שאלות פתוחות: בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על בעיות קיצון גאומטריות במישור שמובילות לפונקציה רציונלית, לכיתה י"א 4 יחידות. יש בעיות על טרפז ומשולש ישר זווית עם שטח נתון, על משולש שהיתר שלו עובר דרך נקודה קבועה, ובעיות מעשיות: מסגרת לתמונה, דיר מחולק לשלושה חלקים, תעלת השקיה ודף פרסום עם שוליים. בכל אחת מבטאים את הגודל המבוקש באמצעות משתנה אחד ומוצאים מינימום או מקסימום. הרמות: קלה, בינונית וקשה, ומתאים להרכבת מבחן או דף עבודה, עם פתרונות מלאים וייצוא ל-Word.

40 שאלותקלה: 7בינונית: 22קשה: 11

שאלה 1 · בעיית קיצון בטרפז ישר-זווית: מינימום בהדרכהשאלה מלאה · קלה

המרובע ABCDABCDABCD הוא טרפז ישר זווית, AB∥DCAB\parallel DCAB∥DC (ראו סרטוט). גובה הטרפז BEBEBE חוצה את הבסיס DCDCDC. שטח הטרפז הוא 323\sqrt232​. נסמן ב-xxx את אורך הצלע ABABAB.
ABCDE

א.

הראו כי אורך גובה הטרפז הוא 22x\frac{2\sqrt2}{x}x22​​.

ב.

הראו כי סכום ריבועי השוקיים של הטרפז הוא S(x)=x2+16x2S(x)=x^2+\frac{16}{x^2}S(x)=x2+x216​.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו S(x)S(x)S(x) מינימלי.

ד.

מהו הסכום המינימלי של ריבועי השוקיים? האם ייתכן שהסכום הוא 7? נמקו.

שאלה 2 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

משולש ישר-זווית מונח ברביע הראשון כך שקודקוד הזווית הישרה בראשית הצירים OOO, וניצביו על הכיוונים החיוביים של הצירים. היתר של המשולש עובר דרך הנקודה M(2,2)M(2,2)M(2,2). נסמן ב-aaa את שיעור ה-xxx של קודקוד המשולש שעל ציר ה-xxx.
OMxy

א.

הביעו באמצעות aaa את אורך הניצב שעל ציר ה-yyy, וקבעו את תחום הערכים של aaa.

ב.

מצאו את הסכום הקטן ביותר האפשרי של אורכי שני הניצבים, ואת אורכי הניצבים במקרה זה.

שאלה 3 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונליתשאלה קצרה · קשה

תמונה מלבנית ששטחה 180180180 סמ"ר צריכה להיכנס לתא שגובהו 121212 ס"מ, ולכן הצלע האנכית של התמונה היא לכל היותר 121212 ס"מ (לצלע האופקית אין הגבלה). לאורך כל ארבע הצלעות של התמונה מדביקים סרט עיטור.

מצאו את מידות התמונה שעבורן אורך סרט העיטור הוא הקטן ביותר, ואת האורך הזה.

שאלה 4 · בעיית קיצון: היתר הקצר ביותר במשולש ישר זווית בשטח נתוןשאלה מלאה · קלה

ABCABCABC הוא משולש ישר זווית, ∠ACB=90∘\angle ACB=90^\circ∠ACB=90∘, ששטחו 8. נסמן AC=xAC=xAC=x.
CAB

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך הניצב BCBCBC.

ב.

הראו כי AB2=x2+256x2AB^2=x^2+\frac{256}{x^2}AB2=x2+x2256​.

ג.

מצאו את xxx שבעבורו אורך היתר ABABAB מינימלי, ואת האורך המינימלי.

ד.

האם ייתכן שאורך היתר ABABAB הוא 5? נמקו.

שאלה 5 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונליתשאלה קצרה · בינונית

דיר מלבני ששטחו 727272 מ"ר צמוד לקיר, ולכן את הצד הצמוד לקיר לא מגדרים. את הדיר מחלקים לשלושה חלקים שווים בשתי גדרות פנימיות הניצבות לקיר. מטר של הגדר המקבילה לקיר עולה 404040 ש"ח, ומטר של כל אחת מהגדרות הניצבות לקיר (שתי הצלעות ושתי הגדרות הפנימיות) עולה 202020 ש"ח. נסמן ב-xxx את אורך הגדרות הניצבות לקיר (במטרים).

א.

הביעו באמצעות xxx את העלות הכוללת של הגדרות.

ב.

מצאו את מידות הדיר שעבורן העלות הכוללת היא הקטנה ביותר, ואת העלות הזאת.

