שאלות פתוחות: אינטגרל של c/(ax+b)² - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על אינטגרל של c/(ax+b)², לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים מוצאים פונקציה קדומה לביטויים כמו 6/(3x-1)² ו-1/(x+1)², לפעמים עם תנאי שהגרף של F עובר בנקודה נתונה. יש שאלות שבהן ערך של אינטגרל מסוים נתון ומחפשים ממנו פרמטר, ושאלות שמשלבות משיק לגרף של a/x²+3 עם חישוב שטח. הרמות הן קלה, בינונית וקשה, והמורה יכול להרכיב מהן דף עבודה או בוחן, ולקבל כל שאלה עם פתרון מלא וקובץ Word.

40 שאלותקלה: 9בינונית: 20קשה: 11

שאלה 1 · אינטגרל של c/(ax+b)²שאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=6(3x−1)2f(x)=\frac{6}{(3x-1)^2}f(x)=(3x−1)26​ בתחום x>13x>\frac13x>31​.

א.

מצאו את האינטגרל הלא מסוים ∫f(x) dx\int f(x)\,dx∫f(x)dx בתחום זה.

ב.

חשבו את ∫13f(x) dx\int_1^3f(x)\,dx∫13​f(x)dx.

שאלה 2 · אינטגרל של c/(ax+b)²שאלה קצרה · בינונית

נתון: ∫021(x+k)2 dx=23\int_0^2\frac{1}{(x+k)^2}\,dx=\frac{2}{3}∫02​(x+k)21​dx=32​, כאשר kkk פרמטר, והפונקציה 1(x+k)2\frac{1}{(x+k)^2}(x+k)21​ מוגדרת בכל הקטע 0≤x≤20\le x\le20≤x≤2.

מצאו את כל הערכים האפשריים של kkk.

שאלה 3 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ עם פרמטר: משיקים ושטחשאלה מלאה · קשה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−a)2f(x)=(x-a)^2f(x)=(x−a)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​, a>1a>1a>1 הוא פרמטר.

א.

הביעו באמצעות aaa את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), את האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים ואת תחומי העלייה והירידה שלה.

ב.

מצאו באמצעות aaa את נקודות המפגש של הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

ג.

בנקודת המפגש שבה x>ax>ax>a העבירו משיק לגרף של f(x)f(x)f(x) ומשיק לגרף של g(x)g(x)g(x). הראו כי שני המשיקים וציר ה-xxx יוצרים משולש ששטחו אינו תלוי ב-aaa, ומצאו את שטחו.

ד.

הביעו באמצעות aaa את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy.

שאלה 4 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ : אסימפטוטות ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונות הפונקציות: f(x)=(x−2)2f(x)=(x-2)^2f(x)=(x−2)2, g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) נפגשים בנקודות שבהן x=1x=1x=1 ו-x=3x=3x=3.

ג.

הפונקציה fff יורדת ב-x<2x<2x<2 ועולה ב-x>2x>2x>2. מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x).

ד.

הראו כי G(x)=−1x−2G(x)=-\frac{1}{x-2}G(x)=−x−21​ היא פונקציה קדומה של g(x)g(x)g(x).

ה.

בציור מוצגים הגרפים של f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy (השטח המקווקו בציור).

שאלה 5 · אינטגרל של c/(ax+b)²שאלה קצרה · בינונית

הפונקציה F(x)F(x)F(x) היא פונקציה קדומה של הפונקציה f(x)=1(x+1)2f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}f(x)=(x+1)21​ בתחום x>−1x>-1x>−1, וגרף F(x)F(x)F(x) עובר בראשית הצירים.

א.

מצאו את F(x)F(x)F(x).

ב.

מצאו את משוואת המשיק לגרף F(x)F(x)F(x) בנקודה שבה x=1x=1x=1, ואת נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yyy.

שאלה 6 · משיק ושטח עם פרמטרשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=ax2+3f(x)=\frac{a}{x^2}+3f(x)=x2a​+3 בתחום x>0x>0x>0, aaa הוא פרמטר חיובי. דרך הנקודה שעל גרף הפונקציה שבה x=2x=2x=2 העבירו משיק לגרף.

א.

הביעו באמצעות aaa את משוואת המשיק ואת שיעור ה-xxx של נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-xxx.

