שאלות פתוחות: פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות על פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית לכיתה י"א, 5 יחידות, כחזרה על חומר קודם בתוך חקירות של כיתה י"א. בשאלות בודקים זוגיות של פונקציות כמו 2x/(x²-4)², x√(a-x²) ו-√(3x²-12)/x³, ומשתמשים בה כדי לקצר חקירה. יש גם שאלה שבה נתון גרף של פונקציה זוגית רק בצד אחד של הציר וצריך להשלים אותו. רוב השאלות בינוניות. מתאים לחזרה לפני חקירה מלאה; אפשר לבחור מהשאלות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

46 שאלותקלה: 11בינונית: 31קשה: 4

שאלה 1 · פונקציה רציונלית אי-זוגית: חקירה מודרכת, התנהגות ליד אסימפטוטה ושטחשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=2x(x2−4)2f(x)=\frac{2x}{(x^2-4)^2}f(x)=(x2−4)22x​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של f(x)f(x)f(x) ואת משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=−2(3x2+4)(x2−4)3f'(x)=\frac{-2(3x^2+4)}{(x^2-4)^3}f′(x)=(x2−4)3−2(3x2+4)​, ומצאו את תחומי העלייה והירידה של f(x)f(x)f(x).

ד.

קבעו לאן שואפת f(x)f(x)f(x) כאשר x→2−x\to2^-x→2−, כאשר x→2+x\to2^+x→2+, כאשר x→−2−x\to-2^-x→−2− וכאשר x→−2+x\to-2^+x→−2+, וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה.

ה.

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים x=−1x=-1x=−1, x=1x=1x=1. (הדרכה: הנגזרת של x2−4x^2-4x2−4 היא 2x2x2x.)

שאלה 2 · שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם $x^{4}$ : חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונות הפונקציות: g(x)=4x3(x4−1)3g(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^3}g(x)=(x4−1)34x3​, f(x)=4x3(x4−1)2f(x)=\frac{4x^3}{(x^4-1)^2}f(x)=(x4−1)24x3​.

א.

ענו על תת-סעיפים (1)-(4) בעבור כל אחת משתי הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x).

(1)

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה.

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים.

(3)

הראו כי אין לפונקציה נקודות קיצון.

(4)

הוכיחו כי הפונקציה היא אי-זוגית.

ב.

הגרף שלפניכם מתאר את אחת הפונקציות f(x)f(x)f(x), g(x)g(x)g(x).

(1)

קבעו איזו מן הפונקציות הגרף מתאר. נמקו את קביעתכם.

(2)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה האחרת.

ג.

נתונה פונקציה h(x)h(x)h(x) המקיימת: h′(x)=g(x)h'(x)=g(x)h′(x)=g(x). g(x)g(x)g(x) ו-h(x)h(x)h(x) מוגדרות באותו תחום.

מה הם תחומי העלייה והירידה של h(x)h(x)h(x)?

ד.

(1)

חשבו את ∫−1212f(x) dx\int_{-\frac{1}{\sqrt2}}^{\frac{1}{\sqrt2}}f(x)\,dx∫−2​1​2​1​​f(x)dx. נמקו את תשובתכם.

(2)

חשבו את השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x), ציר ה-xxx והישרים: x=−12x=-\frac{1}{\sqrt2}x=−2​1​, x=12x=\frac{1}{\sqrt2}x=2​1​. (הדרכה: הנגזרת של x4−1x^4-1x4−1 היא 4x34x^34x3.)

ה.

נתונה הפונקציה: k(x)=f(x−b)k(x)=f(x-b)k(x)=f(x−b), b≠0b\neq0b=0 הוא פרמטר.

האם הפונקציה k(x)k(x)k(x) זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית? נמקו את תשובתכם.

