שאלות פתוחות: הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת - כיתה י"א 4 יח"ל

שאלות פתוחות על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת בפונקציות עם שורש, לכיתה י"א 4 יחידות. בחלק מהשאלות מתאימים בין פונקציה כמו x-4√x לבין גרפים נתונים, ובאחרות מסיקים מתוך תחום שבו גרף הנגזרת מעל ציר ה-x על הפרמטר. יש שאלות על חצי המעגל √(25-x²) בסרטוט, על נקודה שגרף הנגזרת עובר בה, ועל ערך מקסימלי נתון. רוב השאלות בינוניות, ויש קלות וקשות, והשאלות מתאימות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

43 שאלותקלה: 7בינונית: 32קשה: 4

שאלה 1 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x2+af(x)=\sqrt{x^2+a}f(x)=x2+a​, כאשר a>0a>0a>0 פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) עובר דרך הנקודה (4,45)\left(4,\frac45\right)(4,54​).

א.

מצאו את aaa.

ב.

מצאו את נקודת הקיצון של הפונקציה fff, וקבעו את סוגה.

שאלה 2 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · בינונית

בסרטוט שלפניכם גרף הפונקציה f(x)=25−x2f(x)=\sqrt{25-x^2}f(x)=25−x2​, המוגדרת בתחום −5≤x≤5-5\le x\le5−5≤x≤5.

מצאו את ערכי xxx שעבורם גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) נמצא מתחת לישר y=−34y=-\frac34y=−43​.

שאלה 3 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x2−4f(x)=\sqrt{x^2-4}f(x)=x2−4​.

מצאו את כל ערכי mmm שעבורם יש לגרף הפונקציה משיק ששיפועו mmm.

שאלה 4 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלה קצרה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=x−kxf(x)=\sqrt{x}-kxf(x)=x​−kx בתחום x≥0x\ge0x≥0, כאשר k>0k>0k>0 פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) נמצא מעל ציר ה-xxx בדיוק בתחום 0<x<40<x<40<x<4.

א.

מצאו את kkk.

ב.

מצאו את תחום הערכים של הפונקציה fff.

שאלה 5 · הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרתשאלת ביניים · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)29−xf(x)=(x+1)^2\sqrt{9-x}f(x)=(x+1)29−x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), ואת נקודות החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-xxx.

ב.

מצאו את התחומים שבהם גרף הנגזרת נמצא מעל ציר ה-xxx, ואת התחומים שבהם הוא נמצא מתחת לציר ה-xxx.

שאלה 6 · פונקציית שורש: פרמטר מתוך הערך המקסימלישאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=a−2x+12xf(x)=\sqrt{a-2x}+\frac12xf(x)=a−2x​+21​x, כאשר a>4a>4a>4 הוא פרמטר. הערך המקסימלי של הפונקציה f(x)f(x)f(x) הוא 4.

א.

מצאו את הערך של aaa.

ב.

הציבו a=12a=12a=12.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה ואת נקודות החיתוך של גרפה עם הצירים.

ג.

מצאו את כל ערכי mmm שבעבורם הישר y=my=my=m חותך את גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בשתי נקודות בדיוק.

ד.

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x), ו-f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) מוגדרות באותו התחום.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של g(x)g(x)g(x) ואת שיעור ה-xxx של נקודת הקיצון הפנימית שלה, וקבעו את סוגה.

שאלה 7 · חקירת פונקציית שורש: קיצון קצה, גרף הנגזרת ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=x−4xf(x)=x-4\sqrt{x}f(x)=x−4x​.
בסוף השאלה מופיעים שני גרפים I-II:
גרף I
גרף II

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

(1)

הראו כי f′(x)=1−2xf'(x)=1-\frac{2}{\sqrt x}f′(x)=1−x​2​.

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל נקודת קצה), וקבעו את סוגן.

ג.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה עם הצירים.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

אחד מן הגרפים I-II שבסוף השאלה מתאר את גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x). קבעו איזה מהם, ונמקו.

ו.

מצאו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x), הישר x=16x=16x=16 וציר ה-xxx.

