מבחן לדוגמה: בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית - כיתה י"א 4 יח"ל

בסרטוט שלפניכם חצר המחולקת לשני מתחמים: מתחם $ABCD$ ובו גינה, ומתחם $BFGH$ ובו ארגז חול. כל אחד מן המתחמים הוא בצורת מלבן. נסמן ב-$x$ את אורך הצלע $AB$. נתון כי $GF=4$ מטרים, וכי אורך הצלע $BF$ גדול במטר אחד מאורך הצלע $AB$. היקף המתחם $ABCD$ הוא 30 מטרים.

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{2x-2}{x-3}$. $A$ היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-$x$. הנקודה $C(t,f(t))$ נמצאת על הגרף בתחום $x>3$; $B$ היא היטל $C$ על ציר ה-$x$, ו-$ABCD$ מלבן.

במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ושטח המשולש הוא 4. $M$ אמצע הצלע $BC$ (ראו סרטוט). נסמן $BC=x$.

בדף פרסום מלבני יש אזור מודפס מלבני ששטחו $96$ סמ"ר. מעל האזור המודפס ומתחתיו יש שוליים ריקים ברוחב $3$ ס"מ כל אחד, ומשני צדדיו שוליים ריקים ברוחב $2$ ס"מ כל אחד. נסמן ב-$x$ את רוחב האזור המודפס (הצלע האופקית שלו), בס"מ.

תמונה מלבנית ששטחה $180$ סמ"ר צריכה להיכנס לתא שגובהו $12$ ס"מ, ולכן הצלע האנכית של התמונה היא לכל היותר $12$ ס"מ (לצלע האופקית אין הגבלה). לאורך כל ארבע הצלעות של התמונה מדביקים סרט עיטור.

חתך של תעלת השקיה הוא טרפז שווה-שוקיים $ABCD$: הבסיס התחתון $AB$ הוא קרקעית התעלה, הבסיס העליון $DC$ הוא פני המים, וכל אחת מהדפנות $AD$ ו-$BC$ יוצרת עם הקרקעית זווית של $120^\circ$. שטח החתך הוא $9\sqrt{3}$ מ"ר. ההיקף הרטוב הוא סכום אורכי הקרקעית ושתי הדפנות ($AB+BC+AD$). נסמן ב-$h$ את עומק התעלה ($AE$ בסרטוט).