שאלה 3 · משפחת הפונקציות $\frac{x}{( x ^{2} - 1 ) ^{n}}$ : זוגיות של $n$ , שטח הפוך וקיצון של קדומהשאלה מלאה · קשה

לכל מספר טבעי nnn מגדירים את הפונקציה: fn(x)=x(x2−1)nf_n(x)=\frac{x}{(x^2-1)^n}fn​(x)=(x2−1)nx​.

א.

הוכיחו כי לכל nnn הפונקציה fn(x)f_n(x)fn​(x) אי-זוגית, ומצאו את משוואות האסימפטוטות שלה המאונכות לצירים.

ב.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של fn(x)f_n(x)fn​(x). הבחינו בין ערכים שונים של nnn לפי הצורך.

ג.

בסעיף ג, n=2n=2n=2.

השטח הכלוא בין גרף הפונקציה f2(x)f_2(x)f2​(x), ציר ה-xxx והישרים x=−cx=-cx=−c, x=cx=cx=c (0<c<10<c<10<c<1) שווה ל-3. מצאו את ccc. (הדרכה: הנגזרת של x2−1x^2-1x2−1 היא 2x2x2x.)

ד.

נתונה פונקציה H(x)H(x)H(x) המקיימת H′(x)=fn(x)H'(x)=f_n(x)H′(x)=fn​(x), ומוגדרת באותו תחום כמו fn(x)f_n(x)fn​(x). קבעו, לכל nnn טבעי, אם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודת קיצון שבה x=0x=0x=0, ואם כן - מה סוגה. האם יש ל-H(x)H(x)H(x) נקודות קיצון נוספות?

שאלה 4 · פונקציית שורש במונה: קיצון בקצה התחום והפונקציה $\frac{1}{f}$ שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה: f(x)=3x2−12x3f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-12}}{x^3}f(x)=x33x2−12​​.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הוכיחו כי f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

ג.

הראו כי f′(x)=36−6x2x43x2−12f'(x)=\frac{36-6x^2}{x^4\sqrt{3x^2-12}}f′(x)=x43x2−12​36−6x2​, ומצאו את שיעורי נקודות הקיצון של f(x)f(x)f(x) (כולל בקצוות התחום) וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה הפונקציה g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​. מצאו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x) ואת משוואות האסימפטוטות האנכיות שלה.

שאלה 5 · מכפלה עם שורש ופרמטר: קיצון בקצה התחום, הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומשיק משותףשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=xa−x2f(x)=x\sqrt{a-x^2}f(x)=xa−x2​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר.
בסעיפים א-ה, בטאו את תשובותיכם באמצעות aaa לפי הצורך.

א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x)?

ב.

הוכיחו שהפונקציה f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

ג.

(1)

מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים?

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ה.

נתונה גם הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}g(x)=f(x)1​.

(1)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x)?

(2)

מה הן משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x)g(x), אם יש כאלה?

ו.

ידוע כי בכל אחת מנקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות f(x)f(x)f(x) ו-g(x)g(x)g(x), יש לגרף של f(x)f(x)f(x) ולגרף של g(x)g(x)g(x) משיק משותף.

(1)

הוסיפו לסרטוט שבמחברתכם סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x). פרטו את שיקוליכם.

(2)

מהו הערך של aaa? נמקו את תשובתכם.

שאלה 6 · פונקציה זוגית עם מקסימום פרמטרי: מספר פתרונות של $\frac{1}{f} = c$ ושטח מתחת ל- $g^{''}$ שאלה מלאה · קשה

הפונקציה f(x)f(x)f(x) זוגית ומוגדרת לכל xxx. לפניכם הגרף של f(x)f(x)f(x) בתחום −8<x<0-8<x<0−8<x<0 (m>0m>0m>0 פרמטר).
נתון: f(−8)=−6f(-8)=-6f(−8)=−6; fff עולה בתחום −8<x<−4-8<x<-4−8<x<−4 ויורדת בתחום −4<x<0-4<x<0−4<x<0; f(−6)=f(−2)=0f(-6)=f(-2)=0f(−6)=f(−2)=0; f(−4)=mf(-4)=mf(−4)=m; f(0)=−2f(0)=-2f(0)=−2.
f(x)
(-8,-6)-6(-4,m)-2-2

א.