שאלה 6 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונליתשאלת ביניים · קשה

חתך של תעלת השקיה הוא טרפז שווה-שוקיים ABCDABCDABCD: הבסיס התחתון ABABAB הוא קרקעית התעלה, הבסיס העליון DCDCDC הוא פני המים, וכל אחת מהדפנות ADADAD ו-BCBCBC יוצרת עם הקרקעית זווית של 120∘120^\circ120∘. שטח החתך הוא 939\sqrt{3}93​ מ"ר. ההיקף הרטוב הוא סכום אורכי הקרקעית ושתי הדפנות (AB+BC+ADAB+BC+ADAB+BC+AD). נסמן ב-hhh את עומק התעלה (AEAEAE בסרטוט).
hABCDE

א.

הביעו באמצעות hhh את ההיקף הרטוב.

ב.

מצאו את העומק hhh שעבורו ההיקף הרטוב הוא הקטן ביותר, ואת ההיקף הזה.

שאלה 7 · בעיית קיצון: יחס שטחים, צעד אחר צעדשאלה מלאה · קלה

בסרטוט שלפניכם חצר המחולקת לשני מתחמים: מתחם ABCDABCDABCD ובו גינה, ומתחם BFGHBFGHBFGH ובו ארגז חול. כל אחד מן המתחמים הוא בצורת מלבן. נסמן ב-xxx את אורך הצלע ABABAB. נתון כי GF=4GF=4GF=4 מטרים, וכי אורך הצלע BFBFBF גדול במטר אחד מאורך הצלע ABABAB. היקף המתחם ABCDABCDABCD הוא 30 מטרים.
x4ABCDFGH

א.

הביעו באמצעות xxx את אורך הצלע ADADAD ואת שטח המתחם ABCDABCDABCD.

ב.

הראו כי היחס בין שטח המתחם ABCDABCDABCD ובין שטח המתחם BFGHBFGHBFGH הוא R(x)=15x−x24x+4R(x)=\frac{15x-x^2}{4x+4}R(x)=4x+415x−x2​.

ג.

הראו כי R′(x)=−(x+5)(x−3)4(x+1)2R'(x)=\frac{-(x+5)(x-3)}{4(x+1)^2}R′(x)=4(x+1)2−(x+5)(x−3)​.

ד.

מצאו את הערך של xxx שבעבורו היחס בין שטחי המתחמים מקסימלי, ואת היחס המקסימלי.

שאלה 8 · בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונליתשאלת ביניים · בינונית

בדף פרסום מלבני יש אזור מודפס מלבני ששטחו 969696 סמ"ר. מעל האזור המודפס ומתחתיו יש שוליים ריקים ברוחב 333 ס"מ כל אחד, ומשני צדדיו שוליים ריקים ברוחב 222 ס"מ כל אחד. נסמן ב-xxx את רוחב האזור המודפס (הצלע האופקית שלו), בס"מ.

א.

הביעו באמצעות xxx את שטח הדף.

ב.

מצאו את מידות הדף ששטחו הקטן ביותר.

שאלה 9 · טרפז ישר זווית עם שיפוע כפרמטרשאלה מלאה · קשה

המרובע ABCOABCOABCO הוא טרפז ישר זווית (∠C=90∘\angle C=90^\circ∠C=90∘, AB∥OCAB\parallel OCAB∥OC). משוואת הצלע ABABAB היא y=−mx+6y=-mx+6y=−mx+6 (m>0m>0m>0). הנקודות AAA ו-BBB נמצאות על ציר ה-xxx ועל ציר ה-yyy בהתאמה, ו-OOO ראשית הצירים (כמתואר באיור).
OABCxy

א.

הביעו באמצעות mmm את שיעורי הקודקוד CCC.

ב.

הביעו באמצעות mmm את יחס השטחים SABOSBOC\frac{S_{ABO}}{S_{BOC}}SBOC​SABO​​.

ג.

ידוע כי שטח המשולש BOCBOCBOC הוא 7.2. מצאו את כל הערכים האפשריים של mmm.

ד.

מצאו את הערך של mmm שבעבורו שטח המשולש BOCBOCBOC הוא הגדול ביותר, ואת השטח הזה.

שאלה 10 · בעיית קיצון: שטח של חצר משלושה חלקיםשאלה מלאה · קלה

חצר מורכבת משלושה חלקים: מלבן ABCDABCDABCD, מלבן BEFCBEFCBEFC וריבוע EGHKEGHKEGHK. הנקודות A,B,E,GA, B, E, GA,B,E,G על ישר אחד, כמתואר בסרטוט. אורך הקטע AGAGAG הוא 16 מטרים, ואורך הצלע EGEGEG שווה לאורך הצלע ABABAB. שטח המלבן ABCDABCDABCD הוא 1 מ"ר. נסמן AB=xAB=xAB=x.
ABEGDCFKH

א.

