שאלות פתוחות: הנגזרת כקצב שינוי בתופעות: מילוי, גידול וכלכלה - כיתה י' 5 יח"ל

בדף הזה 7 שאלות פתוחות במתמטיקה על הנגזרת כקצב שינוי בתופעות: מילוי, גידול וכלכלה, לתלמידי כיתה י' 5 יח"ל, מתוך הנושא "מושג הנגזרת". השאלות בכמה רמות (קלה, בינונית, קשה), משאלות קצרות לתרגול מיומנות אחת ועד שאלות עם כמה סעיפים. מורים יכולים לבחור מהן שאלות, לבנות מבחן או דף עבודה, להוסיף פתרונות ולהוריד ל-Word.

7 שאלותקלה: 2בינונית: 3קשה: 2

שאלה 1 · מתי כמות המים במאגר יורדתשאלה קצרה · קלה

כמות המים במאגר (באלפי מ"ק), ttt שעות לאחר תחילת המדידה, מתוארת על ידי V(t)=t3−15t2+48t+200V(t)=t^3-15t^2+48t+200V(t)=t3−15t2+48t+200, עבור 0≤t≤100\le t\le100≤t≤10.

מצאו את קצב השינוי של כמות המים, V′(t)V'(t)V′(t), וקבעו באילו זמנים כמות המים במאגר יורדת ובאילו היא עולה.

שאלה 2 · קצב השינוי של ריכוז תרופה בדםשאלה קצרה · בינונית

ריכוז של תרופה בדם (במיליגרם לליטר), ttt שעות לאחר נטילתה, מתואר על ידי C(t)=12t−2t2C(t)=12t-2t^2C(t)=12t−2t2, עבור 0≤t≤60\le t\le60≤t≤6. שני הסעיפים שלפניכם אינם תלויים זה בזה.

א.

חשבו את C′(1)C'(1)C′(1) ואת C′(5)C'(5)C′(5). כתבו את היחידות, והסבירו מה כל אחד מהערכים אומר על ריכוז התרופה.

ב.

באיזה רגע הריכוז יורד בקצב של 666 מיליגרם לליטר בשעה? מהו הריכוז ברגע זה?

שאלה 3 · עלות שולית ועלות ממוצעת ליחידהשאלה קצרה · קשה

העלות הכוללת (בשקלים) של ייצור xxx יחידות של מוצר ביום היא K(x)=0.5x2+10x+800K(x)=0.5x^2+10x+800K(x)=0.5x2+10x+800, עבור x>0x>0x>0. העלות השולית היא K′(x)K'(x)K′(x): קצב השינוי של העלות הכוללת לפי מספר היחידות (בשקלים ליחידה). העלות הממוצעת ליחידה היא K(x)x\frac{K(x)}{x}xK(x)​.

מצאו את מספר היחידות xxx שבו העלות השולית שווה לעלות הממוצעת ליחידה. מהי העלות השולית במספר יחידות זה, ומה משמעותה?

שאלה 4 · קצב הגידול של מושבת חיידקיםשאלה קצרה · קלה

מספר החיידקים במושבה, ttt שעות לאחר תחילת הניסוי, הוא N(t)=50t2+200t+1000N(t)=50t^2+200t+1000N(t)=50t2+200t+1000, עבור 0≤t≤100\le t\le100≤t≤10. קצב הגידול של המושבה הוא N′(t)N'(t)N′(t).

מצאו את N′(t)N'(t)N′(t) וחשבו את N′(3)N'(3)N′(3). ציינו את היחידות, והסבירו מה התוצאה אומרת על המושבה.

שאלה 5 · קצב ההתקררות של משקה חםשאלת ביניים · בינונית

כוס תה חם הונחה בחדר. הטמפרטורה של התה (במעלות צלזיוס) כעבור ttt דקות היא T(t)=0.05t2−3t+80T(t)=0.05t^2-3t+80T(t)=0.05t2−3t+80, עבור 0≤t≤300\le t\le300≤t≤30.

א.

חשבו את קצב השינוי הממוצע של הטמפרטורה ב-101010 הדקות הראשונות. ציינו את היחידות.

ב.

מצאו את T′(t)T'(t)T′(t), ומצאו באיזה רגע קצב השינוי הרגעי של הטמפרטורה שווה לקצב הממוצע שמצאתם בסעיף א.

ג.

מאיזה רגע התה מתקרר בקצב של פחות ממעלה אחת לדקה? מה הטמפרטורה של התה ברגע זה?

שאלה 6 · קצב הגדילה של שטח כתם מעגלישאלת ביניים · קשה

טיפת שמן נפלה על פני מים שקטים והתפשטה לכתם עגול שמרכזו בנקודת הנפילה. רדיוס הכתם (בסנטימטרים) כעבור ttt שניות הוא r(t)=3tr(t)=3tr(t)=3t.

א.

הביעו באמצעות ttt את שטח הכתם A(t)A(t)A(t), וחשבו את קצב הגדילה של השטח ברגע t=2t=2t=2. ציינו את היחידות.

ב.

הראו שבכל רגע מתקיים A′(t)=6π⋅r(t)A'(t)=6\pi\cdot r(t)A′(t)=6π⋅r(t), כלומר קצב הגדילה של השטח שווה להיקף המעגל כפול 333 (קצב הגדילה של הרדיוס).

ג.

מה רדיוס הכתם ברגע שבו שטחו גדל בקצב של 120π120\pi120π סמ"ר לשנייה? באיזה רגע זה קורה?

שאלה 7 · הכנסה שוליתשאלה קצרה · בינונית

ההכנסה (באלפי שקלים) של חברה ממכירת xxx מכונות היא R(x)=40x−0.1x2R(x)=40x-0.1x^2R(x)=40x−0.1x2, עבור 0≤x≤2000\le x\le2000≤x≤200. ההכנסה השולית היא R′(x)R'(x)R′(x): קצב השינוי של ההכנסה לפי מספר המכונות. אין קשר בין סעיף א לסעיף ב.

א.

חשבו את R′(100)R'(100)R′(100), ציינו את היחידות והסבירו את משמעות התוצאה.

ב.

עבור אילו ערכי xxx ההכנסה השולית קטנה מ-101010 אלפי שקלים למכונה?