מבחן לדוגמה: נגזרת של מנה הכוללת שורש - כיתה י"א 4 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 4 יח"ל

נגזרת של מנה הכוללת שורש

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · נגזרת של מנה עם שורש במונהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה q(x)=xx+1q(x)=\frac{\sqrt x}{x+1}q(x)=x+1x​​ המוגדרת לכל x≥0x\ge0x≥0.

הראו כי לכל x>0x>0x>0: q′(x)=1−x2x(x+1)2q'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt x(x+1)^2}q′(x)=2x​(x+1)21−x​.

נתונה הפונקציה f(x)=x+ax−1f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x-1}}f(x)=x−1​x+a​, כאשר a>−1a>-1a>−1 פרמטר. הערך המינימלי של הפונקציה הוא 444.

מצאו את aaa.

נתונה הפונקציה f(x)=ax+4xf(x)=\frac{ax+4}{\sqrt{x}}f(x)=x​ax+4​, כאשר aaa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=4x=4x=4.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

הראו כי הפונקציה היא זוגית.

(5)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-kg(x)=f(x)−k, kkk הוא פרמטר.

מהו הערך של kkk שבעבורו הישר y=−4y=-4y=−4 משיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

נתונה הפונקציה f(x)=xx−af(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-a}f(x)=x−ax​​, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר.

מצאו את ערכי aaa שעבורם יש לפונקציה נקודת קיצון שאינה בקצה תחום ההגדרה. בעבור ערכים אלה, הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון, וקבעו את סוגה.

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

הראו כי הפונקציה היא זוגית.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.