שאלה 8 · פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרתשאלה מלאה · בינונית

בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: f(x)=(x2+5x−10)5−xf(x)=(x^2+5x-10)\sqrt{5-x}f(x)=(x2+5x−10)5−x​.

א.

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את השיעורים של נקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

(3)

כמה פתרונות יש למשוואה: (x2+5x−10)5−x=−20(x^2+5x-10)\sqrt{5-x}=-20(x2+5x−10)5−x​=−20? נמקו את תשובתכם.

ב.

ידוע כי לפונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) של הפונקציה הנתונה יש אסימפטוטה אנכית: x=5x=5x=5. תחום ההגדרה של f′(x)f'(x)f′(x): x<5x<5x<5.

(1)

רשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f′(x)f'(x)f′(x).

(2)

סרטטו את הסקיצה של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x).

ג.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)f′(x) וציר ה-xxx, בתחום: −4≤x≤−3-4\le x\le-3−4≤x≤−3.

שאלה 9 · פונקציה שהנגזרת שלה היא מינוס פונקציה נתונהשאלת ביניים · קשה

נתונה הפונקציה: f(x)=5−2x+12xf(x)=\sqrt{5-2x}+\frac12xf(x)=5−2x​+21​x, המוגדרת בתחום x≤2.5x\le2.5x≤2.5. נתון כי f′(x)=−15−2x+12f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{5-2x}}+\frac12f′(x)=5−2x​−1​+21​.

א.

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ב.

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x), ו-f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) מוגדרות באותו התחום.

הסבירו מדוע g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0 רק בנקודה x=−10x=-10x=−10.

ג.

קבעו את סוג נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) ב-x=−10x=-10x=−10. נמקו.

שאלה 10 · פונקציית שורש: קיצון בקצה ופונקציה שנגזרתה -fשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=5−2x+12xf(x)=\sqrt{5-2x}+\frac12xf(x)=5−2x​+21​x.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הראו כי גרף הפונקציה חותך את ציר ה-xxx בנקודה (−10,0)(-10,0)(−10,0), ומצאו את נקודת החיתוך שלו עם ציר ה-yyy.

ג.

(1)

הראו כי f′(x)=−15−2x+12f'(x)=\frac{-1}{\sqrt{5-2x}}+\frac12f′(x)=5−2x​−1​+21​.

(2)

מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה, וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המקיימת g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x), ו-f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x) מוגדרות באותו התחום.

(1)

הסבירו מדוע g′(x)=0g'(x)=0g′(x)=0 רק בנקודה x=−10x=-10x=−10.

(2)

קבעו את סוג נקודת הקיצון של g(x)g(x)g(x) ב-x=−10x=-10x=−10. נמקו.

עוד 20 שאלות על הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

חקירת פונקציית שורש עם פרמטר: מקסימום, גרף הנגזרת ושטח מתחת לציר (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=4\sqrt{x+a}-x$ , $a$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(12,0)$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים…
פונקציית שורש: נגזרת, קיצון וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x^2+15)\cdot\sqrt{5-x}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x+2\sqrt{4-x}$ . בסרטוט שלפניכם שלושה גרפים I-III: גרף I: גרף II: גרף III:
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\le4$ , ו- $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x<4$ . לפניכם גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודות…
פונקציית שורש עם פרמטר: סכום של קו ושורש (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x}{2}+\sqrt{a-x}$ , $a$ הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציית שורש: קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(13-x)\cdot\sqrt{x-1}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\ge0$ . בסרטוט שלפניכם גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , המוגדרת בתחום $x>0$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ בנקודה…
פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה וגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=1+x-\sqrt{4x+b}$ , $b$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(5,0)$ בלבד.
חקירת פונקציה עם שורש וזיהוי גרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-5)\cdot\sqrt{x+7}$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-m)\cdot\sqrt x$ . $m>0$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה וקיצון בקצה (b=1/4) (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{9-2x}+bx$ , $b>0$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-36,0)$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-\sqrt{x+6}$ , המוגדרת לכל $x\ge-6$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=(x-4)\sqrt{x}$ . לפניכם ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציית שורש: זיהוי גרף הנגזרת, קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\le4$ , ופונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x<4$ . לפונקציה $f(x)$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות. לפניכם…
פונקציית שורש בתחום סגור: גרף הנגזרת, קיצוני קצה ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $-5\le x\le5$ , ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרת בתחום $-5<x<5$ . לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד,…
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=x-2\sqrt{x+3}$ , המוגדרת בתחום $x\ge-3$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{2x-8}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש: קיצון בקצה, גרף הנגזרת ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x-6\sqrt{2x-5}$ .
הקשר בין גרף הפונקציה לגרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=3x-6\sqrt{x-2}$ , המוגדרת בתחום $x\ge2$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x>2$ . גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פרמטר מנקודה על גרף הנגזרת (שאלה קצרה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\sqrt{x^2+a}$ , כאשר $a>0$ פרמטר. גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עובר דרך הנקודה $\left(4,\frac45\right)$ .