מצאו, בעזרת mmm, את כל הערכים של ccc שעבורם למשוואה 1f(x)=c\frac{1}{f(x)}=cf(x)1​=c יש בדיוק ארבעה פתרונות בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

ב.

נתון כי g′(x)=−f(x)g'(x)=-f(x)g′(x)=−f(x). מצאו את תחומי הקעירות של g(x)g(x)g(x) ואת שיעורי ה-xxx של נקודות הפיתול שלה בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

ג.

הביעו בעזרת mmm את השטח הכולל הכלוא בין הגרף של g′′(x)g''(x)g′′(x) לבין ציר ה-xxx בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

ד.

נתון שהשטח בסעיף ג הוא 404040. מצאו את mmm, וקבעו כמה פתרונות יש למשוואה g′(x)=−5g'(x)=-5g′(x)=−5 בתחום −8<x<8-8<x<8−8<x<8.

שאלה 7 · שאלות קצרות בהדרכה: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרףשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.
הסרטוטים לסעיף ד:
סרטוט א
סרטוט ב
סרטוט ג
סרטוט ד

א.

הטרפז ABCDABCDABCD (AB∥CDAB\parallel CDAB∥CD) חסום במעגל, ו-∢DAB=70∘\sphericalangle DAB=70^\circ∢DAB=70∘. מצאו את שאר זוויות הטרפז, והסבירו מדוע הטרפז שווה שוקיים.

ב.

הוכיחו באינדוקציה שהביטוי 5n−15^n-15n−1 מתחלק ב-4 לכל nnn טבעי.

ג.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=x3−4xf(x)=x^3-4xf(x)=x3−4x. הראו ש-f(x)f(x)f(x) אי-זוגית.

(2)

קבעו אם הפונקציה g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4g(x)=f(x)+4 זוגית, אי-זוגית או לא זוגית ולא אי-זוגית. היעזרו ב-g(1)g(1)g(1) וב-g(−1)g(-1)g(−1).

ד.

(1)

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+4f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}f(x)=x2+4​x​. הסבירו מדוע f(x)f(x)f(x) מוגדרת לכל xxx, ומצאו את האסימפטוטות האופקיות שלה.

(2)

הראו ש-f(x)f(x)f(x) עולה לכל xxx, וקבעו איזה מהסרטוטים א-ד הוא גרף הפונקציה. נמקו.

שאלה 8 · חקירת $\frac{x ^{3}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטחשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=x3x2−a2f(x)=\frac{x^3}{\sqrt{x^2-a^2}}f(x)=x2−a2​x3​, a>0a>0a>0 הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות aaa אם יש צורך.

א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ב.

הוכיחו כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא אי-זוגית.

ג.

(1)

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

(2)

מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה f(x)f(x)f(x) המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

(3)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x)f(x) וקבעו את סוגן.

(4)

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x).

ד.

נתונה הפונקציה (f(x))2(f(x))^2(f(x))2 שתחום ההגדרה שלה זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה (f(x))2(f(x))^2(f(x))2 וקבעו את סוגן.

ה.

נתונה הפונקציה: g(x)=1(f(x))2g(x)=\frac{1}{(f(x))^2}g(x)=(f(x))21​. תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)g(x) זהה לתחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

הסתמכו על הסעיפים הקודמים וסרטטו סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x)g(x).

ו.

הציבו a=1a=1a=1.

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של הפונקציה g(x)g(x)g(x), על ידי ציר ה-xxx ועל ידי הישרים x=2x=2x=2 ו-x=3x=3x=3.

שאלה 9 · שאלת חובה מורחבת: צעד ובסיס עם פרמטר, זוגיות בכיוון ההפוך, הצטברות ותנאי לסדרהשאלה מלאה · קשה

ענו על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:

א.

