שאלות פתוחות: מערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") - כיתה י"א 5 יח"ל

שאלות שבהן נדרשת מערכת אי-שוויונות ("וגם" / "או") בתוך בעיות חקירה, לכיתה י"א, 5 יחידות. ברוב השאלות נתונה נקודה B על גרף של פולינום ממעלה שלישית ברביע מסוים, ומבטאים בעזרת t את שיעוריה, כך שתחום הערכים של t נקבע ממערכת אי-שוויונות. יש גם שאלות עם פרמטר k על נקודת הפיתול. רוב השאלות בינוניות. מתאים לחזרה על טכניקה אלגברית בתוך הקשר של חדו"א; אפשר לבחור מהשאלות לבוחן או לדף עבודה, עם פתרון מלא וייצוא ל-Word.

9 שאלותקלה: 1בינונית: 6קשה: 2

שאלה 1 · משיק לפולינום בנקודה כללית: שטח משולש בשלביםשאלה מלאה · קלה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+16x2+16xf(x)=3x^3+16x^2+16xf(x)=3x3+16x2+16x. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו-ttt הוא שיעור ה-xxx שלה. המשיק לגרף בנקודה B חותך את ציר ה-yyy בנקודה C, ו-O היא ראשית הצירים (ראו סרטוט).
BCO

א.

הראו כי משוואת המשיק לגרף בנקודה B היא y=(9t2+32t+16)x−6t3−16t2y=(9t^2+32t+16)x-6t^3-16t^2y=(9t2+32t+16)x−6t3−16t2.

ב.

מצאו את תחום הערכים של ttt שבעבורם B נמצאת ברביע השני.

ג.

נתון גם כי הנקודה C נמצאת מתחת לציר ה-xxx.

מצאו את תחום הערכים של ttt.

ד.

הראו כי שטח המשולש OBC הוא S(t)=−3t4−8t3S(t)=-3t^4-8t^3S(t)=−3t4−8t3, ומצאו את השטח המקסימלי.

שאלה 2 · משיק לפולינום בנקודה כללית: תחום הפרמטר ושטח מקסימלי של משולששאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=3x3−5x2+3x+9f(x)=3x^3-5x^2+3x+9f(x)=3x3−5x2+3x+9, המוגדרת לכל xxx. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) ברביע הראשון (ראו סרטוט). מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x). המשיק חותך את ציר ה-yyy בנקודה C. נסמן ב-ttt את שיעור ה-xxx של הנקודה B.
BCO

א.

הביעו באמצעות ttt את משוואת המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x)f(x) בנקודה B.

ב.

ידוע כי הנקודה C נמצאת מעל ציר ה-xxx.

מהו תחום הערכים של ttt?

ג.

הנקודה O היא ראשית הצירים.

מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OBC.

שאלה 3 · משיק לפולינום עם פרמטר: מתי לשטח המשולש יש מקסימוםשאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=3x3+8x2+cxf(x)=3x^3+8x^2+cxf(x)=3x3+8x2+cx, כאשר ccc פרמטר. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה ברביע השני, ו-ttt הוא שיעור ה-xxx שלה. המשיק לגרף בנקודה B חותך את ציר ה-yyy בנקודה C, שנמצאת מתחת לציר ה-xxx. O היא ראשית הצירים.

א.

הביעו באמצעות ttt את שיעור ה-yyy של הנקודה C. האם הוא תלוי ב-ccc?

ב.

עבור c=−3c=-3c=−3: מצאו את תחום הערכים של ttt, ואת השטח המקסימלי של המשולש OBC.

ג.

מצאו את כל ערכי ccc שבעבורם לשטח המשולש OBC יש ערך מקסימלי, ומצאו את הערך הזה.

