בגרות במתמטיקה 571 - חורף 2022 מועד נבצרים

נסמן את הפרש הסדרה ב-$d$: $a_2=a_1+d$, $a_3=a_1+2d$, $a_4=a_1+3d$.

לכן $a_1+a_4=2a_1+3d$ וגם $a_2+a_3=2a_1+3d$ - סכום שני האיברים הקיצוניים שווה לסכום שני האיברים האמצעיים.

סכום הזוויות במרובע הוא $360^\circ$, כלומר $(a_1+a_4)+(a_2+a_3)=360^\circ$. שני הסכומים שווים, ולכן כל אחד מהם $180^\circ$.

לפי הנתון $\angle A=a_1$ ו-$\angle C=a_4$, ולכן $\angle A+\angle C=a_1+a_4=180^\circ$.

$A$ ו-$C$ הן זוויות נגדיות במרובע, וסכומן $180^\circ$ - לכן (לפי המשפט ההפוך למרובע חסום) אפשר לחסום את המרובע ABCD במעגל.

טעות נפוצה: לזווג את הזוויות לפי סדר האיברים בסדרה, $\angle A+\angle C=a_1+a_3$, ולהסיק ש"$a_1+a_3<a_2+a_4$ ולכן המרובע אינו בר-חסימה" - אבל לפי הנתון $\angle C=a_4$ ולא $a_3$.

בקומה ה-$k$ מלמעלה יש ריבוע של $k\times k$ קוביות, כלומר $k^2$ קוביות (במגדל הנתון: 1, 4, 9, 16, 25).

במגדל בן 7 קומות יש $1^2+2^2+\ldots+7^2$ קוביות. מציבים $n=7$ בנוסחה הנתונה:

טעות נפוצה: לסכם את אורכי הצלעות של הקומות במקום את מספרי הקוביות, $1+2+\ldots+7=28$ - בקומה שצלעה $k$ יש $k^2$ קוביות, לא $k$.

במגדל בן 10 קומות יש את הקומות $1^2,2^2,\ldots,10^2$. במגדל בן 100 קומות יש את הקומות $1^2,2^2,\ldots,100^2$.

הקומות הקיימות נשארות, וצריך להוסיף מתחתן את הקומות $11^2,12^2,\ldots,100^2$. מספר הקוביות שמוסיפים הוא הפרש הסכומים:

טעות נפוצה: לחסר את הסכום עד הקומה ה-11 (כלומר $338350-506=337844$) - כך "נעלמת" הקומה ה-11, שגם אותה צריך להוסיף.

$\cos(\pi-x)=-\cos x$, ומאחר שקוסינוס זוגית גם $\cos(x-\pi)=\cos(\pi-x)=-\cos x$.

לכן הסוגריים שווים ל-$-\cos x-\cos x=-2\cos x$, ובריבוע: $4\cos^2x$.

$\sin(-x)=-\sin x$, ולכן $(\sin(-x))^2=\sin^2x$.

$f(x)=-1$ לכל $x$, כלומר הגרף הוא הישר $y=-1$, ואין לו נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos(\pi-x)=\cos x$, כך שהסוגריים מתאפסים ו-$f(x)=4\sin^2x-5$; ואז לפתור $\sin x=\pm\frac{\sqrt5}{2}$ ולענות שיש נקודות חיתוך - בלי לשים לב ש-$\frac{\sqrt5}{2}>1$.

$\frac{1}{g(x)}$ מוגדרת כאשר $g(x)$ מוגדרת וגם $g(x)\neq0$.

$g(x)$ מוגדרת עבור $x\neq-1$, $x\neq1$, והיא מתאפסת רק בנקודה $C(2,0)$, כלומר ב-$x=2$.

תחום ההגדרה: $x\neq-1$, $x\neq1$, $x\neq2$.

טעות נפוצה: להעתיק את תחום ההגדרה של $g$ ולכתוב רק $x\neq\pm1$ - בנקודה $x=2$ המכנה $g(x)$ מתאפס.

בנקודת מפגש $g(x)=\frac{1}{g(x)}$, כלומר $g^2(x)=1$: $g(x)=1$ או $g(x)=-1$.

$g(x)=1$: בענף האמצעי ($-1<x<1$) הערך הקטן ביותר הוא 1, במינימום A, ולכן שם $g=1$ רק ב-A. בענף הימני ($x>1$) הערך הגדול ביותר הוא 1, במקסימום B, ולכן שם $g=1$ רק ב-B. בענף השמאלי $g<0$. סך הכול 2 נקודות.

