מבחן לדוגמה: בעיות ערך קיצון: יישומים - כיתה י' 5 יח"ל

מהירותו של גוף (במטרים לשנייה) $t$ שניות אחרי תחילת התנועה היא $v(t)=12t-3t^2$, עבור $0\le t\le4$.

שני כבישים ישרים נחתכים בצומת $O$ בזווית ישרה: כביש אחד בכיוון צפון-דרום, והשני בכיוון מזרח-מערב. ברגע מסוים ($t=0$) מכונית א' נמצאת $50$ ק"מ צפונית לצומת ונוסעת דרומה, לכיוון הצומת, במהירות קבועה של $60$ קמ"ש. באותו רגע מכונית ב' עוברת בצומת ונוסעת מזרחה במהירות קבועה של $80$ קמ"ש. נסמן ב-$t$ את הזמן (בשעות) מרגע זה, $0\le t\le\frac56$ (עד שמכונית א' מגיעה לצומת).

סוללה שהמתח שלה $12$ וולט וההתנגדות הפנימית שלה $3$ אוהם מחוברת לנגד שהתנגדותו $R$ אוהם ($R>0$). הזרם במעגל הוא $I=\frac{12}{R+3}$ אמפר, וההספק שמתפתח בנגד הוא $P=I^2\cdot R$ וואט.

סירה נמצאת בנקודה A בים, במרחק $3$ ק"מ מנקודה C שעל קו חוף ישר. נקודת היעד B נמצאת על קו החוף, במרחק $d$ ק"מ מ-C ($d>3$). הסירה שטה בקו ישר מ-A לנקודה P שעל החוף בין C ל-B, במהירות $3$ קמ"ש, ומ-P הולכים ברגל לאורך החוף עד B במהירות $5$ קמ"ש (ראו איור). ידוע כי משך הזמן הקצר ביותר האפשרי להגעה מ-A ל-B הוא בדיוק $2$ שעות.

מפעל מייצר ומוכר $x$ טונות של חומר ביום, עבור $0\le x\le10$. ההכנסה ממכירת $x$ טונות היא $120x$ אלפי ₪, ועלות הייצור שלהן היא $C(x)=x^3-6x^2+84x+50$ אלפי ₪.

משאית נוסעת מרחק של $400$ ק"מ במהירות קבועה של $v$ קמ"ש. עלות הדלק לשעת נסיעה היא $\frac{v^2}{100}$ ש"ח, והנהג מקבל שכר של $a$ ש"ח לשעת נסיעה. ידוע כי העלות הכוללת של הנסיעה (דלק ושכר) היא הקטנה ביותר כאשר $v=90$ קמ"ש.

חברה שוקלת קמפיין פרסום בתקציב של $x$ אלפי ₪ ($x\ge0$). לפי הערכה, הקמפיין יוסיף לחברה רווח (לפני תשלום על הפרסום) של $G(x)=\frac{900x}{x+100}$ אלפי ₪. הרווח הנקי מהקמפיין הוא הרווח הנוסף פחות תקציב הפרסום.

חנות מוכרת $1{,}200$ יחידות של מוצר בשנה, בקצב קבוע. את המוצר היא מזמינה מהספק בכמה הזמנות שוות בשנה, בכל הזמנה $x$ יחידות ($0<x\le1200$). כל הזמנה עולה $150$ ₪ (משלוח וטיפול), ללא קשר לגודלה. נוסף על כך, אחסון המוצר עולה $4$ ₪ בשנה לכל יחידה שנמצאת במלאי, ומספר היחידות הממוצע במלאי לאורך השנה הוא $\frac{x}{2}$.