בגרות במתמטיקה 571 - קיץ 2021 מועד א'

מעבירים את המיתר $BC$.

הנקודות $C$, $P$, $D$ על ישר אחד, ולכן $\sphericalangle BPD$ היא זווית חיצונית של המשולש $BPC$. זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה:

(הנקודה $P$ על המיתר $AB$ ועל המיתר $CD$, ולכן $\sphericalangle PBC=\sphericalangle ABC$ ו-$\sphericalangle PCB=\sphericalangle DCB$.)

$\sphericalangle ABC$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $AC$, ולכן $\sphericalangle ABC=\frac{AC}{2}$.

$\sphericalangle DCB$ היא זווית היקפית הנשענת על הקשת $BD$, ולכן $\sphericalangle DCB=\frac{BD}{2}$.

מכאן:

טעות נפוצה: להתייחס ל-$\sphericalangle BPD$ כאל זווית היקפית ולכתוב $\sphericalangle BPD=\frac{BD}{2}$. הקודקוד $P$ נמצא בתוך המעגל ולא עליו, ולכן חסרה בתשובה הזו מחצית הקשת $AC$.

בודקים ערכים קטנים של $n$.

$n=1$: אגף שמאל הוא $\frac{1}{2\cdot3}=\frac16$. טענה I נותנת $\frac{1}{6}$, וגם טענה II נותנת $\frac{1}{3\cdot2}=\frac16$. הערך $n=1$ לא מכריע.

$n=2$: אגף שמאל הוא $\frac16+\frac1{12}=\frac14$. טענה I נותנת $\frac{2}{8}=\frac14$, וטענה II נותנת $\frac{2}{9}\neq\frac14$.

לכן טענה II אינה נכונה, והטענה הנכונה היא טענה I.

הוכחה באינדוקציה של טענה I:

בסיס: עבור $n=1$ שני האגפים שווים ל-$\frac16$.

הנחה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac{1}{2\cdot3}+...+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k}{2k+4}$.

צעד: צריך להראות שעבור $n=k+1$ הסכום שווה ל-$\frac{k+1}{2(k+1)+4}=\frac{k+1}{2k+6}$.

במעבר מ-$k$ ל-$k+1$ נוסף האיבר $\frac{1}{(k+2)(k+3)}$. לפי ההנחה:

מפרקים את המונה: $k^2+3k+2=(k+1)(k+2)$, ומצמצמים:

לפי עקרון האינדוקציה, טענה I נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לבדוק רק את $n=1$, שבו שתי הטענות נותנות $\frac16$, ולבחור בטענה II. טענה II נכשלת כבר ב-$n=2$, כי $\frac29\neq\frac14$.

שתי פונקציות זהות אם יש להן אותו תחום הגדרה ואותו ערך בכל נקודה בתחום.

I. $f(x)=\sqrt{x+1}\cdot\sqrt{x-3}$ מוגדרת כששני השורשים מוגדרים: $x\ge-1$ וגם $x\ge3$, כלומר $x\ge3$.

$h(x)=\sqrt{(x+1)(x-3)}$ מוגדרת כאשר $(x+1)(x-3)\ge0$, כלומר $x\le-1$ או $x\ge3$.

למשל $h(-2)=\sqrt{(-1)\cdot(-5)}=\sqrt5$, אבל $f(-2)$ אינו מוגדר. תחומי ההגדרה שונים, ולכן הטענה אינה נכונה.

II. $f(x)=x\sqrt{x+1}$ מוגדרת עבור $x\ge-1$. $h(x)=\sqrt{x^2(x+1)}$ מוגדרת כאשר $x^2(x+1)\ge0$, וכיוון ש-$x^2\ge0$ זה קורה כאשר $x\ge-1$. התחומים שווים.

אבל $\sqrt{x^2(x+1)}=\sqrt{x^2}\cdot\sqrt{x+1}=|x|\sqrt{x+1}$, וזה שווה ל-$x\sqrt{x+1}$ רק כאשר $x\ge0$ (או $x=-1$).

למשל עבור $x=-0.75$: $f(-0.75)=-0.75\cdot\sqrt{0.25}=-0.375$, ואילו $h(-0.75)=0.375$. לכן הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: להשתמש בכלל $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ בלי תנאים ולקבוע ששתי הטענות נכונות. הכלל תקף רק כאשר $a\ge0$ וגם $b\ge0$, ו-$\sqrt{x^2}=|x|$ ולא $x$.