$g(x)=-1$: בענף השמאלי ($x<-1$) הגרף יורד מ-0 (האסימפטוטה $y=0$) ל-$-\infty$ (ליד $x=-1$), ולכן מקבל את הערך $-1$ פעם אחת. בענף הימני הגרף עולה מ-$-\infty$ (ליד $x=1$) עד 0 בנקודה C, ולכן מקבל את הערך $-1$ פעם אחת; אחרי C הגרף חיובי. בענף האמצעי $g\ge1$. סך הכול 2 נקודות.

בסך הכול: 4 נקודות מפגש.

טעות נפוצה: לפתור רק $g(x)=1$ (לשכוח את הפתרון השלילי של $g^2=1$) ולענות 2 נקודות - A ו-B.

כל איברי A שונים מאפס, ולכן ההופכיים מוגדרים ושונים מאפס.

מנת שני איברים עוקבים בסדרת ההופכיים:

המנה קבועה (אינה תלויה ב-$n$), ולכן זו סדרה הנדסית שאיברה הראשון $\frac{1}{a_1}$ ומנתה $\frac{1}{q}$.

טעות נפוצה: לכתוב שהמנה של סדרת ההופכיים היא $q$ - למשל עבור $2,6,18,\ldots$ ההופכיים $\frac12,\frac16,\frac1{18}$ קטנים פי 3 בכל צעד, כלומר המנה $\frac13$.

מקרה $q\neq1$. לפי סעיף א, סדרת ההופכיים הנדסית עם איבר ראשון $\frac{1}{a_1}$ ומנה $\frac{1}{q}\neq1$:

אגף שמאל: $S_n=\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ ו-$a_n=a_1q^{n-1}$, ולכן:

שני האגפים שווים לאותו ביטוי.

מקרה $q=1$: כל האיברים שווים ל-$a_1$, ואז $\frac{S_n}{a_1a_n}=\frac{na_1}{a_1^2}=\frac{n}{a_1}$, וגם סכום ההופכיים הוא $n\cdot\frac{1}{a_1}$.

טעות נפוצה: לחשב את סכום ההופכיים עם המנה $q$ במקום $\frac{1}{q}$, כלומר $\frac{1}{a_1}\cdot\frac{q^n-1}{q-1}=\frac{S_n}{a_1^2}$ - ואז אגף ימין יוצא $\frac{S_n}{a_1^2}$ ולא $\frac{S_n}{a_1a_n}$.

לפי ב(1), $\frac{S_n}{\frac{1}{a_1}+\ldots+\frac{1}{a_n}}=a_1\cdot a_n$. לכן $a_1a_n=6561$.

$a_1a_n=1\cdot3^{n-1}=3^{n-1}$, ו-$6561=3^8$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_n=3^n$ (מעריך $n$ במקום $n-1$), לפתור $3^n=6561$ ולקבל $n=8$.

$b_k=(-1)^{k-1}a_k=(-1)^{k-1}a_1q^{k-1}=a_1(-q)^{k-1}$. לכן B היא סדרה הנדסית עם איבר ראשון $a_1$ ומנה $-q$, וכל איבריה שונים מאפס.

ההוכחה בסעיף ב(1) השתמשה רק בכך שהסדרה הנדסית ואיבריה שונים מאפס, ולכן היא נכונה גם לסדרה B:

$\frac{1}{b_k}=\frac{(-1)^{k-1}}{a_k}$: במקומות האי-זוגיים $+\frac{1}{a_k}$ ובזוגיים $-\frac{1}{a_k}$. $m$ אי-זוגי, ולכן האיבר האחרון הוא $+\frac{1}{a_m}$:

הנוסחה נכונה.

טעות נפוצה: לכתוב $b_m=-a_m$ (כאילו $m$ במקום זוגי), לקבל שאגף שמאל שווה למינוס אגף ימין, ולענות שהנוסחה אינה נכונה.

המאורע המשלים ל"לפחות שאלה אחת נכונה מבין השתיים הראשונות" הוא "נתנאל לא יודע אף אחת משתי השאלות הראשונות". יש $n-20$ שאלות שהוא לא יודע, וההוצאה בלי החזרה:

$n=70$ או $n=\frac{207}{17}\approx12.2$. מספר השאלות שלם (וגדול מ-20), ולכן $n=70$.

טעות נפוצה: להשוות את ההסתברות שנתנאל לא יודע את שתי השאלות ל-$\frac{34}{69}$ עצמו (בלי המשלים) - מתקבלת משוואה שאין לה פתרון שלם ($n\approx67.6$).

