שאלות פתוחות: נגזרת של מנה הכוללת שורש - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על נגזרת של מנה הכוללת שורש, לכיתה י"א 4 יחידות. התלמידים גוזרים פונקציות כמו x/√(x-1), √x/(x+1) ו-10/√(25-x²), ומשתמשים בנגזרת למציאת קיצון ותחומי עלייה וירידה. בשאלות עם פרמטר נתון מקום נקודת הקיצון או הערך המינימלי של הפונקציה, ויש שאלה שבה גרף הפונקציה מוצג בסרטוט. רוב השאלות בינוניות, לצד קלות וקשות, ואפשר לבחור מהן לבוחן או למבחן, וכל שאלה מגיעה עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

17 שאלותקלה: 2בינונית: 12קשה: 3

שאלה 1 · חקירת פונקציה עם שורש במכנהשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=1025−x2f(x)=\frac{10}{\sqrt{25-x^2}}f(x)=25−x2​10​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הראו כי f′(x)=10x(25−x2)25−x2f'(x)=\frac{10x}{(25-x^2)\sqrt{25-x^2}}f′(x)=(25−x2)25−x2​10x​.

ג.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+kg(x)=f(x)+k, kkk הוא פרמטר.

מהו הערך של kkk שבעבורו הישר y=5y=5y=5 משיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

שאלה 2 · נגזרת של מנה הכוללת שורששאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=ax+4xf(x)=\frac{ax+4}{\sqrt{x}}f(x)=x​ax+4​, כאשר aaa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון ב-x=4x=4x=4.

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון וקבעו את סוגה.

שאלה 3 · נגזרת של מנה הכוללת שורששאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx−1f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}f(x)=x−1​x​. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף הפונקציה.
y=f(x)
2468246

האם קיים משיק לגרף הפונקציה העובר דרך ראשית הצירים? אם כן - מצאו את נקודת ההשקה שלו; אם לא - הוכיחו שאין משיק כזה.

שאלה 4 · נגזרת של מנה עם שורש במונהשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה q(x)=xx+1q(x)=\frac{\sqrt x}{x+1}q(x)=x+1x​​ המוגדרת לכל x≥0x\ge0x≥0.

הראו כי לכל x>0x>0x>0: q′(x)=1−x2x(x+1)2q'(x)=\frac{1-x}{2\sqrt x(x+1)^2}q′(x)=2x​(x+1)21−x​.

שאלה 5 · נגזרת של מנה הכוללת שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x+ax−1f(x)=\frac{x+a}{\sqrt{x-1}}f(x)=x−1​x+a​, כאשר a>−1a>-1a>−1 פרמטר. הערך המינימלי של הפונקציה הוא 444.

מצאו את aaa.

שאלה 6 · נגזרת של מנה הכוללת שורששאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=xx−af(x)=\frac{\sqrt{x}}{x-a}f(x)=x−ax​​, כאשר a≠0a\ne0a=0 פרמטר.

מצאו את ערכי aaa שעבורם יש לפונקציה נקודת קיצון שאינה בקצה תחום ההגדרה. בעבור ערכים אלה, הביעו באמצעות aaa את שיעורי נקודת הקיצון, וקבעו את סוגה.

שאלה 7 · נגזרת של מנה הכוללת שורששאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+9f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+9}}f(x)=x2+9​x​.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

שאלה 8 · תחום, זוגיות ונקודות קיצון של x²/√(x²−1)שאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

ב.

הראו כי הפונקציה היא זוגית.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

שאלה 9 · חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכיתשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x2x2−1f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}f(x)=x2−1​x2​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים (אם יש כאלה).

(4)

הראו כי הפונקציה היא זוגית.

(5)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (אם יש כאלה), וקבעו את סוגן.

ב.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ג.

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)−kg(x)=f(x)-kg(x)=f(x)−k, kkk הוא פרמטר.

מהו הערך של kkk שבעבורו הישר y=−4y=-4y=−4 משיק לגרף הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

שאלה 10 · נקודת קיצון של פונקציה עם שורש במכנהשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=6x2−6x+13f(x)=\frac{6}{\sqrt{x^2-6x+13}}f(x)=x2−6x+13​6​.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה וקבעו את סוגה.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית · בגרות 471 קיץ 2020 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (6)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

קיצון בקצה תחום ההגדרה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x}$ .
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{x-2}}{x}$ .
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x+2}{\sqrt{x-1}}$ .
נגזרת וחקירה: מנה עם שורש (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-9}}{x^2}$ .
קיצון בקצה תחום ההגדרה (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt x-2}{x+5}$ המוגדרת לכל $x\ge0$ .
בעיות קיצון עם פונקציית שורש בגרפים (שאלה קצרה · בינונית)
נתונות הפונקציות: $f(x)=\sqrt x$ ו- $h(x)=\frac{12}{x+4}$ , המוגדרות בתחום $x\ge0$ . בנקודה $C(t,0)$ , $t>0$ ,…