מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 3 מעל רמת בגרות

בעבור $n=2$ אגף שמאל הוא סכום שני האיברים הראשונים:

אגף ימין בעבור $n=2$:

לכן $\frac{66}{b}=11$, כלומר $b=6$.

טעות נפוצה: להשוות את אגף ימין רק לאיבר השני ($2\cdot4=8$) במקום לסכום שני האיברים, ולקבל $b=8.25$.

צריך להוכיח: $1\cdot3+2\cdot4+\ldots+n(n+2)=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי.

בסיס ($n=1$): אגף שמאל $1\cdot3=3$, אגף ימין $\frac{1\cdot2\cdot9}{6}=3$. מתקיים.

הנחת האינדוקציה: בעבור $n=k$ מתקיים $1\cdot3+\ldots+k(k+2)=\frac{k(k+1)(2k+7)}{6}$.

צעד: האיבר ה-$(k+1)$ הוא $(k+1)(k+3)$. צריך להראות שהסכום עד אליו הוא $\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6}$.

מציבים את ההנחה ומוציאים גורם משותף $\frac{k+1}{6}$:

מפרקים את הטרינום: $2k^2+13k+18=(k+2)(2k+9)$ (בדיקה: $2k^2+9k+4k+18$).

לכן הסכום הוא $\frac{(k+1)(k+2)(2k+9)}{6}$, וזה בדיוק אגף ימין בעבור $n=k+1$, כי $2(k+1)+7=2k+9$.

לפי עקרון האינדוקציה השוויון מתקיים לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר הבא כ-$(k+1)(k+2)$ (להוסיף 1 רק לגורם הראשון) - ואז מקבלים $\frac{(k+1)(2k^2+13k+12)}{6}$, שאינו מתפרק ל-$(k+2)(2k+9)$, ו'מגלים' בטעות שהשוויון אינו נכון.

תחום ההגדרה: $\sqrt{x^2-9}$ (בביטויים III ו-IV) מוגדר רק כאשר $x^2\ge9$, כלומר $x\le-3$ או $x\ge3$. הפונקציה בסרטוט מוגדרת בתחום $-3\le x\le3$, ולכן III ו-IV נפסלים.

$\sqrt{9-x^2}$ (בביטויים I ו-II) מוגדר כאשר $9-x^2\ge0$, כלומר $-3\le x\le3$ - מתאים.

סימן: לפי הסרטוט, בעבור $-3<x<0$ הגרף מתחת לציר ה-$x$, ובעבור $0<x<3$ מעליו.

בתחום $-3<x<3$ מתקיים $\sqrt{9-x^2}>0$, ולכן הסימן נקבע לפי הגורם שלפני השורש:

ב-I, $x\sqrt{9-x^2}$ שלילי בעבור $x<0$ וחיובי בעבור $x>0$ - מתאים.

ב-II, $-x\sqrt{9-x^2}$ חיובי בעבור $x<0$ - לא מתאים.

לכן הביטוי I מייצג את $f(x)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$\sqrt{x^2-9}$ מוגדר בתחום $-3\le x\le3$ (לבלבל בין $x^2\ge9$ ל-$x^2\le9$), להשאיר את ביטוי III, שגם בו הגורם שלפני השורש הוא $x$, ולבחור בו.

לפי סעיף ב(1): $g(x)=\left(x\sqrt{9-x^2}\right)^2=x^2(9-x^2)=9x^2-x^4$, בתחום $-3\le x\le3$.

נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$: $x^2(9-x^2)=0$, כלומר $x=-3$, $x=0$ או $x=3$.

בכל התחום $g(x)\ge0$ (ריבוע של פונקציה). ב-$x=0$ הגרף רק נוגע בציר, ולכן השטח הוא שני חלקים, מ-$-3$ עד 0 ומ-0 עד 3, ושניהם מעל הציר:

($g$ זוגית, ולכן אפשר גם לחשב $2\int_0^3\left(9x^2-x^4\right)dx=2\cdot32.4$.)

טעות נפוצה: לחשב רק את השטח מ-0 עד 3 (כאילו $f$ השלילית בתחום $-3<x<0$ נותנת $g$ שלילית שאינה נספרת) ולקבל $32.4$ - אבל $g=f^2$ חיובית גם שם.

$g(x)=\frac{1}{f(x)-3}$ אינה מוגדרת כאשר $f(x)=3$, ושם המונה 1 שונה מ-0 - לכן בכל נקודה כזו יש אסימפטוטה אנכית.

נספור את הפתרונות של $f(x)=3$ לפי הסרטוט:

בעבור $x>-1$ הפונקציה יורדת מ-5 אל 0, ולכן מקבלת את הערך 3 פעם אחת - ולפי הסרטוט זה קורה ב-$x=0$, כי $f(0)=3$.