ב.

נתון כי המשיק חותך את ציר ה-xxx בנקודה שבה x=5x=5x=5. מצאו את aaa.

ג.

עבור aaa שמצאתם, חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק, ציר ה-xxx והישר x=6x=6x=6.

ד.

בסעיף זה aaa אינו נתון.

מצאו את כל ערכי aaa שבעבורם המשיק חותך את ציר ה-xxx משמאל לישר x=6x=6x=6.

שאלה 7 · משיק ושטח: פירוק לשני שלביםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+1f(x)=\frac{2}{x^2}+1f(x)=x22​+1 בתחום x>0x>0x>0.

א.

רשמו את האסימפטוטות של הפונקציה המקבילות לצירים.

ב.

הראו כי הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

ג.

מצאו את משוואת המשיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1x=1.

ד.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, ציר ה-xxx והישרים x=1x=1x=1 ו-x=4x=4x=4.

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, המשיק מסעיף ג', ציר ה-xxx והישר x=4x=4x=4. היעזרו בסעיף ד'.

שאלה 8 · הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפיםשאלה מלאה · בינונית

נתונות הפונקציות: f(x)=(x+1)2f(x)=(x+1)^2f(x)=(x+1)2, g(x)=16f(x)g(x)=\frac{16}{f(x)}g(x)=f(x)16​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של כל אחת מן הפונקציות.

(2)

מצאו את תחומי העלייה והירידה של כל אחת מן הפונקציות.

ב.

בציור מוצגים הגרפים של הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).
III

(1)

התאימו לכל פונקציה את הגרף שלה (I או II). נמקו.

(2)

לאחת משתי הפונקציות הנתונות יש אסימפטוטות המאונכות לצירים. מצאו אותן.

(3)

הראו כי הגרפים של הפונקציות נפגשים בנקודה שבה x=1x=1x=1.

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרפים של הפונקציות f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x) וציר ה-yyy (השטח המקווקו בציור).

שאלה 9 · פונקציה רציונלית עם פרמטר: משטח לפרמטר ולמספר פתרונותשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x+ax2f(x)=x+\frac{a}{x^2}f(x)=x+x2a​, ו-a>0a>0a>0 הוא פרמטר. השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה, על ידי הישרים x=2x=2x=2 ו-x=4x=4x=4 ועל ידי ציר ה-xxx הוא 14.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x) ואת נקודת הקיצון שלה.

ג.

מצאו את מספר הפתרונות של המשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m לפי ערכי mmm.

ד.

בעבור אילו ערכים של mmm יש למשוואה f(x)=mf(x)=mf(x)=m פתרון הקטן מ-−4-4−4?

שאלה 10 · פונקציה רציונלית: נגזרת, קיצון, זיהוי גרף ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x+1x2f(x)=2x+\frac{1}{x^2}f(x)=2x+x21​.

א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=2−2x3f'(x)=2-\frac{2}{x^3}f′(x)=2−x32​.

(2)

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ג.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx. דייקו 2 ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

ד.

אחד מן הגרפים I-III שלפניכם מתאר את הפונקציה f(x)f(x)f(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.
גרף I
גרף II
גרף III

ה.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), על ידי הישרים x=1x=1x=1 ו-x=3x=3x=3 ועל ידי ציר ה-xxx.