לפי המשפט היסודי של החדו"א, $h'(a)=f(a)$.

$h$ עולה כאשר $h'(a)>0$, כלומר כאשר $f(a)>0$.

לפי הגרף, $f(x)>0$ בתחום $-5<x<0$ ו-$f(x)<0$ בתחום $0<x<5$.

$h$ מוגדרת רק עבור $a>-4$, ולכן $h$ עולה בתחום $-4<a<0$ (ויורדת בתחום $0<a<5$).

טעות נפוצה: לשכוח את התנאי $a>-4$ ולענות $-5<a<0$. עבור $a\le-4$ הפונקציה $h$ אינה מוגדרת.

$h'(a)=f(a)$, ולכן $h''(a)=f'(a)$.

$h$ קעורה כלפי מעלה כאשר $h''(a)>0$, כלומר כאשר $f$ עולה; וקעורה כלפי מטה כאשר $f$ יורדת.

לפי הגרף, ל-$f$ מקסימום ב-$x=-3$ ומינימום ב-$x=3$: $f$ עולה בתחומים $-5<x<-3$ ו-$3<x<5$, ויורדת בתחום $-3<x<3$.

עם התנאי $a>-4$:

קעורה כלפי מעלה: $-4<a<-3$ ו-$3<a<5$. קעורה כלפי מטה: $-3<a<3$.

טעות נפוצה: להחליף את הכיוונים ולקבוע ש-$h$ קעורה כלפי מעלה איפה ש-$f$ יורדת, ולקבל קעירות כלפי מעלה ב-$-3<a<3$. קעירות כלפי מעלה פירושה ש-$h'$ עולה, ו-$h'=f$.

עבור $n\ge2$ האיבר ה-$n$-י הוא ההפרש בין סכום $n$ האיברים הראשונים לסכום $n-1$ האיברים הראשונים: $a_n=S_n-S_{n-1}$.

טעות נפוצה: לפתוח $(n-1)^2$ כ-$n^2-1$, ולקבל $a_n=k-p$ - סדרה קבועה.

הנוסחה $a_n=S_n-S_{n-1}$ נגזרה רק עבור $n\ge2$ (אין $S_0$ בסדרה), ולכן צריך לבדוק את $n=1$ בנפרד.

האיבר הראשון שווה לסכום של איבר אחד: $a_1=S_1=k\cdot1^2-p\cdot1=k-p$.

הצבת $n=1$ בנוסחה מ-א(1): $a_1=2k\cdot1-k-p=k-p$.

שתי הדרכים נותנות אותו ערך, ולכן הנוסחה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לבדוק את הנוסחה בהצבת $n=0$ ("האיבר שלפני הראשון"), לקבל $2k\cdot0-k-p=-k-p\neq k-p$, ולהסיק בטעות שהנוסחה אינה נכונה עבור $n=1$. האיבר הראשון הוא $a_1$, ומציבים $n=1$.

לכל $n$ טבעי:

ההפרש בין כל שני איברים עוקבים קבוע (אינו תלוי ב-$n$), ולכן הסדרה חשבונית עם הפרש $d=2k$.

טעות נפוצה: לקחת את $S_2$ במקום $a_2$ ולחשב $d=S_2-a_1=(4k-2p)-(k-p)=3k-p$. $S_2$ הוא סכום שני האיברים, ו-$a_2=S_2-S_1=3k-p$ - ממנו מחסרים את $a_1$ ומקבלים $2k$.

עם $k=1.5$: $d=2k=3$.

המנה של $c_n$ היא $\frac{2}{d}=\frac{2}{3}$.

סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת כאשר $|q|<1$, ו-$\left|\frac23\right|<1$. לכן $c_n$ מתכנסת.

טעות נפוצה: לקחת את המנה של $b_n$ ($q=d=3$) במקום המנה של $c_n$, ולהסיק ש-$c_n$ אינה מתכנסת.

האיבר הראשון: $a_1=k-p=1.5-4.5=-3$, ולכן $b_1=c_1=-3$.

סכום $m$ האיברים הראשונים של $b_n$ ($q=3$):

סכום כל איברי $c_n$ ($q=\frac23$):

היחס:

$3^m-1=242$, כלומר $3^m=243=3^5$, ולכן $m=5$.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחה $\frac{b_1(q^{m-1}-1)}{q-1}$ (מעריך $m-1$ במקום $m$), ולקבל $3^{m-1}=243$, כלומר $m=6$.

