מבחן לדוגמה: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת - כיתה י"א 4 יח"ל

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 4 יח"ל

הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

6 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון

שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+af(x)=\sqrt{x^2+a}f(x)=x2+a​, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) עובר דרך הנקודה (4,45)\left(4,\frac45\right)(4,54​).

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה fff, וקבעו את סוגה.

שאלה 2 · פונקציית שורש: קיצון בקצה ופונקציה שנגזרתה -fשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=5−2x+12xf(x)=\sqrt{5-2x}+\frac12xf(x)=5−2x​+21​x.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה (−10,0)(-10,0)(−10,0), ומצאו את נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yyy.

ג.

(1)

הראו כי f′(x)=−15−2x+12f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{5-2x}}+\frac12f′(x)=5−2x​−1​+21​.

(2)

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x), ו-f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) מוגדרות באותו התחום.

(1)

הסבירו מדוע g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0 רק בנקודה x=−10x=-10x=−10.

(2)

קבעו את סוג נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) ב-x=−10x=-10x=−10. נמקו.

שאלה 3 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)29−xf(x)=(x+1)^2\sqrt{9-x}f(x)=(x+1)29−x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), ואת נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-xxx.

ב.

מצאו את התחומים שבהם גרף הנגזרת נמצא מעל ציר ה-xxx, ואת התחומים שבהם הוא נמצא מתחת לציר ה-xxx.

שאלה 4 · פונקציית שורש בתחום סגור: גרף הנגזרת, קיצוני קצה ושטחשאלה מלאה · בינונית

הפונקציה f(x)f(x)f(x) מוגדרת בתחום −5≤x≤5-5\le x\le5−5≤x≤5, ופונקציית הנגזרת שלה f′(x)f'(x)f′(x) מוגדרת בתחום −5<x<5-5<x<5−5<x<5.
לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, מסוג מקסימום.
בסרטוט שלפניכם מתוארים שני גרפים, I ו-II, אחד מהם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).
III
III

א.

קבעו איזה מהגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), ונמקו את קביעתכם.

ב.

נתון: f(x)=3x+425−x2f(x)=3x+4\sqrt{25-x^2}f(x)=3x+425−x2​.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ג.

גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) חותך את ציר ה-xxx בנקודה אחת בלבד, בחלקו השלילי.

מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=−2⋅f′(x)g(x)=-2\cdot f'(x)g(x)=−2⋅f′(x).

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי ציר ה-yyy.

שאלה 5 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4f(x)=\sqrt{x^2-4}f(x)=x2−4​.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם יש לגרף הפונקציה משיק ששיפועו mmm.

שאלה 6 · פונקציה שהנגזרת שלה היא מינוס פונקציה נתונהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=5−2x+12xf(x)=\sqrt{5-2x}+\frac12xf(x)=5−2x​+21​x, המוגדרת בתחום x≤2.5x\le2.5x≤2.5. נתון כי f′(x)=−15−2x+12f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{5-2x}}+\frac12f′(x)=5−2x​−1​+21​.

א.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ב.

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x), ו-f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) מוגדרות באותו התחום.

הסבירו מדוע g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0 רק בנקודה x=−10x=-10x=−10.

ג.

קבעו את סוג נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) ב-x=−10x=-10x=−10. נמקו.

שאלה 1 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · קלה

שאלה 2 · פונקציית שורש: קיצון בקצה ופונקציה שנגזרתה -fשאלה מלאה · קלה

שאלה 3 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלת ביניים · בינונית

שאלה 4 · פונקציית שורש בתחום סגור: גרף הנגזרת, קיצוני קצה ושטחשאלה מלאה · בינונית

שאלה 5 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · קשה

שאלה 6 · פונקציה שהנגזרת שלה היא מינוס פונקציה נתונהשאלת ביניים · קשה

רוצים להשלים את חוויית הלמידה?

כל האתר במבט אחד