לפניכם טענה:
אם ל-nnn טבעי מסוים 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 ללא שארית, אז גם 8n+1+k8^{n+1}+k8n+1+k מתחלק ב-7 ללא שארית (kkk מספר שלם).

(1)

הוכיחו שהטענה נכונה לכל מספר שלם kkk.

(2)

מצאו את כל ערכי kkk בתחום 0≤k≤200\le k\le200≤k≤20 שעבורם 8n+k8^n+k8n+k מתחלק ב-7 לכל nnn טבעי.

ב.

(1)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ זוגית. האם fff בהכרח אי-זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

(2)

נתונה פונקציה fff הגזירה לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה f′f'f′ אי-זוגית. האם fff בהכרח זוגית? הוכיחו או הציגו דוגמה נגדית.

ג.

נתונה הפונקציה f(x)=(x+1)(x−1)(x−3)f(x)=(x+1)(x-1)(x-3)f(x)=(x+1)(x−1)(x−3) בתחום −1≤x≤4-1\le x\le4−1≤x≤4. נגדיר F(a)=∫−1af(x) dxF(a)=\int_{-1}^{a}f(x)\,dxF(a)=∫−1a​f(x)dx, −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4.

(1)

הביעו את F(a)F(a)F(a) באמצעות aaa, ומצאו את כל ערכי aaa בתחום שעבורם F(a)=0F(a)=0F(a)=0.

(2)

מצאו את הערך הגדול ביותר של F(a)F(a)F(a) בתחום −1<a≤4-1<a\le4−1<a≤4, ואת aaa שבו הוא מתקבל.

ד.

נתונה סדרה חשבונית a1,a2,…,a2n+1a_1,a_2,\dots,a_{2n+1}a1​,a2​,…,a2n+1​ שהפרשה d≠0d\ne0d=0.

(1)

מצאו את כל ערכי kkk (1≤k≤2n+11\le k\le2n+11≤k≤2n+1) שעבורם a1a_1a1​, aka_kak​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ (בסדר הזה) הם שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית.

(2)

האם ייתכן ש-a1a_1a1​, an+1a_{n+1}an+1​, a2n+1a_{2n+1}a2n+1​ הם גם שלושה איברים עוקבים בסדרה הנדסית? נמקו.

שאלה 10 · שאלות קצרות מודרכות: אינדוקציה, משפט הסינוסים, נגזרת של פונקציה אי-זוגית, שורש של פולינוםשאלה מלאה · קלה

ענו על שניים מארבעת הסעיפים א-ד שלפניכם. אם תענו על יותר משני סעיפים, ייבדקו רק שתי התשובות הראשונות שבמחברתכם.

א.

(1)

הוכיחו באינדוקציה מתמטית כי לכל nnn טבעי מתקיים: 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=n(n+1)(n+2)31\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}31⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=3n(n+1)(n+2)​.

(2)

דנה טוענת כי 1⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n21\cdot2+2\cdot3+\dots+n(n+1)=2n^21⋅2+2⋅3+⋯+n(n+1)=2n2 לכל nnn טבעי. היעזרו בתת-סעיף (1), ומצאו את כל הערכים של nnn שבעבורם הטענה של דנה נכונה. האם הטענה נכונה לכל nnn טבעי?

ב.

המשולש ABC חסום במעגל שמרכזו O ורדיוסו RRR. נסמן: ∠ACB=α\angle ACB=\alpha∠ACB=α, 0∘<α<90∘0^\circ<\alpha<90^\circ0∘<α<90∘.

(1)

הראו כי ∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha∠AOB=2α, והביעו באמצעות RRR ו-α\alphaα את אורך הצלע AB.

נתון: α=30∘\alpha=30^\circα=30∘.

(2)

הביעו באמצעות RRR את רדיוס המעגל החוסם את משולש AOB.

ג.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x)f(x) היא פונקציה אי-זוגית ורציפה המוגדרת לכל xxx. לפונקציה f(x)f(x)f(x) יש נקודת מקסימום אחת בלבד ובה x=1x=1x=1, ו-f(2)=0f(2)=0f(2)=0.