$c_1=-3<0$ והמנה $q=\frac23$ מקיימת $0<q<1$.

כל האיברים שליליים: $c_n=-3\cdot\left(\frac23\right)^{n-1}$, והערך המוחלט שלהם קטן מאיבר לאיבר: $-3,\ -2,\ -\frac43,\ \dots$

מספר שלילי שהערך המוחלט שלו קטן - גדל. לכן $c_n$ סדרה עולה.

טעות נפוצה: לקבוע שהסדרה יורדת כי $0<q<1$. זה נכון רק כאשר האיבר הראשון חיובי; כאן $c_1<0$.

נסמן את מספר המורים ב-$T$. אז מספר התלמידים $9T$, וסך המשתתפים $10T$.

מורים שנבדקו: $0.8T$.

נסמן ב-$X$ את מספר הנבדקים. $\frac{13}{15}$ מהם תלמידים, ולכן $\frac{2}{15}$ מהם מורים:

תלמידים שנבדקו: $6T-0.8T=5.2T$. תלמידים שלא נבדקו: $9T-5.2T=3.8T$.

טעות נפוצה: לקרוא את הנתון $\frac{13}{15}$ כ"$\frac{13}{15}$ מהתלמידים נבדקו", לקבל $\frac{13}{15}\cdot9T=7.8T$ תלמידים שנבדקו, ומכאן הסתברות $\frac{1.2T}{10T}=0.12$. הנתון מדבר על החלק של התלמידים מתוך הנבדקים.

מהטבלה, ההסתברות שמשתתף אקראי נבדק היא $\frac{6T}{10T}=0.6$. בית הספר גדול מאוד, ולכן הבחירות בלתי תלויות - 5 ניסויי ברנולי עם $p=0.6$.

טעות נפוצה: לחשב רק את $P(4)=0.2592$ ולשכוח את המקרה שכל החמישה נבדקו.

נסמן: $A$ - לפחות 4 נבדקו, $B$ - לפחות אחד נבדק.

$P(B)=1-P(\text{אף אחד לא נבדק})=1-0.4^5=0.98976$.

המאורע $A$ מוכל ב-$B$ (אם לפחות 4 נבדקו, בוודאי לפחות אחד נבדק), ולכן $P(A\cap B)=P(A)=0.33696$.

טעות נפוצה: לחשב את המשלים עם ההסתברות הלא נכונה, $P(B)=1-0.6^5=0.92224$, ולקבל $\frac{0.33696}{0.92224}\approx0.3654$. "אף אחד לא נבדק" פירושו שכל אחד מהחמישה לא נבדק, בהסתברות 0.4.

נסמן: $E$ - בדיוק 2 נבדקו, $F$ - האחרון נבדק.

$E\cap F$: האחרון נבדק, ומבין 4 הראשונים בדיוק אחד נבדק:

(בהינתן שבדיוק 2 נבדקו, כל אחד מ-10 הסידורים של שני הנבדקים בין 5 המקומות שווה הסתברות, ובארבעה מהם האחרון נבדק.)

טעות נפוצה: להתעלם מהמידע ולענות $P(F)=0.6$ - ההסתברות שמשתתף אקראי נבדק. בהינתן שרק 2 מתוך 5 נבדקו, הסיכוי של מקום מסוים קטן יותר.

$MB$ ו-$MA$ הם שני משיקים למעגל השמאלי היוצאים מהנקודה $M$, ולכן $MB=MA$.

$MA$ ו-$MC$ הם שני משיקים למעגל הימני היוצאים מ-$M$, ולכן $MA=MC$.

המשולשים $MAB$ ו-$MAC$ שווי-שוקיים. נסמן $\sphericalangle MBA=\sphericalangle MAB=\alpha$ ו-$\sphericalangle MCA=\sphericalangle MAC=\beta$.

סכום הזוויות במשולש $ABC$: $\alpha+(\alpha+\beta)+\beta=180^\circ$, ולכן $\alpha+\beta=90^\circ$, כלומר $\sphericalangle BAC=90^\circ$.

(דרך אחרת: $MB=MC=MA$, כלומר $AM$ תיכון לצלע $BC$ השווה למחצית הצלע, ולכן המשולש ישר-זווית ב-$A$.)

