מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בתחום פתוח ובתחום סגור - כיתה י' 4 יח"ל

מצאו את הערך הגדול ביותר ואת הערך הקטן ביותר של $f(x)$ בקטע, ואת הנקודות שבהן הם מתקבלים.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $AB$ הוא הגדול ביותר, ואת האורך הזה.

הביעו את $E$ באמצעות $x$ בלבד, וקבעו את תחום הערכים של $x$.

מצאו את שני המספרים שעבורם $E$ הוא הקטן ביותר, ואת הערך הקטן ביותר של $E$.

מצאו את שני המספרים שעבורם $E$ הוא הגדול ביותר, ואת הערך הגדול ביותר של $E$.

הביעו באמצעות $t$ את אורכי הצלעות $OB$ ו-$AB$ ואת שטח המלבן. מהו תחום הערכים של $t$?

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, והראו שזו אכן נקודת מקסימום.

מהו השטח המקסימלי? האם ייתכן מלבן כזה ששטחו 20? נמקו.

בתחום הפתוח $0<x<4$: האם יש לפונקציה ערך גדול ביותר? האם יש לה ערך קטן ביותר? אם כן, מצאו אותו ואת הנקודה שבה הוא מתקבל.

בתחום הפתוח $0<x<5$: האם יש לפונקציה ערך גדול ביותר? האם יש לה ערך קטן ביותר? אם כן, מצאו אותו ואת הנקודה שבה הוא מתקבל.

הביעו את שטח המלבן באמצעות $t$ ו-$k$, וקבעו את תחום הערכים של $t$.

נגזרת פונקציית השטח היא $S'(t)=-3t^2+2kt-2$. נתון כי שטח המלבן מקסימלי כאשר $t=2$. מצאו את $k$ ואת השטח המקסימלי.

בעבור $k$ שמצאתם, מצאו את כל הערכים האפשריים של שטח המלבן $ABCD$.