בעבור $x<-1$ הפונקציה עולה מ-0 עד 5, ולכן מקבלת את הערך 3 עוד פעם אחת, בנקודה שמשמאל ל-$x=-1$.

לכן ל-$g(x)$ יש 2 אסימפטוטות אנכיות, ואחת מהן היא $x=0$ (ציר ה-$y$).

טעות נפוצה: לראות ש-$f(0)=3$ ולמצוא רק את האסימפטוטה $x=0$ (תשובה: 1), בלי לשים לב שגם בענף העולה, משמאל לנקודת הקיצון, $f$ עוברת דרך 3.

כאשר $x\to\pm\infty$, $f(x)\to0$ (האסימפטוטה $y=0$ של $f$). לכן:

האסימפטוטה האופקית של $g(x)$ היא $y=-\frac13$.

טעות נפוצה: להעתיק את האסימפטוטה האופקית של $f$ ולענות $y=0$. אבל כאשר $f\to0$, $g$ שואפת ל-$\frac{1}{0-3}$ ולא ל-0.

אסימפטוטות: אנכיות ב-$x=0$ ובנקודה שמשמאל ל-$x=-1$ (סעיף ג(1)); אופקית $y=-\frac13$ (סעיף ג(2)).

בין האסימפטוטות האנכיות $3<f(x)\le5$, ולכן $0<f(x)-3\le2$ ו-$g(x)\ge\frac12$; ליד האסימפטוטות $g\to+\infty$.

המקסימום של $f$ ב-$(-1,5)$ הופך למינימום של $g$: $g(-1)=\frac{1}{5-3}=\frac12$.

מחוץ לאסימפטוטות $0<f(x)<3$, ולכן $-3<f(x)-3<0$ ו-$g(x)<-\frac13$: הענפים החיצוניים מתחת לאסימפטוטה האופקית.

בענף השמאלי $f$ עולה ולכן $g$ יורדת (מ-$-\frac13$ ל-$-\infty$); בענף הימני $f$ יורדת ולכן $g$ עולה (מ-$-\infty$ ל-$-\frac13$).

ל-$g$ אין נקודת חיתוך עם ציר ה-$y$, כי $x=0$ היא אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לחשב 'נקודת חיתוך עם ציר ה-$y$' לפי $g(0)=\frac{1}{3-3}$ ולסמן נקודה על ציר ה-$y$ - אבל ב-$x=0$ המכנה מתאפס, ושם יש אסימפטוטה.

$\angle ABC=90^\circ$, ולכן $AC$ הוא היתר - הצלע הארוכה ביותר במשולש.

אורכי הצלעות חיוביים, ולכן המנה $q$ חיובית ($q\ne1$, כי במשולש ישר זווית הצלעות אינן כולן שוות).

אם הסדרה יורדת ($0<q<1$), האיבר הראשון הוא הגדול ביותר, כלומר $BC$ היא הצלע הארוכה ביותר. אבל $BC$ ניצב, והיתר $AC$ ארוך ממנו - סתירה.

לכן הסדרה אינה יכולה להיות יורדת.

טעות נפוצה: לבדוק רק את משפט פיתגורס עם סדר צלעות שבו $BC$ היא הארוכה ($9=9q^2+9q^4$), לקבל $q^2=\frac{\sqrt5-1}{2}$ ולענות 'ייתכן' - בלי לשים לב ש-$BC$ ניצב ואינו יכול להיות הצלע הארוכה.

לפי סעיף ד(1) הסדרה עולה ($q>1$), ולכן האיבר השלישי הוא הגדול ביותר - היתר $AC$. האיבר השני הוא הניצב האחר, $AB$:

משפט פיתגורס:

נציב $t=q^2>0$: $t^2-t-1=0$, ולכן $t=\frac{1+\sqrt5}{2}$ (הפתרון השלילי נפסל).

$q=\sqrt{\frac{1+\sqrt5}{2}}\approx1.272$, ו-$AB=3q\approx3.816$.

השטח הוא חצי מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לחשב את השטח כחצי מכפלת $BC$ ביתר $AC=3q^2$ ולקבל $\frac{3\cdot3q^2}{2}=\frac{9(1+\sqrt5)}{4}\approx7.28$ - היתר אינו גובה לניצב.

$S_{n+2}-S_n$ הוא סכום שני האיברים שנוספו בין $S_n$ ל-$S_{n+2}$:

ההפרש קבוע, ולכן B סדרה חשבונית שהפרשה $2d$.

טעות נפוצה: לכתוב $S_{n+2}-S_n=a_{n+2}$ (רק האיבר האחרון) ולקבוע שהפרש הסדרה B הוא $d$.

סדרה חשבונית נקבעת על ידי האיבר הראשון וההפרש.