טעות נפוצה: להסתפק ב-$MB=MA$ (משיקים למעגל אחד) ולהסיק מזה ש-$M$ אמצע $BC$. צריך גם את $MA=MC$ מהמעגל השני.

לפי סעיף א, המשולש $BAC$ ישר-זווית ב-$A$, ולפי משפט פיתגורס $AB^2+AC^2=BC^2$.

מסעיף א גם $MB=MA=MC$, ולכן $BC=MB+MC=2AM$.

טעות נפוצה: לכתוב את משפט פיתגורס כאילו $AM$ הוא היתר, $AM^2=AB^2+AC^2$, ולאבד את הגורם 4. היתר הוא $BC=2AM$.

לפי סעיף ב: $4AM^2=6^2+8^2=100$, ולכן $AM=5$, וגם $MB=5$.

$OB=OA$ (רדיוסים) ו-$MB=MA$, ולכן $OBMA$ דלתון, והאלכסון $OM$ הוא אנך אמצעי לאלכסון $AB$. נסמן ב-$N$ את נקודת החיתוך: $AN=\frac{AB}{2}=4$, ו-$AN\perp OM$.

במשולש $ANM$: $MN=\sqrt{5^2-4^2}=3$.

$OA\perp AM$ (רדיוס מאונך למשיק), ולכן המשולש $OAM$ ישר-זווית ב-$A$ ו-$AN$ הוא הגובה ליתר. לפי היחסים במשולש ישר-זווית:

טעות נפוצה: לחשוב ש-$AB$ הוא קוטר של המעגל השמאלי ולענות $R=\frac{AB}{2}=4$. $AB$ הוא מיתר שאינו עובר במרכז.

$OB\perp BM$ (רדיוס מאונך למשיק), ולכן:

המשולש $AMC$ שווה-שוקיים: $MA=MC=5$ ו-$AC=6$. הגובה מ-$M$ לבסיס $AC$ חוצה אותו: $\sqrt{5^2-3^2}=4$.

טעות נפוצה: לחשב את שטח $AMC$ כאילו הזווית ב-$M$ ישרה, $\frac12\cdot5\cdot5=12.5$, ולקבל יחס $\frac43$.

$DB$ משיק למעגל ב-$B$, ו-$OB$ רדיוס לנקודת ההשקה, ולכן $OB\perp DB$: $\sphericalangle OBD=90^\circ$. מאותה סיבה $\sphericalangle OCD=90^\circ$.

במרובע $OBDC$ הזוויות $B$ ו-$C$ נגדיות, וסכומן $90^\circ+90^\circ=180^\circ$. מרובע שבו סכום זוג זוויות נגדיות הוא $180^\circ$ - אפשר לחסום אותו במעגל.

טעות נפוצה: לחשוב שהקוטר של המעגל הזה הוא $BC$, הקטע שמחבר את שני קודקודי הזוויות הישרות - הזווית הישרה $\sphericalangle OBD$ נשענת על $OD$, ולכן $OD$ הוא הקוטר.

$DB=DC$ (משיקים מאותה נקודה) ו-$OB=OC$ (רדיוסים). לכן $O$ ו-$D$ נמצאות שתיהן על האנך האמצעי של $BC$, כלומר $OD\perp BC$, ו-$\sphericalangle DMC=90^\circ$.

$CE\perp AB$, ו-$D$ על $AB$, ולכן $\sphericalangle DEC=90^\circ$.

הנקודות $M$ ו-$E$ רואות את הקטע $DC$ בזווית ישרה, ולכן שתיהן על המעגל שקוטרו $DC$ (ובמרובע $MDEC$ הן קודקודים נגדיים, וסכום הזוויות בהן $180^\circ$).

טעות נפוצה: לקחת את $ME$ (הקטע בין קודקודי הזוויות הישרות) כקוטר המעגל - הקוטר הוא הצלע ששתי הזוויות הישרות נשענות עליה, $DC$.

זוויות: $\sphericalangle DBC=\alpha$ היא זווית בין המשיק למיתר $BC$, ולכן היא שווה לזווית היקפית על הקשת $BC$ - והזווית המרכזית $\sphericalangle BOC=2\alpha$. $OD$ חוצה את $\sphericalangle BOC$ (המשולשים $OBD$, $OCD$ חופפים), ולכן $\sphericalangle BOD=\alpha$.