מבחן לדוגמה: זוויות משלימות: sin(π/2−x)=cos x - כיתה י' 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י' 5 יח"ל

זוויות משלימות: sin(π/2−x)=cos x

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · מ- $f (x - \frac{π}{2})$ ל- $sin x$ : זוויות משלימות וזוגיותשאלה קצרה · קלה

נתונות הפונקציות f(x)=2cos⁡xf(x)=2\cos xf(x)=2cosx ו-g(x)=f(x−π2)g(x)=f\left(x-\frac\pi2\right)g(x)=f(x−2π​).

הראו כי g(x)=2sin⁡xg(x)=2\sin xg(x)=2sinx, וקבעו עבור כל אחת מהפונקציות fff ו-ggg אם היא זוגית, אי-זוגית או אחרת.

שאלה 2 · זוויות משלימות: זהות עם $tan (\frac{π}{2} - x)$ ובדיקת שוויון עם $x - \frac{π}{2}$ שאלה קצרה · בינונית

שני הסעיפים אינם תלויים זה בזה.

א.

הוכיחו כי לכל xxx שבעבורו sin⁡x≠0\sin x\ne0sinx=0 מתקיים: cos⁡(π2−x)⋅tan⁡(π2−x)=cos⁡x\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\cdot\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos xcos(2π​−x)⋅tan(2π​−x)=cosx.

ב.

קבעו אם השוויון sin⁡(x−π2)=cos⁡x\sin\left(x-\frac{\pi}{2}\right)=\cos xsin(x−2π​)=cosx נכון לכל xxx. נמקו.

שאלה 3 · שיקוף ביחס לישר $y = x$ במעגל היחידה: הנקודות של $\frac{π}{2} - x$ ו- $\frac{π}{2} + x$ שאלת ביניים · בינונית

הנקודה P(−725,2425)P\left(-\frac{7}{25},\frac{24}{25}\right)P(−257​,2524​) נמצאת על מעגל היחידה, והיא הנקודה המתאימה למספר xxx, כאשר 0<x<π0<x<\pi0<x<π. כלומר: cos⁡x=−725\cos x=-\frac{7}{25}cosx=−257​, sin⁡x=2425\sin x=\frac{24}{25}sinx=2524​.
הנקודה QQQ היא השיקוף של PPP ביחס לישר y=xy=xy=x, והנקודה RRR היא השיקוף של QQQ ביחס לציר ה-yyy.
y=x
PO

א.

מצאו את שיעורי הנקודה QQQ, והראו כי היא הנקודה המתאימה למספר π2−x\frac{\pi}{2}-x2π​−x על מעגל היחידה.

ב.

מצאו את tan⁡(π2−x)\tan\left(\frac{\pi}{2}-x\right)tan(2π​−x), וקבעו באיזה רביע נמצאת הנקודה QQQ.

ג.

מצאו את שיעורי הנקודה RRR, הראו כי היא הנקודה המתאימה למספר π2+x\frac{\pi}{2}+x2π​+x, והביעו את cos⁡(π2+x)\cos\left(\frac{\pi}{2}+x\right)cos(2π​+x) באמצעות sin⁡x\sin xsinx.

שאלה 4 · מ- $cos \frac{3 π}{10}$ ל- $cos \frac{4 π}{5}$ : זוויות משלימות, סימטריה וזהות יסודיתשאלה קצרה · קשה

נתון: cos⁡3π10=a\cos\frac{3\pi}{10}=acos103π​=a.

הביעו את cos⁡4π5\cos\frac{4\pi}{5}cos54π​ באמצעות aaa.

שאלה 5 · שטח מרובע שקודקוד אחד שלו נע על רבע מעגלשאלה קצרה · קשה

AOBAOBAOB הוא רבע עיגול שמרכזו OOO ורדיוסו 444 (∠AOB=90∘\angle AOB=90^\circ∠AOB=90∘). הנקודה PPP נעה על הקשת ABABAB, בין AAA ל-BBB. נסמן: ∠AOP=θ\angle AOP=\theta∠AOP=θ (0∘<θ<90∘0^\circ<\theta<90^\circ0∘<θ<90∘).
θOABP

הוכיחו כי שטח המרובע OAPBOAPBOAPB אינו עולה על 828\sqrt282​, ומצאו את θ\thetaθ שבעבורו השטח שווה ל-828\sqrt282​.

שאלה 6 · הפונקציה $sin x + cos x$ : ציר סימטריה מזהות הזוויות המשלימותשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה h(x)=sin⁡x+cos⁡xh(x)=\sin x+\cos xh(x)=sinx+cosx, המוגדרת לכל xxx.

א.

הוכיחו כי לכל xxx מתקיים h(π2−x)=h(x)h\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=h(x)h(2π​−x)=h(x).

ב.

היעזרו בסעיף א והסבירו מדוע הישר x=π4x=\frac{\pi}{4}x=4π​ הוא ציר סימטריה של גרף הפונקציה h(x)h(x)h(x).

ג.

נתון: h(π12)=62h\left(\frac{\pi}{12}\right)=\frac{\sqrt6}{2}h(12π​)=26​​. מצאו את h(5π12)h\left(\frac{5\pi}{12}\right)h(125π​) ואת h(−7π12)h\left(-\frac{7\pi}{12}\right)h(−127π​).

שאלה 1 · מ-f(x−2π​) ל-sinx: זוויות משלימות וזוגיותשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · זוויות משלימות: זהות עם tan(2π​−x) ובדיקת שוויון עם x−2π​שאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · שיקוף ביחס לישר y=x במעגל היחידה: הנקודות של 2π​−x ו-2π​+xשאלת ביניים · בינונית

שאלה 4 · מ-cos103π​ ל-cos54π​: זוויות משלימות, סימטריה וזהות יסודיתשאלה קצרה · קשה

שאלה 5 · שטח מרובע שקודקוד אחד שלו נע על רבע מעגלשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · הפונקציה sinx+cosx: ציר סימטריה מזהות הזוויות המשלימותשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד

שאלה 1 · מ- $f (x - \frac{π}{2})$ ל- $sin x$ : זוויות משלימות וזוגיותשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · זוויות משלימות: זהות עם $tan (\frac{π}{2} - x)$ ובדיקת שוויון עם $x - \frac{π}{2}$ שאלה קצרה · בינונית

שאלה 3 · שיקוף ביחס לישר $y = x$ במעגל היחידה: הנקודות של $\frac{π}{2} - x$ ו- $\frac{π}{2} + x$ שאלת ביניים · בינונית

שאלה 4 · מ- $cos \frac{3 π}{10}$ ל- $cos \frac{4 π}{5}$ : זוויות משלימות, סימטריה וזהות יסודיתשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · הפונקציה $sin x + cos x$ : ציר סימטריה מזהות הזוויות המשלימותשאלת ביניים · קשה