הפרש הסדרה B הוא $2d$ והפרש הסדרה A הוא $d$. הסדרה A עולה, ולכן $d>0$ ו-$2d\neq d$.

ההפרשים שונים, ולכן הסדרות אינן זהות.

טעות נפוצה: לכתוב $S_{n+2}-S_n=a_{n+2}$ (רק האיבר האחרון), לקבל ש-B היא A עם אותו הפרש $d$, ולענות שהסדרות זהות - גם בטעות הזו $b_1=a_3\neq a_1$, ובפועל $b_n=a_{n+1}+a_{n+2}$ וההפרש $2d$.

לפי א(1), B חשבונית עם הפרש $2d$, ולכן בכל זוג: $b_k-b_{k+1}=-2d$.

מוציאים את $-2d$ כגורם משותף מהמונה:

($n$ זוגי, ולכן הזוגות מכסים בדיוק את $n$ האיברים הראשונים.)

מחלקים ב-$-2d\neq0$ ומקבלים $T_n$. מש"ל.

טעות נפוצה: להשתמש בהפרש של A ולכתוב $b_k-b_{k+1}=-d$ - אז המונה יוצא $-d\cdot T_n$, והביטוי שווה ל-$\frac{T_n}{2}$ ולא ל-$T_n$.

$b_k^2-b_{k+1}^2=(b_k+b_{k+1})(b_k-b_{k+1})$, ולכן הסכום הנתון הוא המונה מסעיף ב עם $n=38$:

B חשבונית עם איבר ראשון $b_1$ והפרש $2d$:

מ-$T_5=-25$: $b_1+4d=-5$, כלומר $b_1=-5-4d$.

מציבים: $2b_1+74d=-10-8d+74d=66d-10$:

$d=\frac13$ או $d=-\frac{2}{11}$. הסדרה A עולה, ולכן $d=\frac13$.

$b_1=-5-\frac43=-\frac{19}{3}$.

טעות נפוצה: לחלק ב-$-d$ במקום ב-$-2d$ (להעתיק את המכנה של סדרה שהפרשה $d$), לקבל $d(66d-10)=8$, ומשם $d\approx0.43$.

$b_1=a_2+a_3=2a_1+3d$, ולכן $a_1=\frac{b_1-3d}{2}=\frac{-\frac{19}{3}-1}{2}=-\frac{11}{3}$.

האיברים במקומות האי-זוגיים $a_1, a_3, a_5, \ldots$ הם סדרה חשבונית עם איבר ראשון $-\frac{11}{3}$ והפרש $2d=\frac23$.

סכום $m$ איברים ממנה:

חיובי כאשר $m\ge13$.

$m=13$: $\frac{13}{3}$ - לא שלם. $m=14$: $\frac{28}{3}$ - לא שלם. $m=15$: $\frac{15\cdot3}{3}=15$ - חיובי ושלם.

המספר המינימלי: 15 איברים.

טעות נפוצה: לקחת לתת-הסדרה את ההפרש $d=\frac13$ במקום $2d$, לקבל את הסכום $\frac{m(m-23)}{6}$, ולענות 24 איברים.

צבעים שונים אפשריים רק בקופסה א'.

כחול ואז ירוק: הכחול מוחזר, ולכן $\frac12\cdot\frac{12}{20}\cdot\frac{8}{20}=\frac{3}{25}$.

ירוק ואז כחול: הירוק לא מוחזר, ונשארו 19 כרטיסים ובהם 12 כחולים: $\frac12\cdot\frac{8}{20}\cdot\frac{12}{19}=\frac{12}{95}$.

טעות נפוצה: לחשב את שני המסלולים כאילו יש החזרה בשניהם; אז הם שווים ומקבלים $\frac12$.

בכל פעם: ירוק רק מקופסה א', $P(\text{ירוק})=\frac12\cdot\frac{8}{20}=\frac15$, ו-$P(\text{כחול})=\frac45$.

התהליך נמשך בדיוק $n$ פעמים בהסתברות $\left(\frac15\right)^{n-1}\cdot\frac45$.

מספר זוגי: $n=2,4,6,\ldots$:

זו סדרה הנדסית אין-סופית עם איבר ראשון $\frac{4}{25}$ ומנה $\frac{1}{25}$:

טעות נפוצה: לנמק "זוגי או אי-זוגי - חצי חצי" ולענות $\frac12$; הסיכוי לסיים כבר בפעם הראשונה (אי-זוגי) הוא $\frac45$.

נועה לא מפסיקה בתוך $n$ פעמים רק אם כל $n$ הכרטיסים ירוקים, ולכן

בודקים: $0.2^4=0.0016>0.001$, $0.2^5=0.00032<0.001$. לכן $n=5$.

טעות נפוצה: לחשב $1-0.8^n>0.999$ (להחליף בין ההסתברויות) ולקבל $n=31$.

