מבחן לדוגמה: בעיות קיצון בפונקציות וגרפים - פונקציה רציונלית - כיתה י"א 4 יח"ל

מצאו את שיעורי הנקודה $A$ שבעבורה סכום השיעורים שלה ($x+y$) מינימלי, ואת הסכום המינימלי.

מצאו את משוואות האסימפטוטות של $f(x)$ המאונכות לצירים.

נסמן את שיעור ה-$x$ של $A$ ב-$x$ ($x<0$). הראו כי היקף המלבן הוא $P(x)=2(1-x)+\frac{8}{1-x}$.

מצאו את שיעורי הנקודה $A$ שבעבורה היקף המלבן מינימלי.

חשבו את שטח המלבן בעבור הנקודה $A$ שמצאתם.

הביעו את שטח המלבן באמצעות $t$.

מצאו את שיעורי $C$ שבעבורם שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

הביעו באמצעות $t$ את שיעורי הנקודות $B$ ו-$C$.

הראו כי שטח המשולש $ABC$ הוא $S(t)=\frac{18}{t}+2t$.

מצאו את ערכו של $t$ שבעבורו שטח המשולש מינימלי, ואת השטח המינימלי.

הביעו באמצעות $k$ את שיעורי הנקודה $A$ שבעבורה היקף המלבן מינימלי, ואת ההיקף המינימלי.

מהו סוג המלבן שהיקפו מינימלי? נמקו (לכל ערך של $k$).

נתון שההיקף המינימלי של המלבן הוא 12. מצאו את $k$.

עבור $k$ שמצאתם, מצאו את כל הנקודות $A$ שבעבורן היקף המלבן הוא 20, וקבעו לאילו ערכים $p$ של ההיקף יש בדיוק שתי נקודות $A$ מתאימות.

הביעו באמצעות $a$ את משוואת המשיק לגרף בנקודה $A$.

הביעו באמצעות $t$ ו-$a$ את אורך הקטע $BC$.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $BC$ מינימלי, והראו שהוא אינו תלוי ב-$a$. הביעו באמצעות $a$ את האורך המינימלי.

הראו שבעבור $t$ שמצאתם, המשיק לגרף בנקודה $B$ מקביל למשיק בנקודה $A$, והסבירו בעזרת $BC'(t)$ מדוע זה מתקיים בכל בעיה מסוג זה (קטע אנכי מינימלי בין גרף לישר).