1$ מתקיים גם עבור $q<-1$, וגם עבור $q>1$ הסימן של $a_1$ קובע אם $A$ עולה.

לפי סעיף א, $b_1=a_1(1-q)$ והמנה של $B$ היא $q^2$:

$-1<\frac35<1$, ושתי הסדרות מתכנסות.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולפתור $\frac{1+q}{1-q}=\frac14$, ומקבלים $q=-\frac35$.

ל-$B$: $b_1=a_1(1-q)=8\cdot\frac25=\frac{16}{5}$, והמנה $q^2=\frac{9}{25}$. הסכום של $n$ האיברים הראשונים:

$729=9^3$ ו-$15625=25^3$, ולכן $n=3$.

טעות נפוצה: להשתמש במנה $q=\frac35$ במקום $q^2$: $5\left(1-\left(\frac35\right)^n\right)=\frac{14896}{3125}$ נותן $\left(\frac35\right)^n=\frac{729}{15625}$, ומקבלים $n=6$.

$P(\text{אחות וגם בעד})=rp$, $P(\text{רופא וגם בעד})=(1-r)p$.

$P(\text{אחות וגם נגד})=P(\text{רופא וגם בעד})=(1-r)p$, ולכן $P(\text{אחות})=rp+(1-r)p=p$.

(ההסתברות אינה תלויה ב-$p$.)

טעות נפוצה: לענות $rp$ - זו ההסתברות לחיתוך 'אחות וגם בעד'; כדי לקבל הסתברות מותנית מחלקים ב-$P(\text{אחות})=p$.

$P(\text{רופא})=1-p$, ולכן $P(\text{בעד}\mid\text{רופא})=\frac{(1-r)p}{1-p}$. לפי הנתון:

הסתברות מותנית אינה עולה על 1: $P(\text{בעד}\mid\text{רופא})=2r\le1$, כלומר $r\le\frac12$.

(בבדיקה ישירה: $P(\text{רופא וגם נגד})=1-p-(1-r)p=\frac{(1-2r)(1-r)}{1+r}$, והוא אי-שלילי בדיוק כאשר $r\le\frac12$.)

לכן $0<r\le\frac12$.

טעות נפוצה: להסתפק בנוסחה ל-$p$ (שנותנת $0<p<1$ לכל $0<r<1$) ולענות $0<r<1$ - צריך לבדוק שכל הסתברות בטבלה, ובפרט $2r$, אינה גדולה מ-1.

לפי א, לכל אחות ההסתברות להיות בעד היא $r$:

לפי ב, $r\le\frac12$, ולכן $r=0.7$ נפסל ו-$r=0.3$.

טעות נפוצה: לבחור $r=0.7$ (או להשאיר את שני הפתרונות) ולקבל $p=\frac{14}{17}$ - אבל אז $P(\text{בעד}\mid\text{רופא})=1.4>1$.

$P(\text{נגד})=1-p=\frac7{13}$, ו-$P(\text{אחות וגם נגד})=(1-r)p=0.7\cdot\frac6{13}=\frac{4.2}{13}$.

$P(\text{רופא וגם נגד})=\frac7{13}-\frac{4.2}{13}=\frac{2.8}{13}$.

טעות נפוצה: לענות $\frac{2.8}{13}=\frac{14}{65}\approx0.215$ - זו ההסתברות שמשתתף כלשהו הוא רופא שנגד; ידוע שהנבחר נגד, ולכן מחלקים ב-$P(\text{נגד})$.

נסמן $AL=LK=KC=t$, כך ש-$AK=2t$ ו-$AC=3t$.

$DK\parallel BA$. לפי משפט תאלס במשולש ABC (הישר KD מקביל לצלע AB):

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{BD}{DC}=\frac{KC}{AC}=\frac13$ - היחס $\frac13$ הוא $\frac{DC}{BC}$, לא $\frac{BD}{DC}$.

$BE=BD$: באותו אופן, $EL\parallel BC$ נותן $\frac{BE}{EA}=\frac{CL}{LA}=2$. לכן $BE=\frac23BA$ ו-$BD=\frac23BC$, ומאחר ש-$BA=BC$, $BE=BD$.