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx ואת שיעור ה-xxx של נקודת המינימום של f(x)f(x)f(x), ורשמו את תחומי החיוביות והשליליות של f(x)f(x)f(x).

נתונה פונקציה g(x)g(x)g(x) המוגדרת לכל xxx, ופונקציית הנגזרת שלה מקיימת: g′(x)=f(x)g'(x)=f(x)g′(x)=f(x).

(2)

מצאו את שיעורי ה-xxx של נקודות הקיצון של g(x)g(x)g(x), וקבעו את סוגן.

נתון כי g(x)g(x)g(x) פונקציה זוגית, ו-g(2)=5g(2)=5g(2)=5.

(3)

מצאו את שיעורי נקודות המקסימום של g(x)g(x)g(x), וקבעו אם g(0)g(0)g(0) גדול מ-5 או קטן מ-5. נמקו.

ד.

נתונה הפונקציה: f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6)f(x)=(x+2)(x-1)(x-3)(x-6)f(x)=(x+2)(x−1)(x−3)(x−6).

(1)

מצאו את נקודות החיתוך של גרף f(x)f(x)f(x) עם ציר ה-xxx, ואת התחומים שבהם f(x)≥0f(x)\ge0f(x)≥0.

(2)

נתונה הפונקציה g(x)=f(x)g(x)=\sqrt{f(x)}g(x)=f(x)​. רשמו את תחום ההגדרה של g(x)g(x)g(x), והסבירו מדוע לגרף g(x)g(x)g(x) אין נקודת חיתוך עם ציר ה-yyy.

נתון: ∫69g(x) dx=k\int_6^9g(x)\,dx=k∫69​g(x)dx=k.

(3)

הביעו באמצעות kkk את ∫47g(x+2) dx\int_4^7g(x+2)\,dx∫47​g(x+2)dx, ואת ∫47[g(x+2)+2]dx\int_4^7\left[g(x+2)+2\right]dx∫47​[g(x+2)+2]dx.

עוד 18 שאלות על פונקציה זוגית ופונקציה אי-זוגית

השאלות המלאות במחולל המבחנים.

שאלות קצרות: מקבילית חסומה, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו כי כל מקבילית שחסומה במעגל היא מלבן.
g'=-f כש-f זוגית: זוגיות של g, קיצון ומספר פתרונות (שאלה מלאה · קשה)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-2$ , נקודת המינימום $(2,-6)$ , ו- $f(4)=0$ ; לכל $x>2$ הפונקציה עולה…
פונקציית שורש: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות ושטח (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{2x}{\sqrt{x^2+5}}$ .
זוגיות של פונקציות שנבנות מפונקציה זוגית (שאלה קצרה · בינונית)
נתון כי הפונקציה $f(x)$ אינה קבועה, מוגדרת לכל $x$ והיא זוגית.
שאלות קצרות: סדרה מתחלפת, $f$ ו- $f^{'}$ , כלל נסיגה וזוגיות - בדרך לבגרות (שאלה מלאה · קלה)
רשמו את ארבעת האיברים הראשונים בסדרה.
חקירת $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+\frac{1}{x^3}$ .
פונקציה זוגית נתונה בגרף: קיצון, קעירות ושטח של $g$ ש- $g^{'} = f$ (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום $-6<x<0$ . (בגרף מסומנים: $f(-6)=-3$ , נקודת החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-4$ ,…
שאלות קצרות: אינדוקציה, מרכז המעגל החסום, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום (שאלה מלאה · בינונית)
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי:…
שאלות קצרות מודרכות: זוגיות, סדרה הנדסית, טור אינסופי ואינטגרל של הזזה (שאלה מלאה · קלה)
השאלה כוללת ארבעה סעיפים בלתי תלויים, א-ד.
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , קיצון בקצה, הגרף של $f^{4}$ ושטח (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
שאלת חובה מודרכת: אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, הצטברות וסדרה חשבונית (שאלה מלאה · קלה)
הוכיחו את הטענה.
שאלות קצרות: סדרה טריגונומטרית מחזורית, זיהוי $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ , כלל נסיגה וזוגיות (שאלה מלאה · בינונית)
פרק ראשון: ענו על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה.
פונקציה זוגית נתונה בגרף: $\frac{1}{f}$ , פונקציה ש- $g^{'} = - f$ , קעירות ושטח מתחת ל- $g^{''}$ (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניכם הגרף של $f(x)$ בתחום: $-6<x<0$ . (בגרף מסומנים: נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-4$ …
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: אסימפטוטות ב- $x = \pm 2$ ונקודת פיתול אחת (שאלה מלאה · בינונית)
בסרטוט שלפניכם מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=2$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה.…
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה (שאלה מלאה · בינונית)
השלימו את הסרטוט אם הפונקציה היא זוגית.
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם טענה: אם ל- $n$ טבעי מסוים $5^n+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית, אז גם $5^{n+1}+3$ מתחלק ב-4 ללא שארית. רונית אומרת: הטענה שלמעלה מספיקה כדי…
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' (שאלה מלאה · בינונית)
לפניכם חלק מגרף של פונקציה זוגית $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=2$ , $f(1)=0$ , נקודת המינימום $(2,-2)$ , ו- $f(3)=0$ ; לכל $x>2$ …

