שאלות פתוחות: בעיות קיצון בתנועה ובפיזיקה - כיתה י' 5 יח"ל

רקטת צעצוע משוגרת אנכית כלפי מעלה מגובה הקרקע. גובהה (במטרים) $t$ שניות אחרי השיגור הוא $h(t)=-t^3+15t^2$, עבור $0\le t\le15$ (ב-$t=15$ הרקטה חוזרת לקרקע).

שני כבישים ישרים נחתכים בצומת $O$ בזווית ישרה: כביש אחד בכיוון צפון-דרום, והשני בכיוון מזרח-מערב. ברגע מסוים ($t=0$) מכונית א' נמצאת $50$ ק"מ צפונית לצומת ונוסעת דרומה, לכיוון הצומת, במהירות קבועה של $60$ קמ"ש. באותו רגע מכונית ב' עוברת בצומת ונוסעת מזרחה במהירות קבועה של $80$ קמ"ש. נסמן ב-$t$ את הזמן (בשעות) מרגע זה, $0\le t\le\frac56$ (עד שמכונית א' מגיעה לצומת).

סירה נמצאת בנקודה A בים, במרחק $3$ ק"מ מנקודה C שעל קו חוף ישר. נקודת היעד B נמצאת על קו החוף, במרחק $d$ ק"מ מ-C ($d>3$). הסירה שטה בקו ישר מ-A לנקודה P שעל החוף בין C ל-B, במהירות $3$ קמ"ש, ומ-P הולכים ברגל לאורך החוף עד B במהירות $5$ קמ"ש (ראו איור). ידוע כי משך הזמן הקצר ביותר האפשרי להגעה מ-A ל-B הוא בדיוק $2$ שעות.

מהירותו של גוף (במטרים לשנייה) $t$ שניות אחרי תחילת התנועה היא $v(t)=12t-3t^2$, עבור $0\le t\le4$.

סוללה שהמתח שלה $12$ וולט וההתנגדות הפנימית שלה $3$ אוהם מחוברת לנגד שהתנגדותו $R$ אוהם ($R>0$). הזרם במעגל הוא $I=\frac{12}{R+3}$ אמפר, וההספק שמתפתח בנגד הוא $P=I^2\cdot R$ וואט.

סירה מנועית שטה $30$ ק"מ במעלה נהר, נגד הזרם. מהירות הזרם בנהר היא $4$ קמ"ש. מהירות הסירה ביחס למים היא $v$ קמ"ש ($v>4$), ולכן מהירותה ביחס לגדה היא $v-4$ קמ"ש. כאשר הסירה שטה במהירות $v$ ביחס למים, המנוע צורך $0.02v^3$ ליטר דלק בשעה.

גוף נע לאורך ישר. מקומו (במטרים, ביחס לנקודת המוצא) $t$ שניות אחרי תחילת התנועה הוא $s(t)=t^3-12t^2+36t$, עבור $0\le t\le8$. ערך חיובי של $s(t)$ פירושו שהגוף נמצא בצד החיובי של נקודת המוצא.