מבחן לדוגמה: בעיות ערך קיצון: מספרים ופונקציות (חומר קודם) - כיתה י"א 5 יח"ל

מצאו את תחום ההגדרה של $x$.

הראו כי סכום השטחים של שתי הצורות הוא $S(x)=\frac{\sqrt3}{4}x^2+\frac{3\sqrt3}{2}\left(2-\frac x2\right)^2$. (משושה משוכלל מורכב משישה משולשים שווי-צלעות.)

מצאו את $x$ שבעבורו סכום השטחים מינימלי, ואת סכום השטחים המינימלי.

הראו כי כאשר סכום השטחים מינימלי, רדיוס המעגל החסום במשולש שווה לרדיוס המעגל החסום במשושה.

הביעו באמצעות $k$ את תחום ההגדרה של $x$.

הביעו באמצעות $k$ את אורך צלע הריבוע, שעבורו סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי.

הראו כי כאשר סכום השטחים של שתי הצורות הוא מינימלי, אי אפשר לחסום את הריבוע שהתקבל במעגל שהתקבל.

הביעו באמצעות $k$ את אורך צלע המשולש שבעבורו $S(x)$ מינימלי.

מצאו את היחס בין רדיוס המעגל החסום במשולש לבין רדיוס המעגל החסום בריבוע, כאשר $S(x)$ מינימלי.

נתון כי כאשר $S(x)$ מינימלי, רדיוס המעגל החסום בריבוע הוא 1 ס״מ. מצאו את $k$ ואת סכום השטחים המינימלי.

מצאו, באמצעות $k$, את כל ערכי $A$ שבעבורם יש בדיוק שתי דרכים לחתוך את החוט כך שסכום השטחים יהיה $A$.

הביעו את $f(p)$ באמצעות $p$, ופשטו.

מצאו את הערך של $p$ שבעבורו ההסתברות לצבור 3 נקודות בדיוק היא הגדולה ביותר, ואת ההסתברות הזו.

מצאו בעבור אילו ערכים של $c$ יש בדיוק שני ערכים של $p$ שבעבורם ההסתברות לצבור 3 נקודות בדיוק שווה ל-$c$.

ידוע שבעבור $p=\frac17$ ההסתברות לצבור 3 נקודות בדיוק היא $\frac{36}{343}$. מצאו את הערך הנוסף של $p$ שבעבורו ההסתברות לצבור 3 נקודות בדיוק היא $\frac{36}{343}$.

נתון: $p=\frac47$.

ידוע שמתמודד צבר 3 נקודות בדיוק. מצאו את ההסתברות שהוא ענה נכון על שאלה אחת בלבד.

הביעו באמצעות $t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $B$.

הראו כי $AB=\frac{4+3t-t^3}{6}$.

מצאו את נקודות הקיצון המקומיות של $AB$ כפונקציה של $t$, וקבעו את סוגן.

מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ידוע כי $P$ נמצאת בתחום שבו הפונקציה $y=6x^2-x^3$ עולה. מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ מינימלי.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ מקסימלי.

הוכיחו כי הסכום $ME+DE$ אינו תלוי ב-$x$, והביעו אותו באמצעות $\alpha$.

נתון כי לכל מיקום של $E$ על הבסיס, הנקודות $D$ ו-$M$ נמצאות על השוקיים $AC$ ו-$AB$ (ולא על המשכיהן), וכי הסכום הקטן ביותר האפשרי של שטחי המשולשים $BEM$ ו-$CED$ הוא 14.4.

מצאו את $\alpha$.

מצאו את כל הערכים של $R$ שבעבורם יש בדיוק שני מיקומים של $E$ על הבסיס שבהם רדיוס המעגל העובר דרך הנקודות $A$, $M$, $E$ ו-$D$ שווה ל-$R$.