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 6
נתונות הפונקציות: $g(x)=\frac{x}{(x^2-2)^3}$ , $f(x)=\frac{x}{(x^2-2)^2}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: קיצון בקצה התחום, הפונקציה $\frac{1}{f}$ ומשיק משותף · בגרות 571 קיץ 2021 מועד א', שאלה 7
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{\sqrt{3x^2-4a}}{x^3}$ , $a>0$ הוא פרמטר. בסעיפים א-ה, בטאו את תשובותיכם באמצעות $a$ לפי הצורך.
חקירת $\frac{x ^{2}}{x ^{2} - a ^{2}}$ עם פרמטר, הפונקציות $f^{2}$ ו- $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2021 מועד ב', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a>0$ הוא פרמטר. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ אם יש צורך.
שאלות קצרות: טרפז חסום, אינדוקציה, זוגיות וגרף של פונקציית שורש · בגרות 571 חורף 2021 מועד נבצרים, שאלה 1
הוכיחו כי כל טרפז שחסום במעגל הוא שווה שוקיים.
חקירת $3 x + \frac{3}{x}$ , זיהוי גרפים של $f$ , $f^{'}$ ו- $f \cdot f^{'}$ , ואינטגרל של $f \cdot f^{'}$ · בגרות 571 קיץ 2022 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה: $f(x)=3x+\frac3x$ .
שאלות קצרות: אינדוקציה, רדיוסים של מעגלים חוסמים, פונקציה אי-זוגית ונגזרת, שורש של פולינום · בגרות 571 קיץ 2024 מועד ב', שאלה 1
הוכיחו באינדוקציה מתמטית או בדרך אחרת כי השוויון שלפניכם מתקיים בעבור כל $n$ טבעי: $\frac1{1\cdot2}+\frac1{2\cdot3}+\dots+\frac1{n(n+1)}=\frac n{n+1}$ .
פונקציית שורש עם פרמטר: אסימפטוטות שונות ב- $\pm \infty$ , אי-זוגיות, הגרף של $\frac{1}{f ^{2}}$ ושטח · בגרות 571 קיץ 2025 מועד א', שאלה 6
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-a^2}}$ , $a$ הוא פרמטר חיובי. ענו על הסעיפים א-ו. הביעו את תשובותיכם באמצעות $a$ , אם יש צורך.
שאלות קצרות: סדרה טריגונומטרית, זיהוי $f$ , $f^{'}$ , $f^{''}$ , כלל נסיגה וזוגיות · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
פרק ראשון: ענה על שלושה מארבעת הסעיפים בשאלה 1.
פונקציה זוגית נתונה בגרף: $\frac{1}{f}$ , פונקציה ש- $g^{'} = - f$ , קעירות ושטח מתחת ל- $g^{''}$ · מבחן לדוגמה 2 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
הפונקציה $f(x)$ זוגית ומוגדרת לכל $x$ . לפניך הגרף של $f(x)$ בתחום: $-7<x<0$ . (בגרף מסומנים: נקודות החיתוך עם ציר ה- $x$ ב- $x=-5$ וב- $x=-1$ , נקודת המקסימום…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, קעירות, נקודות פיתול ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 3 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט מתואר גרף נגזרת של פונקציה: $f'(x)$ . על-פי הנתונים בסרטוט:
תכונות $f$ מגרף הנגזרת: מונוטוניות, קיצון, פיתול, משיקים ואינטגרל של $f^{''}$ · מבחן לדוגמה 4 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 5
בסרטוט שלפניך מוצג גרף הנגזרת $f'(x)$ של הפונקציה $f(x)$ . הגרף סימטרי ביחס לציר ה- $y$ . הישר $x=3$ הוא אסימפטוטה אנכית לגרף הפונקציה. לפונקציה $f(x)$ ולנגזרתה יש…
שאלות קצרות: זוגיות מגרף, סדרה הנדסית, טור הנדסי טריגונומטרי ואינטגרל של הזזה · מבחן לדוגמה 5 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מארבעת הסעיפים א-ד.
שאלת חובה: תקפות אינדוקציה, זוגיות הנגזרת, פונקציית הצטברות ואיברים בסדרה חשבונית · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 1
ענה על שלושה מתוך ארבעת הסעיפים הבאים:
מגרף פונקציה זוגית: גרף ההופכית, הנגזרות של g ושטח מתחת ל-g'' · מבחן לדוגמה 6 של משרד החינוך, שאלון 571, שאלה 6
לפניך חלק מגרף של פונקציה זוגית: $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ : (בסרטוט: $f(0)=-1$ , נקודת המינימום $(3,-4)$ , ו- $f(5)=0$ ; לכל $x>3$ הפונקציה עולה,…

