שאלות פתוחות: יחס השטחים במצולעים דומים - כיתה י' 5 יח"ל

שאלות פתוחות בנושא יחס השטחים במצולעים דומים לכיתה י' 5 יחידות: יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון. התלמידים מחשבים שטח של טרפז מתוך משולש שנוצר מהמשכי השוקיים, עובדים עם מרובע חסום שיוצר משולשים דומים, עם מעגל במערכת צירים, עם משיק וקוטר, ועם נקודות שמחלקות צלעות ביחס עם פרמטר. רוב השאלות ברמה בינונית. מכאן מרכיבים מבחן או דף עבודה, עם פתרון מלא לכל שאלה ואפשרות להוריד ל-Word.

20 שאלותקלה: 3בינונית: 13קשה: 4

שאלה 1 · שטח המשולש הגדול מיחס הדמיוןשאלה קצרה · קלה

בטרפז ABCDABCDABCD (AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC) נתון: AB=4AB=4AB=4, DC=10DC=10DC=10. המשכי השוקיים DADADA ו-CBCBCB נפגשים בנקודה PPP. שטח המשולש PABPABPAB הוא 8.
DCPAB

חשבו את שטח המשולש PDCPDCPDC.

שאלה 2 · שטח משולש מתוך שטח המרובע שנותרשאלה קצרה · בינונית

במשולש ABCABCABC הנקודה DDD על הצלע BCBCBC והנקודה EEE על הצלע ACACAC, והמרובע ABDEABDEABDE חסום במעגל. ידוע ש-△DEC∼△ABC\triangle DEC\sim\triangle ABC△DEC∼△ABC (הקודקוד DDD מתאים ל-AAA, ו-EEE מתאים ל-BBB), ו-DEAB=37\frac{DE}{AB}=\frac37ABDE​=73​. שטח המרובע ABDEABDEABDE הוא 80.

מצאו את שטח המשולש DECDECDEC.

שאלה 3 · מיתרים נחתכים במעגל נתון במשוואה: יחס שטחיםשאלה קצרה · קשה

המעגל (x−3)2+(y−1)2=25(x-3)^2+(y-1)^2=25(x−3)2+(y−1)2=25 חותך את ציר ה-yyy בנקודות AAA ו-BBB (BBB מעל AAA). הנקודות CCC ו-DDD נמצאות על המעגל מימין לציר ה-yyy, המיתר CDCDCD מקביל לציר ה-yyy, והמיתרים ACACAC ו-BDBDBD נחתכים בנקודה EEE, כמתואר בסרטוט. נתון: שטח המשולש ABEABEABE גדול פי 169\frac{16}{9}916​ משטח המשולש DCEDCEDCE.
ABCDE

מצאו את אורך המיתר CDCDCD.

שאלה 4 · קוטר ומשיק: דמיון, צלע ויחס שטחיםשאלת ביניים · בינונית

ACACAC הוא קוטר במעגל שמרכזו OOO. הישר CDCDCD משיק למעגל בנקודה CCC. הנקודה BBB נמצאת על המעגל, וידוע כי ∠BAC=∠ADC\angle BAC=\angle ADC∠BAC=∠ADC (ראו סרטוט). נתון: AB=4AB=4AB=4, BC=3BC=3BC=3.
OACBD

א.

הוכיחו: ΔABC∼ΔDCA\Delta ABC\sim\Delta DCAΔABC∼ΔDCA.

ב.

מצאו את האורך DCDCDC ואת היחס בין שטח המשולש ABCABCABC לשטח המשולש DCADCADCA.

שאלה 5 · מרובע חסום ושני חותכים: יחסים ושטחים בפרמטרשאלת ביניים · קשה

במשולש △ABC\triangle ABC△ABC הנקודה DDD נמצאת על הצלע BCBCBC כך ש-BD=t⋅DCBD=t\cdot DCBD=t⋅DC (t>0t>0t>0). הנקודה EEE נמצאת על הצלע ACACAC כך ש-AE=3ECAE=3ECAE=3EC, והמרובע ABDEABDEABDE חסום במעגל.
ABCDE

א.

הביעו באמצעות ttt את היחס BCAC\frac{BC}{AC}ACBC​.

ב.

נתון ששטח המרובע ABDEABDEABDE גדול פי 11 משטח המשולש DECDECDEC. מצאו את ttt.

ג.

מצאו את הערך של ttt שעבורו CA=CBCA=CBCA=CB. איזה מרובע הוא ABDEABDEABDE במקרה זה? נמקו.

