שאלות פתוחות: קיצון בתחום סגור: בדיקת הקצוות - כיתה י"א 5 יח"ל

הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה $(f(x))^2$ המוגדרת גם היא בתחום: $0\le x\le6$. מהנקודה $P$ מעבירים ישר המאונך לציר ה-$x$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-$x$, ו-$O$ היא ראשית הצירים.

הראו כי שטח המשולש $PMO$ הוא $S(x)=\frac{a}{2}\left(x^3-6x^2\right)$, כאשר $x$ הוא שיעור ה-$x$ של $P$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ובטאו את השטח המקסימלי באמצעות $a$.

ידוע כי $P$ נמצאת בתחום שבו $(f(x))^2$ אינה יורדת. מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח הזה.

הנקודה $P$ נמצאת על גרף הפונקציה $(f(x))^2$ המוגדרת גם היא בתחום: $0\le x\le2$. מהנקודה $P$ מעבירים ישר המאונך לציר ה-$x$. $M$ היא נקודת החיתוך של האנך עם ציר ה-$x$, ו-$O$ היא ראשית הצירים.

מהו שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

בעבור שיעור ה-$x$ שמצאתם בסעיף ב, בטאו באמצעות $a$ את השטח המקסימלי של המשולש $PMO$.

אם ידוע כי שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ נמצא בתחום שבו הפונקציה $(f(x))^2$ אינה יורדת, מהו שיעור ה-$x$ של הנקודה $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ הוא מקסימלי? נמקו את תשובתכם.

מצאו את כל ערכי $b$ שבעבורם לכל $0<t<3$ הנקודה $B$ נמצאת משמאל לנקודה $A$.

מצאו את שיעור ה-$x$ של נקודת החיתוך של גרף $f(x)$ עם הישר, ומצאו את כל ערכי $t$ בתחום $0\le t<x_0$ ($x_0$ - שיעור החיתוך) שבעבורם אורך הקטע $AB$ מקסימלי.

נתון $0\le t\le c$, כאשר $0<c<5$. מצאו את כל ערכי $c$ שבעבורם האורך המינימלי של $AB$ מתקבל רק בקצה $t=c$.

הביעו באמצעות $t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $B$.

הראו כי $AB=\frac{4+3t-t^3}{6}$.

מצאו את נקודות הקיצון המקומיות של $AB$ כפונקציה של $t$, וקבעו את סוגן.

מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש $PMO$ מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

ידוע כי $P$ נמצאת בתחום שבו הפונקציה $y=6x^2-x^3$ עולה. מצאו את שיעור ה-$x$ של $P$ שבעבורו שטח המשולש מקסימלי, ואת השטח.

הביעו באמצעות $b$ ו-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $B$.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ מינימלי.

מצאו את הערך של $t$ שבעבורו אורך הקטע $PQ$ מקסימלי.

הביעו באמצעות $b$ ו-$t$ את שיעור ה-$x$ של הנקודה $B$.