שאלות מתאימות מכיתות אחרות (4)

שאלות שנכתבו לכיתה אחרת ומתאימות גם לשיעור הזה. פותחים אותן במחולל המבחנים.

חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · בינונית)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}$ .
חקירת פונקציה עם שורש במכנה והזזה אנכית (שאלה מלאה · קלה)
נתונה הפונקציה $f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}$ .
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · בינונית)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ .…
מגרף הנגזרת לפונקציה: קיצון, זוגיות ושטח מתחת לנגזרת (שאלה מלאה · קלה)
הפונקציה $f(x)$ מוגדרת לכל $x$ . בציור שלפניכם מתואר הגרף של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המוגדרת גם היא לכל $x$ .…

שאלה 1 · פונקציה רציונלית אי-זוגית: חקירה מודרכת, התנהגות ליד אסימפטוטה ושטחשאלה מלאה · קלה

שאלה 2 · שתי פונקציות רציונליות אי-זוגיות עם x4: חזקה זוגית ואי-זוגית במכנה, זיהוי גרף ושטחשאלה מלאה · בינונית

שאלה 3 · משפחת הפונקציות (x2−1)nx​: זוגיות של n, שטח הפוך וקיצון של קדומהשאלה מלאה · קשה

שאלה 4 · פונקציית שורש במונה: קיצון בקצה התחום והפונקציה f1​שאלה מלאה · קלה

שאלה 5 · מכפלה עם שורש ופרמטר: קיצון בקצה התחום, הפונקציה f1​ ומשיק משותףשאלה מלאה · בינונית

שאלה 6 · פונקציה זוגית עם מקסימום פרמטרי: מספר פתרונות של f1​=c ושטח מתחת ל-g′′שאלה מלאה · קשה