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

פונקציית שורש: קיצון, מספר פתרונות וגרף הנגזרת · בגרות 471 חורף 2021, שאלה 8
בציור שלפניכם מוצג גרף הפונקציה: $f(x)=x^2\sqrt{10-4x}$ .
חקירת פונקציית שורש עם פרמטר, גרף הנגזרת ושטח מתחת לנגזרת · בגרות 471 קיץ 2022 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x-2\cdot\sqrt{x+a}$ , $a$ הוא פרמטר. גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(6,0)$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף…
פונקציית שורש עם פרמטר: מגרף הנגזרת לחקירה · בגרות 471 חורף 2022 מועד נבצרים, שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=x\sqrt{a-x}$ , $a$ הוא פרמטר. בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה התחום וגרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2023 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=1+\frac12x-\sqrt{2x+b}$ , $b$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(8,0)$ בלבד.
חקירת פונקציה עם שורש, זיהוי גרף הנגזרת ושטח מתחתיו · בגרות 471 קיץ 2023 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(x-1)\cdot\sqrt{2x+10}$ .
פונקציה עם שורש ופרמטר: קיצון, סקיצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2023 מועד מיוחד, שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=6x\cdot(\sqrt x-m)$ . $m>0$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה וקיצון בקצה · בגרות 471 קיץ 2024 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\sqrt{21-2x}+bx$ , $b>0$ הוא פרמטר. ידוע כי גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את ציר ה- $x$ בנקודה $(-14,0)$ .
פונקציית שורש: חקירה, גרף הנגזרת ושטח בין $f^{'}$ ל- $a f^{'}$ · בגרות 471 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^2\cdot\sqrt{-\frac12x+5}$ . בסוף השאלה מופיעים ארבעה גרפים I-IV: גרף I: גרף II: גרף III: גרף IV:
פונקציית שורש: זיהוי גרף הנגזרת, קיצון בקצה ושטח מתחת לגרף הנגזרת · בגרות 471 קיץ 2025 מועד ב', שאלה 7
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\le1.5$ , ופונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x<1.5$ . לפונקציה $f(x)$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון פנימיות. לפניכם שלושה גרפים…
פונקציית שורש בתחום x≤2: גרף הנגזרת, קיצון קצה ושטח · בגרות 471 חורף 2025, שאלה 7
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת בתחום $x\le2$ , ופונקציית הנגזרת שלה $f'(x)$ מוגדרת בתחום $x<2$ . לפונקציה יש נקודת קיצון פנימית אחת בלבד, מסוג מקסימום. בסרטוט שלפניכם…
פונקציית שורש עם פרמטר: חקירה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 קיץ 2026 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=(a-x)\cdot\sqrt{3x-6}$ . $a$ הוא פרמטר.
פונקציית שורש: קיצון בקצה, גרף הנגזרת ושטח · בגרות 471 קיץ 2026 מועד ב', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x-4\sqrt{5x-16}$ .

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (1)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

פונקציית שורש: נגזרת, קיצון כולל נקודות קצה ושיפוע משיק (שאלה מלאה · קשה)
נתונה הפונקציה: $f(x)=2x+\sqrt{x^2-4}$ .