מבחן לדוגמה: יחס השטחים במצולעים דומים - כיתה י' 5 יח"ל

בטרפז $ABCD$ ($AB\parallel DC$) נתון: $AB=4$, $DC=10$. המשכי השוקיים $DA$ ו-$CB$ נפגשים בנקודה $P$. שטח המשולש $PAB$ הוא 8.

במשולש $ABC$ הנקודה $D$ על הצלע $BC$ והנקודה $E$ על הצלע $AC$, והמרובע $ABDE$ חסום במעגל. ידוע ש-$\triangle DEC\sim\triangle ABC$ (הקודקוד $D$ מתאים ל-$A$, ו-$E$ מתאים ל-$B$), ו-$\frac{DE}{AB}=\frac37$. שטח המרובע $ABDE$ הוא 80.

$AC$ הוא קוטר במעגל שמרכזו $O$. הישר $CD$ משיק למעגל בנקודה $C$. הנקודה $B$ נמצאת על המעגל, וידוע כי $\angle BAC=\angle ADC$ (ראו סרטוט). נתון: $AB=4$, $BC=3$.

המעגל $(x-3)^2+(y-1)^2=25$ חותך את ציר ה-$y$ בנקודות $A$ ו-$B$ ($B$ מעל $A$). הנקודות $C$ ו-$D$ נמצאות על המעגל מימין לציר ה-$y$, המיתר $CD$ מקביל לציר ה-$y$, והמיתרים $AC$ ו-$BD$ נחתכים בנקודה $E$, כמתואר בסרטוט. נתון: שטח המשולש $ABE$ גדול פי $\frac{16}{9}$ משטח המשולש $DCE$.

משולש $KLM$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. הצלע $LM$ היא קוטר במעגל. הנקודה $P$ נמצאת על המשך הצלע $MK$ (מעבר ל-$K$) כך ש-$LP=LM$. הקטע $PL$ חותך את המעגל בנקודה $Q$ (בין $P$ ל-$L$). נתון: $\frac{S_{QLMK}}{S_{PKQ}}=k$.

במשולש $\triangle ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $BC$ כך ש-$BD=t\cdot DC$ ($t>0$). הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ כך ש-$AE=3EC$, והמרובע $ABDE$ חסום במעגל.