שאלה 6 · יחס קטעים על אלכסון מתוך יחס השטחיםשאלה קצרה · קשה

במרובע ABKCABKCABKC האלכסונים AKAKAK ו-BCBCBC נחתכים בנקודה EEE. נתון: △ABK∼△AKC\triangle ABK\sim\triangle AKC△ABK∼△AKC בהתאמה A↔AA\leftrightarrow AA↔A, B↔KB\leftrightarrow KB↔K, K↔CK\leftrightarrow CK↔C. נתון: AB=4AB=4AB=4, AC=9AC=9AC=9, AK=6AK=6AK=6.
ABKCE

מצאו את היחס BECE\frac{BE}{CE}CEBE​.

שאלה 7 · יחס שטחים במרובע חסום והתחום של היחסשאלת ביניים · קשה

משולש KLMKLMKLM חסום במעגל שרדיוסו RRR. הצלע LMLMLM היא קוטר במעגל. הנקודה PPP נמצאת על המשך הצלע MKMKMK (מעבר ל-KKK) כך ש-LP=LMLP=LMLP=LM. הקטע PLPLPL חותך את המעגל בנקודה QQQ (בין PPP ל-LLL). נתון: SQLMKSPKQ=k\frac{S_{QLMK}}{S_{PKQ}}=kSPKQ​SQLMK​​=k.
PKQLM

א.

הוכיחו כי KKK היא אמצע הקטע PMPMPM.

ב.

הביעו את KMKMKM באמצעות RRR ו-kkk.

ג.

מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (13)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

גבהים במשולשים דומים ויחס השטחים (שאלת ביניים · קלה)
$\triangle ABC\sim\triangle PQR$ (לפי סדר הקודקודים). $AD$ הוא הגובה לצלע $BC$ , ו- $PS$ הוא הגובה לצלע $QR$ …
ארבעת המשולשים בטרפז: משטח אחד לשטח כולו (שאלת ביניים · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ , ומחלקים את הטרפז לארבעה משולשים (ראו…
שני שטחים עם גובה משותף: מיחס השטחים ליחס הדמיון (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ , כך ש- $DE\parallel BC$ . מעבירים את…
קטע מקביל עם ביטויים: משוואה ריבועית ופתרון שנפסל (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ הנקודה $D$ נמצאת על הצלע $AB$ , והנקודה $E$ נמצאת על הצלע $AC$ , כך ש- $DE\parallel BC$ (ראו סרטוט).…
חוצי זוויות מתאימים במשולשים דומים (שאלת ביניים · קלה)
$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ (לפי סדר הקודקודים). $AM$ חוצה את הזווית $BAC$ (הנקודה $M$ על $BC$ ), ו- $DN$ …
מקבילית וישר מקודקוד: שני זוגות של משולשים דומים (שאלת ביניים · בינונית)
$ABCD$ היא מקבילית. הנקודה $E$ נמצאת על הצלע $BC$ . המשך הקטע $AE$ (מעבר ל- $E$ ) חותך את המשך הצלע $DC$ (מעבר…
הקטע המקביל לבסיסים דרך מפגש האלכסונים (שאלת ביניים · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) נתון: $AB=15$ ס"מ, $DC=10$ ס"מ. האלכסונים נחתכים בנקודה $O$ . דרך $O$ מעבירים…
שני משולשים דומים זה ליד זה: השטח שביניהם (שאלת ביניים · בינונית)
הנקודות $A$ , $B$ , $C$ נמצאות על ישר אחד, בסדר הזה. מעל הישר בנויים שני משולשים, $ABP$ ו- $BCQ$ , כך…
מלבן חסום במשולש: משוואה ופתרון שנפסל (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $BC=12$ ס"מ, והגובה לצלע $BC$ הוא $AH=8$ ס"מ. בתוך המשולש בנוי המלבן $DEFG$ : הקודקוד $D$ על…
חוצה זווית וישר מקביל לו: איך חוצה הזווית מחלק את הצלע (שאלת ביניים · בינונית)
במשולש $ABC$ נתון: $AB=12$ ס"מ, $AC=9$ ס"מ, $BC=14$ ס"מ. $AD$ חוצה את הזווית $BAC$ (הנקודה $D$ על $BC$ ). דרך…
אלכסוני הטרפז בביטויים: משוואה, פתרון שנפסל ואמצע אלכסון (שאלת ביניים · בינונית)
בטרפז $ABCD$ ( $AB\parallel DC$ ) האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $O$ (ראו סרטוט). האורכים בס"מ: $AO=x+2$ ,…
חיתוך משולש במקביל לבסיס לפי שטח נתון (שאלת ביניים · בינונית)
במערכת צירים נתון המשולש $ABC$ : $A(-2,12)$ , $B(-6,0)$ , $C(10,0)$ . חותכים את המשולש בישר אופקי (מקביל לבסיס…
הוכחה כללית: יחס ההיקפים ויחס השטחים (שאלה קצרה · בינונית)
$\triangle ABC\sim\triangle DEF$ (לפי סדר הקודקודים), ויחס הדמיון של $DEF$ ל- $ABC$ הוא $k$ . נסמן $BC=a$ ,…