נתנאל מתקבל אם הוא יודע 2 או 3 מתוך שלוש השאלות (מאורעות זרים).

שלוש שאלות ידועות:

בדיוק שתיים ידועות: לכל סידור (השאלה הלא ידועה ראשונה, שנייה או שלישית) אותה הסתברות, ויש 3 סידורים:

טעות נפוצה: לחשב רק את הסידור "ידוע, ידוע, לא ידוע" בלי לכפול ב-3, ולקבל $\frac{57}{2737}+\frac{475}{8211}=\frac{38}{483}$.

אם נתנאל התקבל ולא ידע את השאלה הראשונה, הוא חייב לדעת את השנייה ואת השלישית - מסלול יחיד:

טעות נפוצה: לעצור במכפלה $\frac{475}{8211}$ בלי לחלק בהסתברות ההתקבלות - זו הסתברות החיתוך, לא ההסתברות המותנית.

המכנים שווים, ולכן היחס:

ההסתברות של רמי גדולה פי $8.67$ בערך, לא פי 2. (הכפלת מספר השאלות שיודעים מגדילה כל אחד משלושת הגורמים, ולכן המכפלה גדלה הרבה יותר.)

טעות נפוצה: לחשוב שאם רמי יודע פי 2 שאלות, גם ההסתברות שלו גדולה פי 2, ולענות "כן".

נסמן $AL=LK=KC=t$, כך ש-$AC=3t$.

נוריד את הגובה BM לבסיס. במשולש שווה-שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון, ולכן $AM=MC=1.5t$.

$DK\perp AC$ וגם $BM\perp AC$, ולכן $DK\parallel BM$.

$MK=MC-KC=1.5t-t=0.5t$.

לפי משפט תאלס במשולש BMC (הישר DK מקביל לצלע BM):

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\frac{AK}{KC}=2$ כאילו $DK\parallel BA$, ולקבל $\frac{BD}{DC}=2$ - אבל $DK$ מקביל לגובה $BM$, לא לשוק.

$BE=BD$: באותו אופן כמו בסעיף א, במשולש BMA ($EL\parallel BM$, $ML=0.5t$, $LA=t$) מתקבל $\frac{BE}{EA}=\frac12$. לכן $BE=\frac13BA$ ו-$BD=\frac13BC$, ומאחר ש-$BA=BC$, $BE=BD$.

EDKL מלבן: המשולשים AEL ו-CDK חופפים (ז.צ.ז: $AL=CK=t$, $\angle A=\angle C$ כזוויות בסיס, $\angle ALE=\angle CKD=90^\circ$), ולכן $EL=DK$. $EL\parallel DK$ (שניהם מאונכים ל-AC). מרובע שבו זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות הוא מקבילית, ומקבילית עם זווית ישרה ($\angle L=90^\circ$) היא מלבן.

$GE=GD$: G היא נקודת המפגש של האלכסונים DL ו-EK של המלבן. במלבן האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן $GE=\frac12EK=\frac12DL=GD$.

במרובע BDGE יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ($BE=BD$, $GE=GD$) - הוא דלתון.

טעות נפוצה: להסיק ש-EDKL מלבן רק מכך ש-$EL\parallel DK$ - זוג אחד של צלעות מקבילות נותן רק טרפז; צריך גם $EL=DK$.

$AC=45$, ולכן $AL=LK=KC=15$.

EDKL מלבן (סעיף ב), ולכן $ED=LK=15$ ו-$EL=DK$. מההיקף: $2\cdot15+2DK=54$, כלומר $DK=12$.

$MC=22.5$. לפי דמיון המשולשים CDK ו-CBM ($DK\parallel BM$):

M היא אמצע AC וגם אמצע LK, ולכן הישר BM הוא ציר הסימטריה של המלבן EDKL, ומרכז המלבן G נמצא עליו. G היא אמצע האלכסון, ולכן גובהה מעל הבסיס הוא $\frac12DK=6$.

טעות נפוצה: להציב את G בגובה הצלע ED ($BG=BM-DK=6$) - G היא מרכז המלבן, באמצע הגובה שלו.

תהי F נקודה כלשהי על הישר BG. הישר BG הוא ציר הסימטריה של המשולש (חוצה הזווית B), ו-$BE=BD$; לכן המשולשים BEF ו-BDF חופפים (צ.ז.צ), ו-$\angle BEF=\angle BDF$.