הראו כי BE=16−2xBE=16-2xBE=16−2x וכי AD=1xAD=\frac1xAD=x1​.

ב.

הראו כי השטח הכולל של החצר הוא S(x)=x2+16x−1S(x)=x^2+\frac{16}{x}-1S(x)=x2+x16​−1.

ג.

מצאו את הערך של xxx שבעבורו השטח הכולל מינימלי, ואת השטח המינימלי.

ד.

האם ייתכן שהשטח הכולל של החצר הוא 10 מ"ר? נמקו.

עוד 21 שאלות על בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

בעיית קיצון בטרפז ישר-זווית: סכום ריבועי השוקיים (שאלה מלאה · בינונית)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ישר זווית, $AB\parallel DC$ (ראו סרטוט). $BE$ הוא גובה הטרפז, והנקודה $E$ על הבסיס $DC$ מקיימת $EC=2\cdot DE$ . שטח…
משולש במערכת צירים: שטח מינימלי ובעיה הפוכה (שאלה מלאה · קשה)
במשולש $ABC$ הקודקוד $A$ מונח על ציר ה- $x$ . הצלע $AC$ חותכת את ציר ה- $y$ בנקודה $D$ . הצלע $CB$ מקבילה לציר ה- $x$ , וחותכת את ציר ה- $y$ בנקודה…
פונקציה רציונלית: היקף מינימלי של מלבן (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{2x-2}{x-3}$ . $A$ היא נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $x$ . הנקודה $C(t,f(t))$ נמצאת על הגרף בתחום…
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
במשולש $ABC$ הזווית $B$ ישרה, ושטח המשולש הוא 4. $M$ אמצע הצלע $BC$ (ראו סרטוט). נסמן $BC=x$ .
בעיית קיצון בטרפז עם שטח כפרמטר: הצורה המינימלית (שאלה מלאה · קשה)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ישר זווית, $AB\parallel DC$ (ראו סרטוט). גובה הטרפז $BE$ חוצה את הבסיס $DC$ . שטח הטרפז הוא $k$ ( $k>0$ פרמטר). נסמן…
אורך גדר מינימלי לגינה המורכבת מריבוע וממלבן (שאלה קצרה · קלה)
גינה מורכבת מריבוע שאורך צלעו $x$ מטרים ומלבן ששטחו 8 מ"ר, הצמוד לריבוע לאורך צלע שלמה שלו (צלע אחת של המלבן היא צלע הריבוע). מקיפים את כל…
בעיית קיצון במשולש ישר זווית: נקודה שמחלקת ניצב ביחס 7:4 (שאלה מלאה · בינונית)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ . שטח המשולש $ABC$ הוא 792. $M$ היא נקודה על הצלע $AC$ כך שמתקיים: $MA:MC=7:4$ (ראו סרטוט).…
בעיית קיצון עם אילוץ: המינימום בקצה התחום (שאלה מלאה · קשה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ , ששטחו 48. $M$ היא נקודה על הצלע $BC$ כך ש- $MC=2MB$ . נסמן $MB=x$ . נתון גם כי $AC\ge12$ .
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
$ABCD$ הוא מלבן ששטחו 32. $E$ היא אמצע הצלע $AB$ . נסמן $AE=x$ .
בעיית קיצון עם פרמטר: מתי היחס בין השטחים מקסימלי (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה המחולקת לשני מתחמים, $ABCD$ ו- $BFGH$ , שכל אחד מהם בצורת מלבן. נסמן ב- $x$ את אורך הצלע $AB$ . נתון כי $GF=7$ מטרים,…
בעיית קיצון: יחס בין שטחים של שני מתחמים (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר מגרש המחולק לשני מתחמים: מתחם $ABCD$ ובו חניה, ומתחם $BFGH$ ובו מחסן. כל אחד מן המתחמים הוא בצורת מלבן. נסמן ב- $x$ את…
בעיית קיצון עם פרמטר: מהשטח המינימלי לאורך (שאלה מלאה · קשה)
מתחם מורכב משלושה חלקים: מלבן $ABCD$ , מלבן $BEFC$ וריבוע $EGHK$ . הנקודות $A, B, E, G$ על ישר אחד, כמתואר בסרטוט. אורך הקטע $AG$ הוא $L$ …
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
חלקה מלבנית $ABCD$ מוקפת בגדר שאורכה 24 מטרים. נסמן $AB=x$ . בהמשך הצלע $AB$ , צמוד לצלע $BC$ , נבנה מחסן מלבני $BEFG$ ( $G$ על $BC$ ). רוחב…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: מלבן בהיקף מינימלי ומספר מלבנים (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-k}$ , ו- $k>2$ הוא פרמטר. $A$ היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה עם ציר ה- $x$ . הנקודה $C$ נמצאת על גרף…
בעיית קיצון: יחס בין שטח מגרש לשטח ערוגה ליד קיר (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני אזורים בחצר של בית ספר, הצמודים לקיר של מבנה: מגרש משחקים $ABCD$ בצורת מלבן, וערוגת פרחים $BEF$ בצורת משולש…
סכום ריבועי מרחקים מינימלי עם אילוץ על צלע - מינימום בקצה (שאלת ביניים · קשה)
$ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ , ששטחו 48. $M$ היא נקודה על הצלע $BC$ כך ש- $MC=2MB$ . נסמן $MB=x$ . נתון גם כי $AC\ge12$ .
בעיית קיצון: שטח מתחם משלושה חלקים (שאלה מלאה · בינונית)
מתכנן עיר תכנן כיכר. הכיכר מורכבת משלושה חלקים המחוברים זה לזה: רחבת כניסה - המלבן $ABCD$ ; מדרחוב - המלבן $BEFC$ ; גן משחקים - הריבוע $EGHK$ .…
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
גינה מורכבת מריבוע שאורך צלעו $x$ מטרים ומלבן ששטחו 8 מ"ר, הצמוד לריבוע לאורך צלע שלמה שלו (צלע אחת של המלבן היא צלע הריבוע). מקיפים את כל…
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{3x-3}{x-4}$ .
בעיות קיצון גאומטריות במישור - פונקציה רציונלית (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{9}{x-1}$ בתחום $x>1$ . הנקודה $C(t,f(t))$ נמצאת על גרף הפונקציה. $B(t,0)$ , $A(1,0)$ , ו- $D(1,f(t))$ הם קודקודי מלבן…
סכום ריבועי השוקיים המינימלי בטרפז ישר-זווית (שאלה קצרה · בינונית)
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ישר זווית, $AB\parallel DC$ (ראו סרטוט). $BE$ הוא גובה הטרפז, והנקודה $E$ על הבסיס $DC$ מקיימת $EC=2\cdot DE$ . שטח…