עוד 20 שאלות על אינטגרל של c/(ax+b)²

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{8}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=2$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
פונקציה רציונלית עם פרמטר: פרמטר משטח ומספר נקודות חיתוך (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(x-2)^2}$ , כאשר $k>0$ פרמטר. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ . הישר…
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, נקודה שנייה על ישר ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2}{(x-3)^2}$ .
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{48}{x^2}$ .
משיק מהראשית לגרף רציונלי, שטח והזזה (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}$ . מראשית הצירים $O$ העבירו ישר המשיק לגרף $f(x)$ .
חקירה, משיק ושטח של פונקציה רציונלית פשוטה (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x-1)^2}+2$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב (שאלה מלאה · בינונית)
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{9}{(x-1)^2}-1$ .
פרמטר בפונקציה קדומה של k/(2x-1)² לפי נקודה ואסימפטוטה אופקית (שאלה קצרה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(2x-1)^2}$ בתחום $x>\frac12$ , כאשר $k$ פרמטר. $F(x)$ היא פונקציה קדומה של $f(x)$ בתחום זה. גרף $F(x)$ עובר…
בדיקה בגזירה שפונקציה נתונה היא קדומה של 1/(x-2)² (שאלה קצרה · קלה)
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-2)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .
אינטגרל של c/(ax+b)² (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{(3x+1)^2}$ .
פונקציה שנגזרתה a/(x-2)²-1: פרמטר, הפונקציה ונקודות הקיצון שלה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
שיקוף והזזה של 1/x²: חקירה, משיק ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $g(x)=-\frac{1}{x^2}$ .
סימן הפונקציה מתוך המונוטוניות וסכום שטחים (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=1-\frac{9}{(x+2)^2}$ בתחום $x>-2$ .
אינטגרל לא מסוים של 6/(3x-1)² (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{6}{(3x-1)^2}$ בתחום $x>\frac13$ .
משיק מהראשית לגרף 1/(x+2)² והשטח שהוא יוצר, כולל הזזה (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}$ . מראשית הצירים $O$ העבירו ישר המשיק לגרף $f(x)$ .
פונקציה קדומה של 1/(x+1)² דרך הראשית ומשיק לגרף שלה (שאלת ביניים · בינונית)
הפונקציה $F(x)$ היא פונקציה קדומה של הפונקציה $f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$ בתחום $x>-1$ , וגרף $F(x)$ עובר בראשית הצירים.
שטח מורכב תחת גרף k/(x-2)² וישר אופקי: מציאת k (שאלת ביניים · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{k}{(x-2)^2}$ , כאשר $k>0$ פרמטר. דרך נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $y$ העבירו ישר המקביל לציר ה- $x$ . הישר…
מציאת פונקציה לפי נגזרתה ומשיק העובר בראשית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הנגזרת של הפונקציה $f(x)$ : $f'(x)=1-\frac{4}{x^2}$ , בתחום $x>0$ . המשיק לגרף $f(x)$ בנקודה שבה $x=1$ עובר בראשית הצירים. בשרטוט שלפניכם…
אינטגרל מסוים של 1/x² עם גבול משתנה (שאלת ביניים · בינונית)
נתון $a>1$ . מסמנים $I(a)=\int_1^a \frac{1}{x^2}\,dx$ .
קיצון, חיוביות ושטח מתחת לגרף (שאלת ביניים · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x+\frac{4}{(x+1)^2}$ בתחום $x>-1$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

הפונקציה $\frac{1}{f ( x )}$ ופרבולה: שטח בין הגרפים · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 8
נתונות הפונקציות: $f(x)=(x-3)^2$ , $g(x)=\frac{1}{f(x)}$ .
פונקציה עם אסימפטוטה נתונה, משיק ושטח · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{2}{x^2}+b$ בתחום: $x>0$ , $b$ הוא פרמטר. הישר $y=4$ הוא אסימפטוטה של הפונקציה.
פונקציה רציונלית: חקירה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+\frac{4}{x^2}$ .
פונקציה רציונלית: אסימפטוטות, חיתוך עם ישר אופקי ושטח מורכב · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
בציור שלפניכם מוצג הגרף של הפונקציה $f(x)=\frac{4}{(2x+1)^2}$ .
הפונקציה 1/x² והזזות שלה: חקירה, משיק ושטח · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 471, שאלה 7
נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{x^2}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (5)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה רציונלית עם מכנה בריבוע ושטח בין שני גרפים (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-9}{(x+1)^2}$ .
פונקציה רציונלית עם פרמטר: חקירה, גרף שנמצא מעל גרף אחר ושטח ביניהם (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-a^2}{(x-3)^2}$ , $0<a<3$ הוא פרמטר.
פונקציה רציונלית פשוטה עם פרמטר: חקירה ופונקציה שנגזרתה $f (x) - 1$ (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-2)^2}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי.
שטח עם פרמטר ושאלות הפוכות (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-\frac{a^3}{x^2}$ , כאשר $a$ הוא פרמטר חיובי.
פונקציה רציונלית עם פרמטר במכנה: חקירה, גרף מעל גרף ושטח (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2-4}{(x-a)^2}$ , $0<a<2$ הוא פרמטר.