BDFE בר-חסימה אם ורק אם $\angle BEF+\angle BDF=180^\circ$, כלומר אם ורק אם $\angle BDF=90^\circ$.

נעביר דרך D אנך לשוק BC. הוא אינו מקביל לישר BG, כי $\angle DBG$ (חצי מזווית הראש) חדה, ולכן הוא חותך את הישר BG בנקודה F.

בנקודה זו $\angle BDF=\angle BEF=90^\circ$, סכומן $180^\circ$, ולכן המרובע BDFE בר-חסימה. התשובה: כן.

(עם הנתונים של סעיף ג, F נמצאת בגובה $2.625$ מעל הבסיס - בין G לבסיס.)

טעות נפוצה: לבדוק רק את $F=G$: $\angle BDG\neq90^\circ$, ולהסיק שאין נקודה כזו - אבל F יכולה להיות כל נקודה על הישר.

נסמן ב-$R_1$ את רדיוס המעגל החוסם את משולש $ABD$, וב-$R_2$ את רדיוס המעגל החוסם את משולש $ACD$.

הנקודות $B$, $C$, $D$ על ישר אחד, ולכן לשני המשולשים יש אותה זווית בקודקוד $D$: $\angle ADB=\angle ADC$.

במשולש $ABD$ הצלע שמול הזווית $D$ היא $AB$, ולפי משפט הסינוסים המורחב:

במשולש $ACD$ הצלע שמול הזווית $D$ היא $AC$:

המונים שווים ($AB=AC$) והמכנים שווים (אותה זווית), ולכן $2R_1=2R_2$, כלומר $R_1=R_2$.

טעות נפוצה: לכתוב במשולש $ABD$ את היחס $\frac{AB}{\sin\angle BAD}$ - הזווית $\angle BAD=3\alpha$ אינה מול $AB$; כך מקבלים $R_1=\frac{R\cos\alpha}{\sin3\alpha}$ ומסיקים בטעות שהרדיוסים שונים.

זוויות הבסיס של המשולש $ABC$: $\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-2\alpha}{2}=90^\circ-\alpha$.

$\angle ACD$ צמודה ל-$\angle ACB$: $\angle ACD=180^\circ-(90^\circ-\alpha)=90^\circ+\alpha$.

במשולש $ACD$: $\angle ADC=180^\circ-\alpha-(90^\circ+\alpha)=90^\circ-2\alpha$.

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$, והצלע $AC$ נמצאת מול הזווית $B$:

משפט הסינוסים במשולש $ACD$:

שטח המשולש $ACD$ לפי שתי צלעות והזווית שביניהן ($\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$):

מסדרים בעזרת הזווית הכפולה $2\sin\alpha\cos\alpha=\sin2\alpha$:

טעות נפוצה: לחשב את $AC$ מול הזווית $2\alpha$: $AC=2R\sin2\alpha$ - אבל מול $\angle BAC$ נמצאת הצלע $BC$, לא $AC$; כך מקבלים $S_{ACD}=R^2\sin^22\alpha\tan2\alpha$.

שטח המשולש $ABC$ לפי שתי השוקיים והזווית שביניהן:

אם $m=0.5$, אז $2\cos2\alpha=2$, כלומר $\cos2\alpha=1$, ומכאן $2\alpha=0^\circ$.

אבל $2\alpha$ היא זווית במשולש, ולכן $2\alpha>0^\circ$; וגם $\angle ADC=90^\circ-2\alpha>0^\circ$. לכן $0^\circ<2\alpha<90^\circ$, ובתחום הזה $0<\cos2\alpha<1$, כלומר $m>\frac12$ תמיד.

לא ייתכן ש-$m=0.5$.

טעות נפוצה: לפתור $\cos2\alpha=1$, לקבל $\alpha=0^\circ$ ולענות "כן, ייתכן" - בלי לבדוק שזווית של משולש חייבת להיות חיובית.

לפי ג(1):

בתחום $0^\circ<2\alpha<90^\circ$ יש פתרון אחד: $2\alpha\approx33.56^\circ$.

זווית הראש: $\angle BAC=2\alpha\approx33.56^\circ$.

זוויות הבסיס: $\angle ABC=\angle ACB=\frac{180^\circ-33.56^\circ}{2}\approx73.22^\circ$.

טעות נפוצה: לפתור את המשוואה, לקבל $\alpha\approx16.78^\circ$ ולהתייחס אליה כאל זווית הראש - ואז זוויות הבסיס יוצאות $81.61^\circ$. זווית הראש היא $2\alpha$.