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

בעיית קיצון בטרפז ישר-זווית: סכום ריבועי השוקיים · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 8
המרובע $ABCD$ הוא טרפז ישר זווית, $AB\parallel DC$ (ראו סרטוט). גובה הטרפז $BE$ חוצה את הבסיס $DC$ . שטח הטרפז הוא: $12\sqrt2$ . נסמן ב- $x$ את אורך הצלע $AB$ .
בעיית קיצון במשולש ישר זווית: סכום ריבועי מרחקים · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 8
$ABC$ הוא משולש ישר זווית, $\angle ACB=90^\circ$ . שטח המשולש $ABC$ הוא 18. $M$ היא נקודה על הצלע $AC$ כך שמתקיים: $MC=2MA$ (ראו סרטוט). נסמן את אורך הקטע $MA$ …
בעיית קיצון: יחס בין שטחים של שני מתחמים בגינה · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתוארת גינה ציבורית המחולקת לשני מתחמים. מתחם $ABCD$ ובו דשא, ומתחם $BFGH$ ובו מתקנים לילדים. כל אחד מן המתחמים הוא בצורת מלבן. נסמן ב- $x$ את…
בעיית קיצון: שטח מתחם משלושה חלקים · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 8
אדריכלית נוף תכננה מתחם ציבורי. המתחם מורכב משלושה חלקים המחוברים זה לזה: מבואה - המלבן $ABCD$ ; שביל גישה - המלבן $BEFC$ ; גן פסלים - הריבוע $EGHK$ . הנקודות…
פונקציה רציונלית: מלבן מתחת לגרף והיקף מינימלי · בגרות 471 חורף 2026, שאלה 8
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{4x-8}{x-6}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{(x-1)^2}+6$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne1$ . $a$ הוא…
פונקציה רציונלית עם פרמטר: משיק ושטח מינימלי של משולש (שאלה מלאה · קשה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac{a}{x+1}+4$ . הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ne-1$ . $a$ הוא פרמטר…
היפרבולה עם פרמטר: משיק ומשולש מינימלי עם הצירים (שאלה מלאה · קלה)
בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה $f(x)=\frac ax+2$ , המוגדרת בתחום $x\ne0$ . $a$ הוא פרמטר חיובי.
בעיית קיצון: יחס שטחים של שתי גינות צמודות (מספרים) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונות שתי גינות מלבניות הצמודות זו לזו, גינה A וגינה B. הרוחב של גינה A הוא $t$ מטרים. הרוחב של גינה B הוא 1…