נסמן ב-$x$ את מספר הכרטיסים שהועברו (כולם כחולים):

$20+x>0$, ולכן אפשר לכפול: $12+x\ge16+0.8x$, כלומר $x\ge20$.

הועברו לפחות 20 כרטיסים, ובקופסה ב' נשאר לפחות כרטיס אחד. לכן היו בה לפחות 21 כרטיסים.

טעות נפוצה: לענות 20 - לשכוח שקופסה ב' לא התרוקנה, כי עדיין אפשר לבחור בה ולהוציא ממנה כרטיס.

המשיק בנקודה D מאונך לרדיוס OD, כלומר לישר AD: $\angle ADE=90^\circ$. לכן $\angle EDB=90^\circ-\angle ADB=90^\circ-\alpha$.

CD קוטר, ולכן $\angle CBD=90^\circ$. הזווית בין המשיק BA למיתר BC: $\angle ABC=\angle BDC=\alpha$. לכן $\angle ABD=90^\circ+\alpha$, ו-A, B, E על ישר אחד:

(או: $EB=ED$ - שני משיקים מהנקודה E - ולכן במשולש BDE זוויות הבסיס שוות.)

במשולש BDE: $\angle BED=180^\circ-2(90^\circ-\alpha)=2\alpha$, וזו גם $\angle AED$ (B על הקטע AE).

במשולש ADE: $\angle DAE=180^\circ-90^\circ-2\alpha=90^\circ-2\alpha$.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle EDB=\alpha$ (לבלבל עם $\angle ADB$), ומכאן $\angle AED=180^\circ-2\alpha$ - DE מאונך ל-AD, ולכן $\angle EDB$ משלימה את $\alpha$ ל-$90^\circ$.

במשולשים ABC ו-ADB: $\angle A$ משותפת, ו-$\angle ABC=\angle ADB=\alpha$ (זווית בין משיק למיתר).

לכן $\Delta ABC\sim\Delta ADB$, בהתאמה $A\leftrightarrow A$, $B\leftrightarrow D$, $C\leftrightarrow B$:

והשוויון הראשון והאחרון הוא הטענה.

טעות נפוצה: להתאים את C ל-D (לפי סדר האותיות) ולכתוב $\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AD}$ - שוויון שאינו נכון כי $AB\ne AC$.

EB ו-ED משיקים מהנקודה E, ולכן $EB=ED=12$, ו-$AE=AB+BE=8+12=20$.

במשולש ADE ($\angle ADE=90^\circ$): $AD=\sqrt{AE^2-DE^2}=\sqrt{400-144}=16$.

משפט המשיק והחותך: $AB^2=AC\cdot AD$, כלומר $64=AC\cdot16$, ו-$AC=4$.

$CD=AD-AC=12$, ולכן $R=6$.

טעות נפוצה: לכתוב $AB^2=AC\cdot CD$, כלומר $AC(16-AC)=64$, ולקבל $AC=8$, $R=4$ - במשפט מכפילים את כל החותך AD בחלקו החיצוני AC.

$\angle EDO=90^\circ$ (משיק מאונך לרדיוס), $\angle DBC=90^\circ$ (זווית היקפית על הקוטר).

המרכז O נמצא על חוצה הזווית שבין שני המשיקים EB ו-ED (המשולשים EBO ו-EDO חופפים לפי צ.צ.צ: $EB=ED$, $OB=OD$, EO משותפת). לפי סעיף א, $\angle BED=\angle AED=2\alpha$, ולכן:

לכן $\Delta EDO\sim\Delta DBC$ (ז.ז), בהתאמה $E\leftrightarrow D$, $D\leftrightarrow B$, $O\leftrightarrow C$.

טעות נפוצה: לחפש זווית משותפת ב-D לשני המשולשים - אין כזו; הזווית השווה ל-$\alpha$ במשולש EDO נמצאת ב-E.

היתרים מתאימים: EO במשולש EDO ו-DC במשולש DBC.

$EO=\sqrt{ED^2+OD^2}=\sqrt{144+36}=6\sqrt5$, $DC=2R=12$.

לכן $S_{EDO}=\frac54S$. (בדיקה: $S_{EDO}=\frac12\cdot12\cdot6=36$; $\tan\alpha=\frac{OD}{ED}=\frac12$, $BD=12\cos\alpha=\frac{24}{\sqrt5}$, $BC=\frac{12}{\sqrt5}$, $S=\frac12\cdot\frac{288}{5}=28.8$, ו-$\frac{36}{28.8}=\frac54$.)

טעות נפוצה: לקחת את יחס הדמיון עצמו כיחס השטחים ולכתוב $S_{EDO}=\frac{\sqrt5}{2}S\approx1.12S$.