שאלה 4 · תחום הפרמטר מתנאי רביע ומיקום נקודת החיתוך של משיקשאלה קצרה · בינונית

נתונה הפונקציה f(x)=x3−5x2+4xf(x)=x^3-5x^2+4xf(x)=x3−5x2+4x. הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה-xxx שלה הוא ttt. משוואת המשיק לגרף בנקודה B היא: y=(3t2−10t+4)x−2t3+5t2y=(3t^2-10t+4)x-2t^3+5t^2y=(3t2−10t+4)x−2t3+5t2.

א.

מצאו את תחום הערכים של ttt שבעבורם B נמצאת ברביע הרביעי.

ב.

מצאו את תחום הערכים של ttt שבעבורם B ברביע הרביעי והמשיק ב-B חותך את ציר ה-yyy מעל ציר ה-xxx.

שאלה 5 · פולינום עם פרמטר במקדם $x^{2}$ : נקודת פיתול, תנאי לאי-קיום קיצון ומלבן מקסימלישאלה מלאה · קשה

נתונה הפונקציה f(x)=x3−3kx2+3xf(x)=x^3-3kx^2+3xf(x)=x3−3kx2+3x, המוגדרת לכל xxx. kkk הוא פרמטר שונה מ-0.
הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה A.

ב.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם הנקודה A נמצאת ברביע הראשון ולפונקציה f(x)f(x)f(x) אין נקודות קיצון.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yyy החותך אותו בנקודה C.

מבין הערכים של kkk שבעבורם A ברביע הראשון, מצאו את kkk שבעבורו שטח המלבן OBAC (O ראשית הצירים) הוא מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ד.

מצאו את כל ערכי kkk שבעבורם A ברביע הראשון ושטח המלבן OBAC שווה ל-1.

שאלה 6 · נקודת פיתול של פולינום עם פרמטר ובעיית קיצון של סכום שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=kx3−3x2−x+12f(x)=kx^3-3x^2-x+\frac12f(x)=kx3−3x2−x+21​, המוגדרת לכל xxx. kkk הוא פרמטר שונה מ-0.
הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה A.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

מצאו את תחום הערכים האפשרי של kkk.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yyy החותך אותו בנקודה C.
נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו-II הוא מינימלי.

שאלה 7 · נקודת פיתול של פולינום עם $k^{2}$ ו- $k$ ובעיית קיצון של סכום שטחיםשאלה מלאה · בינונית

נתונה הפונקציה: f(x)=k2x3−3kx2+2f(x)=k^2x^3-3kx^2+2f(x)=k2x3−3kx2+2, המוגדרת לכל xxx. kkk הוא פרמטר שונה מ-0.
הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה f(x)f(x)f(x).

א.

הביעו באמצעות kkk את שיעורי הנקודה A.

ב.

נתון כי הנקודה A נמצאת ברביע הראשון.

מצאו את תחום הערכים האפשרי של kkk.

ג.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xxx החותך אותו בנקודה B, ואנך לציר ה-yyy החותך אותו בנקודה C.
נתון ריבוע I שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AB, וריבוע II שאורך הצלע שלו שווה לאורך הקטע AC.

מצאו את הערך של kkk שבעבורו סכום שטחי הריבועים I ו-II הוא מינימלי.

שאלות מבחינות הבגרות על השיעור

השאלות המלאות, עם פתרון מלא לכל סעיף, בדף של כל בחינה.

משיק לפולינום בנקודה כללית: תחום הפרמטר ושטח מקסימלי של משולש · בגרות 571 קיץ 2022 מועד ב', שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=x^3+4x^2$ , המוגדרת לכל $x$ . הנקודה B נמצאת על גרף הפונקציה $f(x)$ ברביע השני (ראו סרטוט). מן הנקודה B מעבירים משיק לגרף הפונקציה $f(x)$ .…
נקודת פיתול של פולינום עם פרמטר ובעיית קיצון של סכום שטחים · בגרות 571 חורף 2026, שאלה 8
נתונה הפונקציה: $f(x)=kx^3-3x^2+0.5kx$ , המוגדרת לכל $x$ . $k$ הוא פרמטר שונה מ-0. הנקודה A היא נקודת הפיתול של הפונקציה $f(x)$ .