מבחן לדוגמה: פונקציות: חזרה וקריאת גרף (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$.

הוכיחו כי $f(x)$ אי-זוגית.

הראו כי $f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}$, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של $f(x)$ (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$.

נתונה הפונקציה $g(x)=\frac{1}{f(x)}$. מצאו את תחום ההגדרה של $g(x)$ ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

נתונה הסדרה: $a_n=\cos(n\pi)$, $n$ טבעי.

לפניכם שני גרפים בעלי אותו תחום הגדרה ($x\neq0$). אחד מהם הוא הגרף של פונקציה $f(x)$, והשני הוא הגרף של הנגזרת שלה $f'(x)$.

איזה גרף מתאים ל-$f(x)$ ואיזה ל-$f'(x)$? נמקו.

נתונות שתי סדרות: $a_n=2n+1$, ו-$b_n$ המוגדרת על ידי $b_1=3$, $b_{n+1}=b_n+2$.

נתון כי $f(x)$ היא פונקציה זוגית.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא בהכרח זוגית. נמקו.

השלימו את הגרף של $f(x)$ בתחום $-6<x<6$, ורשמו את נקודות החיתוך שלו עם ציר ה-$x$ ואת נקודות הקיצון שלו בתחום זה.

נתונה פונקציה $g(x)$ שעבורה $g'(x)=f(x)$. מצאו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $g(x)$ בתחום $-6<x<6$, וקבעו את סוגן.

מצאו את תחומי הקעירות כלפי מעלה וכלפי מטה של $g(x)$.

חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של $g''(x)$, ציר ה-$x$ והישרים $x=-2$ ו-$x=0$.

קבעו לגבי כל אחת מהפונקציות הבאות אם היא זוגית, אי-זוגית, לא זוגית ולא אי-זוגית או שלא ניתן לקבוע. נמקו.

I. $h(x)=-2f(x)$

II. $k(x)=f(x)+5$

III. $g(x)=f(x)+x$

סרטטו את הגרף של הפונקציה $\frac{1}{f(x)}$ בתחום $-6<x<6$ ורשמו את שיעורי נקודות הקיצון של $\frac{1}{f(x)}$ בתחום זה ואת האסימפטוטות המקבילות לצירים (אם הן קיימות).

סרטטו את הגרף השלם של הפונקציה $g'(x)$. פרטו בקצרה את שיקוליכם.

היעזרו בנתונים שבסרטוט, רשמו את שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של $g(x)$ וקבעו את סוגן. נמקו בקצרה.

היעזרו בנתונים שבסרטוט ורשמו את תחומי הקעירות כלפי מעלה של $g(x)$. נמקו בקצרה.

סרטטו גרף עבור $g''(x)$ (הנגזרת השנייה של $g(x)$). נמקו בקצרה.

מהו גודל השטח הכלוא בין הגרף של $g''(x)$ לבין ציר ה-$x$ ברביע הרביעי (בתחום $-6<x<6$)? נמקו.

מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$? נמקו.

מהם שיעורי ה-$x$ של נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$? ציינו את סוגן.

כמה נקודות פיתול יש לפונקציה? רשמו את שיעורי ה-$x$ שלהן.

נתון: $f(3)=2$. מהי משוואת המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ בנקודה $(3,2)$?

ידוע כי $f(x)$ היא פונקציה אי זוגית. מהי משוואת המשיק ל-$f(x)$ בנקודה שבה $x=0$?

חשבו את הערך של האינטגרל: $\int_{-1}^{0}f''(x)\,dx$.

לפניכם טענה:

אם ל-$n$ טבעי מסוים $8^n+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם $8^{n+1}+k$ מתחלק ב-7 ללא שארית ($k$ מספר שלם).

נתונה הפונקציה $f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)$ בתחום $-1\le x\le4$. נגדיר $F(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dx$, $-1<a\le4$.

נתונה סדרה חשבונית $a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}$ שהפרשה $d\ne0$.

מצאו, בעזרת $m$, את כל הערכים של $c$ שעבורם למשוואה $\frac{1}{f(x)}=c$ יש בדיוק ארבעה פתרונות בתחום $-8<x<8$.

נתון כי $g'(x)=-f(x)$. מצאו את תחומי הקעירות של $g(x)$ ואת שיעורי ה-$x$ של נקודות הפיתול שלה בתחום $-8<x<8$.

הביעו בעזרת $m$ את השטח הכולל הכלוא בין הגרף של $g''(x)$ לבין ציר ה-$x$ בתחום $-8<x<8$.

נתון שהשטח בסעיף ג הוא $40$. מצאו את $m$, וקבעו כמה פתרונות יש למשוואה $g'(x)=-5$ בתחום $-8<x<8$.