מבחן לדוגמה: אינטגרל של c/(ax+b)² - כיתה י"א 4 יח"ל

הראו כי $G(x)=-\frac{1}{x-2}$ היא פונקציה קדומה של $g(x)$.

מצאו את תחום ההגדרה של $f(x)$ ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

הראו כי $f'(x)=-\frac{2}{(x-1)^3}$, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של $f(x)$.

מצאו את משוואת המשיק לגרף $f(x)$ בנקודה שבה $x=2$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף $f(x)$, על ידי המשיק מסעיף ג ועל ידי הישר $x=4$.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-$x$, ציר ה-$y$ והישר $x=1$.

מצאו את הערך של $m>0$ שבעבורו השטח המוגבל על ידי הגרף, ציר ה-$x$, ציר ה-$y$ והישר $x=m$ הוא 1.

הביעו את $I(a)$ באמצעות $a$.

האם קיים ערך של $a$ שעבורו $I(a)=1$? אם כן, מצאו אותו; אם לא, נמקו. לאילו ערכים של $a$ מתקיים $I(a)>\frac{3}{4}$?

נתונה הפונקציה $g(x)$ שפונקציית הנגזרת שלה היא $g'(x)=f(x)-1$, באותו תחום הגדרה. נתון כי לפונקציה $g(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x=0$. מצאו את הערך של $a$.

הציבו $a=4$. נתון כי גרף הפונקציה $g(x)$ עובר בנקודה $(1,3)$. כתבו ביטוי אפשרי לפונקציה $g(x)$.

הניחו שהביטוי שמצאתם בסעיף ב מתאר את $g(x)$ בכל תחום ההגדרה (כלומר הקבוע זהה בשני הענפים). מצאו את נקודות הקיצון של $g(x)$ וקבעו את סוגן. הסבירו כיצד ייתכן שערך המינימום גדול מערך המקסימום.

הביעו באמצעות $a$ את תחום ההגדרה של $g(x)$, את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

מצאו באמצעות $a$ את נקודות המפגש של הגרפים של $f(x)$ ו-$g(x)$.

בנקודת המפגש שבה $x>a$ העבירו משיק לגרף של $f(x)$ ומשיק לגרף של $g(x)$. הראו כי שני המשיקים וציר ה-$x$ יוצרים משולש ששטחו אינו תלוי ב-$a$, ומצאו את שטחו.

הביעו באמצעות $a$ את השטח המוגבל על ידי הגרפים של $f(x)$, $g(x)$ וציר ה-$y$.