דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: הנגזרת כקצב שינוי בתופעות: מילוי, גידול וכלכלה - כיתה י' 5 יח"ל

6 שאלות פתוחות על הנגזרת כקצב שינוי בתופעות: מילוי, גידול וכלכלה (מושג הנגזרת), מהקלה לקשה. המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל לשינויים.

מבחן במתמטיקה - כיתה י' 5 יח"ל
הנגזרת כקצב שינוי בתופעות: מילוי, גידול וכלכלה
6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · קצב הגידול של מושבת חיידקיםשאלה קצרה · קלה

מספר החיידקים במושבה, tt שעות לאחר תחילת הניסוי, הוא N(t)=50t2+200t+1000N(t)=50t^2+200t+1000, עבור 0≤t≤100\le t\le10. קצב הגידול של המושבה הוא N′(t)N'(t).

מצאו את N′(t)N'(t) וחשבו את N′(3)N'(3). ציינו את היחידות, והסבירו מה התוצאה אומרת על המושבה.

שאלה 2 · מתי כמות המים במאגר יורדתשאלה קצרה · קלה

כמות המים במאגר (באלפי מ"ק), tt שעות לאחר תחילת המדידה, מתוארת על ידי V(t)=t3−15t2+48t+200V(t)=t^3-15t^2+48t+200, עבור 0≤t≤100\le t\le10.

מצאו את קצב השינוי של כמות המים, V′(t)V'(t), וקבעו באילו זמנים כמות המים במאגר יורדת ובאילו היא עולה.

שאלה 3 · קצב השינוי של ריכוז תרופה בדםשאלה קצרה · בינונית

ריכוז של תרופה בדם (במיליגרם לליטר), tt שעות לאחר נטילתה, מתואר על ידי C(t)=12t−2t2C(t)=12t-2t^2, עבור 0≤t≤60\le t\le6. שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

חשבו את C′(1)C'(1) ואת C′(5)C'(5). כתבו את היחידות, והסבירו מה כל אחד מהערכים אומר על ריכוז התרופה.

ב.

באיזה רגע הריכוז יורד בקצב של 66 מיליגרם לליטר בשעה? מהו הריכוז ברגע זה?

שאלה 4 · קצב ההתקררות של משקה חםשאלת ביניים · בינונית

כוס תה חם הונחה בחדר. הטמפרטורה של התה (במעלות צלזיוס) כעבור tt דקות היא T(t)=0.05t2−3t+80T(t)=0.05t^2-3t+80, עבור 0≤t≤300\le t\le30.

א.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה ב-1010 הדקות הראשונות. ציינו את היחידות.

ב.

מצאו את T′(t)T'(t), ומצאו באיזה רגע קצב השינוי הרגעי של הטמפרטורה שווה לקצב הממוצע שמצאתם בסעיף א.

ג.

מאיזה רגע התה מתקרר בקצב של פחות ממעלה אחת לדקה? מה הטמפרטורה של התה ברגע זה?

שאלה 5 · עלות שולית ועלות ממוצעת ליחידהשאלה קצרה · קשה

העלות הכוללת (בשקלים) של ייצור xx יחידות של מוצר ביום היא K(x)=0.5x2+10x+800K(x)=0.5x^2+10x+800, עבור x>0x>0. העלות השולית היא K′(x)K'(x): קצב השינוי של העלות הכוללת לפי מספר היחידות (בשקלים ליחידה). העלות הממוצעת ליחידה היא K(x)x\frac{K(x)}{x}.

מצאו את מספר היחידות xx שבו העלות השולית שווה לעלות הממוצעת ליחידה. מהי העלות השולית במספר יחידות זה, ומה משמעותה?

שאלה 6 · קצב הגדילה של שטח כתם מעגלישאלת ביניים · קשה

טיפת שמן נפלה על פני מים שקטים והתפשטה לכתם עגול שמרכזו בנקודת הנפילה. רדיוס הכתם (בסנטימטרים) כעבור tt שניות הוא r(t)=3tr(t)=3t.

א.

הביעו באמצעות tt את שטח הכתם A(t)A(t), וחשבו את קצב הגדילה של השטח ברגע t=2t=2. ציינו את היחידות.

ב.

הראו שבכל רגע מתקיים A′(t)=6π⋅r(t)A'(t)=6\pi\cdot r(t), כלומר קצב הגדילה של השטח שווה להיקף המעגל כפול 33 (קצב הגדילה של הרדיוס).

ג.

מה רדיוס הכתם ברגע שבו שטחו גדל בקצב של 120π120\pi סמ"ר לשנייה? באיזה רגע זה קורה?

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.