דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מבחן לדוגמה: טכניקה אלגברית: אי-שוויונות (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

מבחן במתמטיקה לכיתה י"א 5 יח"ל בנושא טכניקה אלגברית: אי-שוויונות (חומר קודם): 8 שאלות פתוחות מ-2 שיעורים שונים של הנושא, ברמות שונות (קלה: 1, בינונית: 5, קשה: 2). המבחן מוכן להדפסה כמו שהוא, או לפתיחה במחולל המבחנים - שם מחליפים שאלות, מוסיפים פתרונות ומורידים ל-Word.

מבחן במתמטיקה - כיתה י"א 5 יח"ל
טכניקה אלגברית: אי-שוויונות (חומר קודם)
8 שאלות · ענו על כל השאלות · הראו את דרך הפתרון
שם: ______________כיתה: ________תאריך: ________

שאלה 1 · מכפלה עם שורש ופרמטר: קיצון בקצה התחום, הפונקציה ומשיק משותףאי-שוויון ריבועי · שאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=xa−x2f(x)=x\sqrt{a-x^2}, a>0a>0 הוא פרמטר.

בסעיפים א-ה, בטאו את תשובותיכם באמצעות aa לפי הצורך.

א.

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x)?

ב.

הוכיחו שהפונקציה f(x)f(x) אי-זוגית.

ג.
(1)

מה הם שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים?

(2)

מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה.

נתונה גם הפונקציה: g(x)=1f(x)g(x)=\frac{1}{f(x)}.

(1)

מהו תחום ההגדרה של הפונקציה g(x)g(x)?

(2)

מה הן משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה g(x)g(x), אם יש כאלה?

ו.

ידוע כי בכל אחת מנקודות הקיצון הפנימיות של הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x), יש לגרף של f(x)f(x) ולגרף של g(x)g(x) משיק משותף.

(1)

הוסיפו לסרטוט שבמחברתכם סקיצה של גרף הפונקציה g(x)g(x). פרטו את שיקוליכם.

(2)

מהו הערך של aa? נמקו את תשובתכם.

שאלה 2 · משיק לפולינום בנקודה כללית: שטח משולש בשלביםמערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") · שאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+16x2+16xf(x)=3x^3+16x^2+16x. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו-tt הוא שיעור ה-xx שלה. המשיק לגרף בנקודה B חותך את ציר ה-yy בנקודה C, ו-O היא ראשית הצירים (ראו סרטוט).

BCO
א.

הראו כי משוואת המשיק לגרף בנקודה B היא y=(9t2+32t+16)x−6t3−16t2y=(9t^2+32t+16)x-6t^3-16t^2.

ב.

מצאו את תחום הערכים של tt שבעבורם B נמצאת ברביע השני.

ג.

נתון גם כי הנקודה C נמצאת מתחת לציר ה-xx.

מצאו את תחום הערכים של tt.

ד.

הראו כי שטח המשולש OBC הוא S(t)=−3t4−8t3S(t)=-3t^4-8t^3, ומצאו את השטח המקסימלי.

שאלה 3 · תחום הפרמטר מתנאי רביע ומיקום נקודת החיתוך של משיקמערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") · שאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−5x2+4xf(x)=x^3-5x^2+4x. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה-xx שלה הוא tt. משוואת המשיק לגרף בנקודה B היא: y=(3t2−10t+4)x−2t3+5t2y=(3t^2-10t+4)x-2t^3+5t^2.

א.

מצאו את תחום הערכים של tt שבעבורם B נמצאת ברביע הרביעי.

ב.

מצאו את תחום הערכים של tt שבעבורם B ברביע הרביעי והמשיק ב-B חותך את ציר ה-yy מעל ציר ה-xx.

שאלה 4 · משיק לפולינום בנקודה כללית: תחום הפרמטר ושטח מקסימלי של משולשמערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") · שאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=3x3−5x2+3x+9f(x)=3x^3-5x^2+3x+9, המוגדרת לכל xx. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x) ברביע הראשון (ראו סרטוט). מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x). המשיק חותך את ציר ה-yy בנקודה C. נסמן ב-tt את שיעור ה-xx של הנקודה B.

BCO
א.

הביעו באמצעות tt את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) בנקודה B.

ב.

ידוע כי הנקודה C נמצאת מעל ציר ה-xx.

מהו תחום הערכים של tt?

ג.

הנקודה O היא ראשית הצירים.

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBC.

שאלה 5 · נקודת פיתול של פולינום עם פרמטר ובעיית קיצון של סכום שטחיםמערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") · שאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=kx3−3x2−x+12f(x)=kx^3-3x^2-x+\frac12, המוגדרת לכל xx. kk הוא פרמטר שונה מ-0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה A.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

מצאו את תחום הערכים האפשרי של kk.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yy החותך אותו בנקודה C.

נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

מצאו את הערך של kk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו-II הוא מינימלי.

שאלה 6 · נקודת פיתול של פולינום עם ו- ובעיית קיצון של סכום שטחיםמערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") · שאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=k2x3−3kx2+2f(x)=k^2x^3-3kx^2+2, המוגדרת לכל xx. kk הוא פרמטר שונה מ-0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה A.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

מצאו את תחום הערכים האפשרי של kk.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yy החותך אותו בנקודה C.

נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

מצאו את הערך של kk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו-II הוא מינימלי.

שאלה 7 · משיק לפולינום עם פרמטר: מתי לשטח המשולש יש מקסימוםמערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") · שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+8x2+cxf(x)=3x^3+8x^2+cx, כאשר cc פרמטר. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו-tt הוא שיעור ה-xx שלה. המשיק לגרף בנקודה B חותך את ציר ה-yy בנקודה C, שנמצאת מתחת לציר ה-xx. O היא ראשית הצירים.

א.

הביעו באמצעות tt את שיעור ה-yy של הנקודה C. האם הוא תלוי ב-cc?

ב.

עבור c=−3c=-3: מצאו את תחום הערכים של tt, ואת השטח המקסימלי של המשולש OBC.

ג.

מצאו את כל ערכי cc שבעבורם לשטח המשולש OBC יש ערך מקסימלי, ומצאו את הערך הזה.

שאלה 8 · פולינום עם פרמטר במקדם : נקודת פיתול, תנאי לאי-קיום קיצון ומלבן מקסימלימערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") · שאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3kx2+3xf(x)=x^3-3kx^2+3x, המוגדרת לכל xx. kk הוא פרמטר שונה מ-0.

הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kk את שיעורי הנקודה A.

ב.

מצאו את כל ערכי kk שבעבורם הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ולפונקציה f(x)f(x) אין נקודות קיצון.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yy החותך אותו בנקודה C.

מבין הערכים של kk שבעבורם A ברביע הראשון, מצאו את kk שבעבורו שטח המלבן OBAC (O ראשית הצירים) הוא מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

מצאו את כל ערכי kk שבעבורם A ברביע הראשון ושטח המלבן OBAC שווה ל-1.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.