מבחן לדוגמה: חשבון דיפרנציאלי: בעיות ערך קיצון - כיתה י' 4 יח"ל

נתונים שני מספרים אי-שליליים $x$ ו-$y$ שסכומם $8$. מתבוננים בביטוי $E=x^2+y^3$.

ההפרש בין שני מספרים הוא $4$ (המספר הראשון גדול מהשני ב-$4$).

נתונים גרף הפונקציה $f(x)=x^2$ והנקודה $P(3,0)$.

הקדקוד $B$ של המלבן $ABCD$ נמצא על גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{x+2}$. הצלע $AD$ מונחת על הישר $x=7$ והצלע $DC$ מונחת על ציר ה-$x$ (ראו ציור). נסמן ב-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $B$ ($-2<t<7$).

הנקודות $O(0,0)$ ו-$A(9,3)$ נמצאות על גרף הפונקציה $f(x)=\sqrt{x}$. הנקודה $P$ נמצאת על הגרף בין $O$ ל-$A$.

הקטע $AB$ אורכו $12$. הנקודה $M$ נמצאת על הקטע $AB$ (בין $A$ ל-$B$), ונסמן $AM=x$. על הקטעים $AM$ ו-$MB$ בונים משולשים שווי-צלעות $AMP$ ו-$MBQ$, שניהם באותו צד של הקטע $AB$. נתון כי $PQ^2=3x^2-36x+144$.

במשולש ישר-זווית $ABC$ ($\angle C=90^\circ$) סכום האורכים של הניצב $AC$ ושל היתר $AB$ הוא $12$ ס"מ. נסמן $AC=x$.

הפדיון של חברה ממכירת $x$ מוצרים ($x\ge0$) הוא $R(x)=k\sqrt{x}$ ₪, כאשר $k$ פרמטר חיובי. העלות הכוללת של ייצור $x$ מוצרים היא $C(x)=2x+50$ ₪.