EDKL טרפז שווה-שוקיים: $\frac{BE}{BA}=\frac{BD}{BC}$, ולכן לפי המשפט ההפוך לתאלס $ED\parallel AC$. המשולש CDK דומה למשולש CBA ביחס $\frac{KC}{AC}=\frac13$, ולכן $DK=\frac13BA$; באותו אופן $EL=\frac13BC$, ולכן $EL=DK$. $ED=\frac23AC=2t\neq LK=t$, כך שזה טרפז ולא מקבילית, ושוקיו EL ו-DK שוות.

$GE=GD$: המשולשים ELK ו-DKL חופפים (צ.צ.צ: $EL=DK$, $LK$ משותפת, והאלכסונים בטרפז שווה-שוקיים שווים $EK=DL$). לכן $\angle GKL=\angle GLK$, המשולש GLK שווה-שוקיים ו-$GL=GK$. מכאן $GE=EK-GK=DL-GL=GD$.

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ($BE=BD$, $GE=GD$) - BDGE דלתון.

טעות נפוצה: לטעון ש-EDKL מקבילית "כי $ED\parallel LK$ ו-$EL$, $DK$ שוות" - EL ו-DK אינן מקבילות (אחת מקבילה ל-BC והשנייה ל-BA), ו-$ED=2LK$.

$AC=24$, ולכן $LK=8$ ו-$ED=\frac23\cdot24=16$.

$EL=DK$, ומההיקף: $16+8+2DK=34$, כלומר $DK=5$. $DK=\frac13BA$, ולכן $BA=15$.

נוריד את הגובה BM ($AM=MC=12$): $BM=\sqrt{15^2-12^2}=9$.

גובה הטרפז EDKL הוא גובה הנקודה D מעל הבסיס: $\frac{DC}{BC}=\frac13$, ולכן הגובה הוא $\frac13BM=3$.

המשולשים GED ו-GKL דומים ($ED\parallel LK$) ביחס $\frac{ED}{LK}=2$, ולכן G מחלקת את גובה הטרפז ביחס $2:1$ - המרחק שלה מהבסיס הוא $\frac13\cdot3=1$.

G נמצאת על BM: $GE=GD$ ו-$BE=BD$, ולכן גם G וגם B על האנך האמצעי של ED, שהוא ציר הסימטריה BM.

טעות נפוצה: להניח ש-G באמצע גובה הטרפז (כמו מרכז של מלבן), כלומר בגובה 1.5, ולקבל $BG=7.5$ - באלכסוני טרפז היחס הוא יחס הבסיסים.

לכל נקודה F על הישר BG (ציר הסימטריה): $BE=BD$, $BF$ משותפת ו-$\angle EBF=\angle DBF$, ולכן המשולשים BEF ו-BDF חופפים ו-$\angle BEF=\angle BDF$.

BDFE בר-חסימה אם ורק אם $\angle BEF+\angle BDF=180^\circ$, כלומר $\angle BDF=90^\circ$.

האנך לשוק BC בנקודה D אינו מקביל לישר BG (הזווית $\angle DBG$ חדה), ולכן הוא חותך את הישר BG בנקודה F, ושם $\angle BDF=\angle BEF=90^\circ$. התשובה: כן.

(בנתוני סעיף ג נקודה זו נמצאת על המשך BM מתחת לבסיס, $7\frac23$ יחידות מתחת ל-M - מחוץ למשולש, אבל על הישר BG.)

טעות נפוצה: לחשב שהאנך ל-BC ב-D חותך את BM מתחת לבסיס, ולענות "לא" כי הנקודה מחוץ למשולש - השאלה היא על הישר BG, לא על הקטע.

$\angle ACB=\angle ABC=\alpha$. במשולש ישר-הזווית $BME$ (יתר $BE=x$): $ME=x\sin\alpha$.

במשולש ישר-הזווית $CDE$ (יתר $EC=12-x$): $DE=(12-x)\sin\alpha$.

הביטוי אינו תלוי ב-$x$. (זה גם אורך הגובה מ-$B$ לשוק $AC$: $BC\sin\alpha$.)

טעות נפוצה: לכתוב את הניצבים בעזרת $\cos\alpha$ ולקבל $12\cos\alpha$ - $ME$ ו-$DE$ הם הניצבים שמול זוויות הבסיס.

$BM=x\cos\alpha$, $DC=(12-x)\cos\alpha$. סכום השטחים: